6.2黄金分割 (2).ppt

桃林中学赵林芳 黄金分割 25 2014 无锡 1 如图1 Rt ABC中 B 90 AB 2BC 现以C为圆心 CB长为半径画弧交边AC于D 再以A为圆心 AD为半径画弧交边AB于E 求证 这个比值叫做AE与AB的黄金比 2 如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比 那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形 请你以图2中的线段AB为腰 用直尺和圆规 作一个黄金三角形ABC 注 直尺没有刻度 作图不要求写作法 但要求保留作图痕迹 并对作图中涉及到的点用字母进行标注 课题原型 黄金分割 黄金分割的定义 黄金分割又称黄金律 是指事物各部分间一定的数学比例关系 即将整体一分为二 较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比 其比值约为1 0 618或1 618 1 即长段为全段的0 618 0 618被公认为最具有审美意义的比例数字 上述比例是最能引起人的美感的比例 因此被称为黄金分割 黄金分割的画法 1 设已知线段为AB 过点B作BD AB 且BD AB 2 2 连结AD 3 以D为圆心 DB为半径作弧 交AD于E 4 以A为圆心 AE为半径作弧 交AB于C 则点C就是AB的黄金分割点 1 证明 Rt ABC中 B 90 AB 2BC 设AB 2x BC x 则AC x AD AE 1 x 2 解 底与腰之比均为黄金比的等腰三角形 如图 解答 折纸与证明 用纸折出黄金分割点 第一步 如图 1 先将一张正方形纸片ABCD对折 得到折痕EF 再折出矩形BCFE的对角线BF 第二步 如图 2 将AB边折到BF上 得到折痕BG 则点G为线段AD的黄金分割点 AG GD G 分析 连接GF 设正方形的边长为1 由折纸第一步 可知DF 在Rt BCF中 根据勾股定理得出BF 则A F 1 设AG A G x 则GD 1 x 在Rt A GF和Rt DGF中 根据勾股定理由GF不变得出A F2 A G2 DF2 DG2 列出关于x的方程 解方程求出x 即可说明点G是AD的黄金分割点 证明过程 证明 如图 连接GF 设正方形ABCD的边长为1 则DF 在Rt BCF中 BF 则A F BF BA 1 设AG A G x 则GD 1 x 在Rt A GF和Rt DGF中 有A F2 A G2 DF2 DG2 即 解得x 即点G是AD的黄金分割点 AG GD 拓展一 顶角为36 的等腰三角形称为黄金三角形 如图 ABC BCD DEC都是黄金三角形 己知AB 2cm 则DE cm 解析 由顶角为36 的等腰三角形称为黄金三角形 而 ABC BCD DEC都是黄金三角形 可得到 ABC C 72 DBC 36 EDC 36 DEC 72 BDC 72 则DA DB BC DE DC 易得 BDC ABC 得BD AC DC BC 则AD AC DC AD 于是得到点D为AC的黄金分割点 所以AD AB DC AB AD AB 把AB 2代入计算得到DC 而DE DC 等腰三角形ABC的顶角A是36度 点D是腰AB的黄金分割点 AD BD 将三角形BCD绕C顺时针旋转一个角度后点D落到E处 连接AE 当AE CD时 求旋转角 考点 旋转的性质 黄金分割 分析 先证出点D是腰AB的黄金分割点时 CD是 ACB的平分线 当AE CD时 分两种情况 利用图形解出旋转角为72 或108 拓展二 解 假设CD为 ACB的平分线 A 36 B ACB 72 ACD DCB 36 BC DC AD CDB ABC AD AB DB AD 点D是腰AB的黄金分割点 CD是 ACB的平分线 如图1 AE CD时 EAC ACD 36 EC AD AD CD 四边形ADCE是菱形 此时这个旋转角720 解法一 解法二 如图2 AE CD时 EAC ACD 36 B C AD AD CD 四边形ADCB 是菱形 B CD 72 EB C 72 B EC 72 此时这个旋转角36 36 36 108 故答案为 72或108 拓展三 以为长2cm的线段AB为边作正方形ABCD 取AB的中点P 连接PD 在BA的延长线上取一点F 使PF PD 以AF为边作正方形AMEF 点M在AD上 如图 1 求AM DM的长 2 求证 AM2 AD DM 3 根据 2 的结论 你能找出图中的黄金分割吗 分析 1 要求AM的长 即是求AF的长 只需求得PF的长 根据勾股定理进行计算PD的长就可 要求DM的长 只需AD AM就可 2 根据黄金分割点的定义 只需证明AM2 AD DM 解答 解 1 在Rt APD中 AP 1 AD 2 由勾股定理知PD AM AF PF AP PD AP 1 DM AD AM 3 2 AM2 1 2 6 2 AD DM 2 3 6 2 AM2 AD DM 3 所以点M是线段AD的黄金分割点 生活中的黄金分割 在我们生活环境中 门 窗 桌子 箱子 书本之类的物体 它们的长度与宽度之比近似0 618 就连普通树叶的宽与长之比 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0 618 节目主持人报幕 绝对不会站在舞台的中央 而总是站在舞台的1 3处 站在舞台上侧近于0 618的位置才是最佳的位置 姿态优美 身材苗条的时装模特和偏偏起舞的舞蹈演员 他们的腿和身材的比例也近似于0 618的比值 凡是具有这种比例的图样 看上去会感到和谐 平衡 舒适 有一种美的感