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圆锥曲线性质总结第一篇:圆锥曲线性质总结 椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质： 双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质： 抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质：p0 圆锥曲线的统一定义： 若平面内一个动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比等于一个常数 e(e0)，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点F为焦点，定直线l为准线，e为离心 率。 当0e1时，轨迹为双曲线。 1.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 x2m-1 + 3 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答： (-,-1)U(1,)）2-m2 y2 （2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，a=b+c，在双曲线中，c最大，c=a+b。 2、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余 弦定理求解。 设椭圆或双曲线上的一点P(x0, 2 2 2 2 2 2 y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点DF1PF2的面积为S， 2b2r1r2 -1)，且当r1=r2即P为短轴端点时，q最大 （1）在椭圆 x2a2 + y2b2 =1中， qarccos( 为q max arccos b2-c2 a2 ；S =b2tan q 2 =c|y0|，当|y0|=b即P为短轴端点时，Smax圆锥曲线性质总结。 的 最大值为bc； 2b2 1-（2）对于双曲线-2=1的焦点三角形有：q=arccos2；rrab12 x2y2 S= 12 r1r2sinq=b2cot q 2 。 3你了解下列结论吗？ 2222 （1）双曲线x-y=1的渐近线方程为x-y=0； 2222 abab 22 y2y2xx（2）以y=x为渐近线（即与双曲线的双曲线方程为-=l(l-=1共渐近线） aa2b2a2b2 b 为参数，l0）。若l0，焦点在x轴上，若l0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) (6)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，即a=b, 从而离心率e=2. 2 2 2第二篇:完美版圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线的方程与性质 1椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF。 1|+|MF2|=2a x2y2y2x2 椭圆的标准方程为：2+2=1（ab0）（焦点在x轴上）或2+2=1（ab0）（焦点在y轴 abab 上）。 注：以上方程中a,b的大小ab0，其中b=a-c； 2 2 2 x2y2y2x22 在2+2=1和2+2=1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分 ababx2y2 +=1（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mc0，0e1，且e越接近1，c就a 越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 2双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（|PF1|-|PF2|=2a）。 注意：式中是差的绝对值，在02a|F1F2|时，|PF1|-|PF2|=2a不表示任何图形；两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。 （2）双曲线的性质 x2y2 范围：从标准方程2-2=1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x=a的外侧。即 abx2a2，xa即双曲线在两条直线x=a的外侧。 x2y2 对称性：双曲线2-2=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 abx2y2 是双曲线2-2=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ab x2y2 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2-2=1的方程里，对称轴是x,y轴，所 abx2y2 以令y=0得x=a，因此双曲线和x轴有两个交点A(-a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2-2=1的顶点。 ab圆锥曲线性质总结。 令x=0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 x2y2 图上看，双曲线2-2=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 ab 等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a=b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y=x ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征a=b，则等轴双曲线可以设为：x2-y2=l(l0) ，当l0时交点在x轴，当l0)叫做抛物线的标准方程。 pp ,0），它的准线方程是x=- ；圆锥曲线性质总结。 22 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y=-2px，x=2py，x=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 2 2 2 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0。 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 f1(x0,y0)=0f2(x0,y0)=0圆锥曲线性质总结。 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 有交点。 二、圆： 1、定义：点集MOM=r，其中