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第七章 8机械能守恒定律 学习目标1 知道什么是机械能 知道物体的动能和势能可以相互转化 2 能够根据动能定理 重力做功与重力势能变化间的关系 推导出机械能守恒定律 3 会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒 能运用机械能守恒定律解决有关问题 内容索引 自主预习梳理 重点知识探究 当堂达标检测 自主预习梳理 1 重力势能与动能的转化只有重力做功时 若重力对物体做正功 则物体的重力势能 动能 物体的转化为 若重力对物体做负功 则物体的重力势能 动能 物体的转化为 2 弹性势能与动能的转化只有弹簧弹力做功时 若弹力对物体做正功 则弹簧的弹性势能 物体的动能 弹簧的转化为物体的 若弹力对物体做负功 则弹簧的弹性势能 物体的动能 物体的转化为 3 机械能 与动能统称为机械能 一 动能与势能的相互转化 减少 增加重力势能动能 增加减少动能重力势能 减少 增加弹性势能动能 增加减少动能弹簧的弹性势能 重力势能弹性势能 1 内容 在只有或做功的物体系统内 与可以相互转化 而保持不变 2 表达式 Ek2 Ep2 即E2 二 机械能守恒定律 总的机械能 Ek1 Ep1 重力弹力动能势能 E1 1 判断下列说法的正误 1 机械能守恒时 物体一定只受重力和弹力作用 2 合力为零 物体的机械能一定守恒 3 合力做功为零 物体的机械能保持不变 4 只有重力做功时 物体的机械能一定守恒 2 如图1所示 桌面高为h 质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下 不计空气阻力 假设桌面处的重力势能为零 则小球落到地面前瞬间的机械能为 mgH 图1 重点知识探究 一 机械能守恒定律 如图2所示 质量为m的物体自由下落的过程中 经过高度为h1的A处时速度为v1 下落到高度为h2的B处时速度为v2 不计空气阻力 选择地面为参考平面 1 求物体在A B处的机械能EA EB 图2 答案 2 比较物体在A B处的机械能的大小 答案 下落过程中重力对物体做功 重力做的功在数值上等于物体重力势能的变化量 则WG mgh1 mgh2 由此可知物体在A B两处的机械能相等 机械能守恒定律的理解1 守恒 是指系统能量的转化只限于动能 重力势能和弹性势能 没有其他能量参与 而且在整个过程中的任何时刻 任何位置 机械能的总量总保持不变 2 条件 1 只有重力或弹力做功 其他力不做功 注意 条件不是合力做功等于零 也不是合力等于零 2 只发生动能和势能 重力势能和弹性势能 的相互转化 无其他形式的能参与转化 例1 多选 不计空气阻力 下列说法中正确的是A 用绳子拉着物体匀速上升 只有重力和绳子的拉力对物体做功 机械能守恒B 做竖直上抛运动的物体 只有重力对它做功 机械能守恒C 沿光滑斜面自由下滑的物体 只有重力对物体做功 机械能守恒D 用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动 机械能守恒 答案 例2 多选 如图3所示 弹簧固定在地面上 一小球从它的正上方A处自由下落 到达B处开始与弹簧接触 到达C处速度为0 不计空气阻力 则在小球从B到C的过程中A 弹簧的弹性势能不断增加B 弹簧的弹性势能不断减少C 小球和弹簧组成的系统机械能不断减少D 小球和弹簧组成的系统机械能保持不变 答案 解析 图3 解析从B到C 小球克服弹力做功 弹簧的弹性势能不断增加 A正确 B错误 对小球 弹簧组成的系统 只有重力和系统内弹力做功 系统机械能守恒 C错误 D正确 二 机械能守恒定律的应用 例3如图4所示 质量m 70kg的运动员以10m s的速度从高h 10m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下 以最低点B所在的水平面为零势能面 一切阻力可忽略不计 求运动员 g 10m s2 1 在A点时的机械能 答案 答案10500J 图4 解析 2 到达最低点B时的速度大小 答案 解析 3 相对于B点能到达的最大高度 解析 答案 答案15m 1 机械能守恒定律的应用步骤首先对研究对象进行正确的受力分析 判断各个力是否做功 并分析是否符合机械能守恒的条件 若机械能守恒 则根据机械能守恒定律列出方程 或再辅以其他方程进行求解 2 机械能守恒定律常用的三种表达式 1 从不同状态看 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2 或E1 E2 此式表示系统的两个状态的机械能总量相等 2 从能的转化角度看 Ek Ep此式表示系统动能的增加 减少 量等于势能的减少 增加 量 3 从能的转移角度看 EA增 EB减此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统B部分机械能的减少量 针对训练某游乐场过山车模型简化为如图5所示 光滑的过山车轨道位于竖直平面内 该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成 圆形轨道的半径为R 可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑 然后沿圆形轨道运动 1 若要求过山车能通过圆形轨道最高点 则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少 解析 图5 答案 答案2 5R 解析设过山车总质量为M 从高度h1处开始下滑 恰能以v1通过圆形轨道最高点 由 式得 h1 2 5R即高度至少为2 5R 2 考虑到游客的安全 要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍 过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少 答案3R 解析设从高度h2处开始下滑 游客质量为m 过圆周最低点时速度为v2 游客受到的支持力最大是FN 7mg 由 式得 h2 3R即高度不得超过3R 解析 答案 当堂达标检测 1 机械能是否守恒的判断 多选 下列物体中 机械能守恒的是A 做平抛运动的物体B 被匀速吊起的集装箱C 光滑曲面上自由运动的物体D 物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动 1 2 3 答案 2 机械能守恒定律的应用 如图6所示 从光滑的圆弧槽的最高点滑下的小物块 滑出槽口时速度沿水平方向 槽口与一个半球顶点相切 半球底面在水平面内 若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑 已知圆弧轨道的半径为R1 半球的半径为R2 则R1与R2的关系为A R1 R2B R1 R2 解析 答案 图6 1 2 3 1 2 3 3 机械能守恒定律的应用 如图7所示 装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成 其中轨道 由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接 高度差分别是h1 0 20m h2 0 10m BC水平距离L 1 00m 轨道 由AE 螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成 且A点与F点等高 当弹簧压缩量为d时 恰能使质量m 0 05kg的滑块沿轨道 上升到B点 当弹簧压缩量为2d时 恰能使滑块沿轨道 上升到C点 已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比 1 当弹簧压缩量为d时 求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小 解析 答案 图7 答案0 1J2m s 1 2 3 1 2 3 解析以A点所在的水平面为参考平面 由机械能守恒定律可得E弹 Ek Ep mgh1 0 05 10 0 2J 0 1J 2 求滑块与轨道BC间的动摩擦因数 解析 答案 答案0 5 解析由E弹 d2可得 Ek E弹 4E弹 4mgh1由动能定理可得 mg h1 h2 mgL Ek 解