数学北师大版八年级下册几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题.docx

几何变换之美-一类旋转图形中的动点最值问题一、 教材分析： 几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。1、 学习 目标：1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。2、 体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想3、 教学重难点在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼4、 教学过程：（一）复习引入：（1） 两点之间的距离；（两点之间，线段最短）（2） 点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短）（3） 旋转的性质：旋转不改变_形状和大小；经过旋转图形上的 _所有点 都绕中心沿相同方向转动了相同的角； 任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等_；（二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离例1、如图，若AB=5，BC=6，C=45，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最小值为 ，EP1最大值为 。解题分析：（如图）（1） 先在AC上找出动点P所在位置，即当BPAC时，P点到B点距离最小;(2） P点的运动路线是在以B点为圆心,BP为半径的B的圆周上运动；(3） 通过观察可以发现当P点运动AB上，与AB交于P1时，EP1的长度最小；当P点运动到AB的延长线上交于P2时，EP的长度值最大。解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P点位置（2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，（3）画图转化，根据点P的运动轨迹找出P到E的最值. 变式练习1：如图，在RtABC中，BCA90，BC6，AC12，D为AC上一点，AD8，将AD绕点A旋转到AD,连接BD，F为BD的中点，则CF长度的最大值为 。解题分析：如图，取AB中点P，连接PC、PF,可以用中位线定理和斜边上的中线等于斜边的一半求出PC、PF，再利用两点之间线段最短的知识，得到当F点在CP的延长线上时，CP的长度最大。解题分析：取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OE=AB，再利用勾股定理列出求出DE；接下来然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大，并可求出最大值。从而解答此题。解：如图，取AB中点P，连接PC、PF,F为BD的中点FP=1/2AD=1/2AD=4又ACB=90CP=1/2ABAC=12,BC=6由勾股定理可得AB=PC=, 当F点在CP的延长线上时,CFmin= +4（三）应用二、利用旋转转移线段，再通过构造三角形，利用三角形三边关系求出最值例2、如图，在PAB中，PA2，PB4，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点在AB的两侧，则PD的最大值为 ,最小值为 。 解题分析： 考虑到利用正方形的性质（AD=AB），把PAD绕点A顺时针旋转90，得到QAB，从而PD=BQ，而BQ边又与定线段BP、PQ组成三角形，利用两点之间，线段最短的原理，可以得到当点Q在BP的延长线上时，BQ取最大值；当点Q在线段BP上时，BQ取最小值。解题策略： 此类题中，很难通过作图找出所求线段最值，主要是把所求线段置于含定量的三角形中，利用三角形的三边关系再来解决动点到定点的最值问题。解：将PA绕点A顺时针旋转90得到AQ，并连接PQ、BQ在正方形ABCD中，AD=AB，且PAQ=BAD=90，QAP=PADQABPADPD=BQ在等腰直角三角形APQ中，AP=2QP=又PB=4当点Q运动到线段BP上时，BQ的最小值等于BP-PQ=4-当点Q运动到BP的延长线上时，BQ的最小值等于BP+PQ=4+变式练习3：如图，ABC为等腰三角形，底边BC的长度为2，过B作BDAC，以DC为边作正方形DEFC，连接BF，则线段BF的最小值为 解题方法：1、取BC的中点G，连接DG；2、将DCG绕点C逆时针旋转90，得到FCH；3、连接BH，利用勾股定理求出BH的值；4、利用三角形的三边关系求出BF的最小值 在学习完旋转这类几何变换方式之后，我们可以利用旋转这种变换方式转移线段，把几何动点的最值问题转化成三角形的三边关系的问题来求解；或者在旋转变换中的几何图形上的动点到定点的最值问题的解决需要把