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1 3 1 2导数的概念主讲人 李永祥 2 在高台跳水运动中 运动员相对水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 3 平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态 可以看出 平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态 为了能更精确地刻画物体运动 我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度 4 什么是瞬时速度呢 如何求瞬时速度呢 5 3 1 2导数的概念 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 6 7 问题一 请大家思考如何求运动员的瞬时速度 如t 2时刻的瞬时速度 提示 可以通过研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路 平均变化率 8 问题二 请大家继续思考 当 t取不同值时 尝试计算的值 同时观察讨论 表格中的数据有着怎样的规律 12 61 t 2当 t趋近于0时 即无论 t从小于2的一边 还是从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近与一个确定的值 13 1 9 探究 1 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示 10 11 问题三 气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢 12 问题四 函数f x 在x 处的瞬时变化率怎样表示 13 瞬时变化率导数 14 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 由导数的定义可知 求函数y f x 在x x0的导数的一般方法 1 求平均变化率2 取极限求值 一平 二极同学们可以这么记求导数的方法 一贫而急 15 16 17 实际上 导数可以描述任何事物的瞬时变化率 如效率 点密度 国内生产总值GDP的增长率 等等 可见导数具有着广泛的实际应用价值 例1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 所以 同理可得 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率分别为 3和5 它说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速率下降 在第6h附近 原油温度大约以5 h的速率上升 18 变式练习 例1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 练习 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率 并说明它们的意义 19 课堂练习 1 如果质点A按规律则在t 3s时的瞬时速度为A 6B 18C 54D 81 C 2 已知一个物体运动的位移 m 与时间t s 满足关系 1 求物体第5秒和第6秒的瞬时速度 2 求物
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