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解析几何习题课 二 Chap 4二次曲面 quadricsurfaces 空间解析几何的两个基本问题 一 给定曲面 建立方程 二 给定方程 研究它的图形及其几何性质 1 柱面 cylinder 定义 一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为柱面 C 准线 directrix L 母线 ruling 直柱面 射影柱面 射影柱面 柱面的参数方程 parametricequation P147ex4 圆锥面直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面 O 顶点 vertex 两直线的夹角 半顶角锥面一直线通过定点O 且沿空间中一条定曲线C移动所产生的曲面称为锥面 O 顶点C 准线 不唯一 动直线 母线 不唯一 2 锥面 conicalsurface 锥面的参数方程 P152ex6 3 旋转曲面 surfaceofrevolution 定义 曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面 l 旋转轴 C 母线 旋转曲面的参数方程 P158ex3 4 椭球面 ellipsoid 1 椭球面的方程 2 椭球面的性质 1 关于坐标原点 坐标轴 坐标面都对称 3 形状 与三个坐标面的交线 是一个椭圆 ellipse 2 是一个椭圆 3 是一个椭圆 4 椭球面的参数方程 广义球坐标系 5 双曲面 hyperboloid I 单叶双曲面 hyperboloidofonesheet 方程 性质 1 关于坐标原点 坐标轴 坐标面都对称 2 有四个顶点 3 形状 1 是一个椭圆 腰椭圆 2 是双曲线 hyperbola 3 是双曲线 4 是一个椭圆 II 双叶双曲面 hyperboloidoftwosheets 方程 性质 1 关于坐标原点 坐标轴 坐标面都对称 2 有两个顶点 3 形状 6 是双曲线 7 是双曲线 参数方程 P168ex 7 1 单叶双曲面 2 双叶双曲面 6 抛物面 paraboloid I 椭圆抛物面 ellipticparaboloid 方程 性质 1 椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面 对称于z轴 无对称中心 2 与对称轴交于原点 0 0 0 叫做椭圆抛物面的顶点 3 形状 1 是抛物线 parabola 2 是抛物线 主抛物线 3 是一个椭圆 容易知道图形 3 的两对顶点分别在主抛物线 1 与 2 上 4 是抛物线 II 双曲抛物面 hyperbolicparaboloid 方程 性质 1 椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面 对称于z轴 无对称中心 2 形状 5 是一对相交于原点的直线 6 是抛物线 7 是抛物线 主抛物线 8 是双曲线 hyperbola 9 是抛物线 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 定义 由一族直线生成的曲面称为直纹面 ruledsurface 这族直线称为曲面的一族直母线 单叶双曲面 u族直母线 v族直母线 对于单叶双曲面上的每个点 两族直母线中各有一条直母线经过该点 双曲抛物面 对于双曲抛物面上的每个点 两族直母线中各有一条直母线经过该点 直母线 定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面 而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交 定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线 而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面 例题 例1 研究方程 解 配方得 此方程表示 说明 如下形式的三元二次方程 A 0 都可通过配方研究它的图形 其图形可能是 的曲面 表示怎样 半径为 的球面 球心为 一个球面 或点 或虚轨迹 例2 试建立顶点在原点 旋转轴为z轴 半顶角为 的圆锥面方程 解 在yoz面上直线L的方程为 绕z轴旋转时 圆锥面的方程为 两边平方 例3 求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解 绕x轴旋转 绕z轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面 所成曲面方程为 所成曲面方程为 例4 求准线是 母线方向为的柱面方程 解 准线可改写为 所求柱面方程为 消去参数u v得 例5 求半径为2 对称轴为的圆柱面方程 解 在所求圆柱面上任取一点 由 得 例6 求准线是 顶点为原点的锥面方程 解 准线方程为 所求锥面方程为 消去参数u v得 例7 由椭球面的中心 引三条两两互相垂直的射线 分别交曲面于 设 试证 课本P162 ex4 解 设的单位向量分别为 P1的坐标为 代入椭球面方程 得 同理可得 由于两两垂直 知是正交的矩阵 于是有 所以 例8 试求单叶双曲面上互相垂直的两直母线交点的轨迹方程 课本P182 ex8 解 过单叶双曲面上所求轨迹上一点的两条直母线分别为L1和L2 当时 当时 L1和L2的方向向量分别为 当时 当时 由垂直 得 分别在和的情况下 计算上式各项 再整理得所求轨迹均为 例9 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t和 得旋转曲面方程为 例10 求空间曲线 例11 直线 绕z轴旋转一周 求此旋转 转曲面的方程 解 在L上任取一点 旋转轨迹上任一点 则有 得旋转曲面方程 例12求 在xoy面上的投影曲线方程 例13求 所围的立体在xoy面上的投影区域 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 例14 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给