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4 3 2空间两点的距离公式旌德中学姜丽辉 问题导入 在平面上任意两点A x1 y1 B x2 y2 之间的距离的公式为 AB 那么对于空间中任意两点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 之间的距离的公式会是怎样呢 合作探究 探究一 空间中任间一点P x y z 到原点之间的距离公式会是怎样呢 设A x y z 是空间任意一点 过A作AB xOy平面 垂足为B 过B分别作BD x轴 BE y轴 垂足分别为D E 根据坐标的含义知 AB z BD x BE OD y 由于三角形ABO BOD是直角三角形 所以 因此A到原点的距离是 探究二 空间中任意两点P1 x1 y1 z1 到点P2 x2 y2 z2 之间的距离公式是怎样呢 如图 设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 是空间中任意两点 我们来计算这两点之间的距离 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线 垂足是M N 则M x1 y1 0 N x2 y2 0 于是可以求出 再过点P1作P1H P2N 垂足为H 则 MP1 z1 NP2 z2 所以 HP2 z2 z1 在Rt P1HP2中 P1H MN 根据勾股定理得 因此空间中任意两点P1 x1 y1 z1 到点P2 x2 y2 z2 之间的距离为 于是空间两点间的距离公式是 它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根 例已知A 3 3 1 B 1 0 5 求线段AB的中点坐标和长度 解 设M x y z 是线段AB的中点 则根据中点坐标公式得x 3 1 2 2 y 3 0 2 1 5 z 1 5 2 3 根据两点间距离公式得 巩固 在z轴上求一点M 使点M到点A 1 0 2 B 1 3 1 的距离相等 解 设M 0 0 z 由题意得 MA MB 0 1 2 0 0 2 z 2 2 0 1 2 0 3 2 z 1 2得z 3所以M 0 0
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