5.1解方程与数系的扩充.ppt

3 1 1数系的扩充和复数的概念 Z 自然数 正整数与零 整数 有理数 实数 可以发现数系的每一次扩充 解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾 且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留 N Q R 复习回顾 引入负整数 引入分数 引入无理数 01 47 情境引入 一元二次方程 有没有实数根 类比每一次数系的扩充过程 我们能否引进一个新数 将实数集进行扩充 使得在新的数集中 该问题能得到解决呢 问题1 01 47 为了解决负数开平方问题 数学家引入一个新数i 把i叫做虚数单位 并且规定 1 i2 1 2 实数可以与i进行四则运算 在进行四则运算时 原有的加法与乘法的运算律仍然成立 问题解决 01 47 历史再现 1545年意大利有名的数学 怪杰 卡尔丹 第一次开始讨论负数开平方的问题 当时 这种数被他称作 诡辩量 几乎过了100年 法国数学家笛卡尔才给这种 虚幻之数 取 了一个名字 虚数 1777年瑞士数学家 欧拉还是说这种数只是存在于 幻想之中 并用i imaginary 即虚幻的缩写 来表 示它的单位 直到1801年 德国数学家高斯 系统地使用了i这个符号 于是使之通行于世 01 47 问题2 把实数和新引进的数i像实数那样进行运算 你得到什么样的数 i与实数b相乘得bi 规定0乘以i等于0bi与实数a相加得a bi 01 47 自主学习 复数 形如 叫做复数 常用字母 表示 全体复数构成的集合叫做 常用字母 表示 复数的代数形式 其中 叫做复数的实部 叫做复数的虚部 复数的实部和虚部都是 a bi a b R 的数 z 复数集 C z a bi a b R a b 实数 01 47 说出下列复数的实部和虚部 小试牛刀 虚数 实数 复数z a bi a R b R 能表示实数和虚数 01 47 对于复数a bi a b R 当且仅当 时 它是实数 当且仅当 时 它是实数0 当 时 叫做虚数 当 时 叫做纯虚数 自主学习 b 0 a 0且b 0 b 0 a 0且b 0 01 47 复数z a bi a R b R 能表示实数和虚数 问题3 如何对复数a bi a b R 进行分类 复数z a bi 01 47 你们可以用韦恩图把复数集与实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系表示出来吗 问题4 01 47 a b c d应满足什么条件呢 问题5 若复数 01 47 思考 知新 若 问题解决 01 47 口答 若2 3i a 3i 求实数a的值 若8 5i 8 bi 求实数b的值 若4 bi a 2i 求实数a b的值 01 47 虚数 例1 完成下列表格 分类一栏填实数 虚数或纯虚数 典例解析 01 47 实数m取什么值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当 即时 复数z是实数 2 当 即时 复数z是虚数 例2 01 47 例3 已知其中求 解 根据复数相等的定义 得方程组 得 解题思考 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想 转化思想 01 47 z a bi a b R 复数的分类 当b 0时z为实数 当b 0时z为虚数 此时 当a 0时z为纯虚数 复数的相等