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均值不等式求最值配凑方法总结第一篇:均值不等式求最值的配凑技巧1 利用均值不等式求最值的配凑 我们熟知利用均值不等式求最值，须具备三个条件：（1）各项必须是正数；（2）各项和或积必须是定值；（3）各项必须相等，其中尤为重要的是和（积）为定值。如何凑出定值从而求出最值，却深感困难， 下面谈几种配凑方法 一、拆项配凑 例1求y=x2+5 x+42的最小值 解：y=x+4+24 x2+4 4 2-3x2+44-35= 22当且仅当x+4=2x+4，即x=0时，等号成立 y=5 2 二、加倍裂项配凑 例2已知0x1，求函数f(x)=a2x2(1-ax)的最大值 a 11 ax0，1-ax0，则f(x)=(ax)2(2-2ax)2a 3解：0x1ax+ax+(2-2ax)1234=()= 223273 f(x)max=42，此时ax=2-2ax，即x= 273a 三、平方裂项配凑 例3：设0，求函数f()=（1+cos）sinq的最大值及相应的值 2 解：0， sinqq0，cos 0， 22 则f()2=（1+cos）2sin2qqqqqq=4 sin2 cos4=22 sin2 cos2 cos2222222 2sin2 2(q+cos2 3q+cos2q)3=2(2)3=16 327 f() 4 9 当2 sin2qq1143= cos2，即cos=，=arccos时，f()max= 33229 四、添项配凑 例4已知ab+=1 （x、y、a、bR+，ab），求x+y的最小值 xy均值不等式求最值配凑方法总结 abxy+）=a+b+b+aa+b+2ab=(a+b)2 yxxy aba+=1联立解得与xyb解：x+y =（x+y）1=（x+y）（当且仅当xyxb=a时等号成立，即 =yxy x=a+ab,y=b+ab 当x=a+ab,y=b+ab时，x+y的最小值是(a+b)2 五、换元配凑 例5已知a、b、cR+，求y=cab+的最小值 a+bb+cc+a A+C-BA+B-CB+C-A，b=，c= 222解：设a+b=A，b+c=B，c+a=C，则可求得a=故y=B+C-AA+C-BA+B-C1BCACAB+=(+-3) 2A2B2C2AABBCC 131BACABC(2+2+2-3)=(6-3)= 222ABACCB 当且仅当BACABC=,=,=， 所以A2=B2=C2 即A=B=C， ABACCB 所以a+b=b+c=c+a即a=b=c时，等号成立。 y=cab3+的最小值为 a+bb+cc+a2 六、待定系数配凑 例6求函数y=x(2-2x) (1-2x) （0x1）的最大值 2 解：y=2ax(b-bx)(1-2x) ab 欲使其和ax+(b-bx)+(1-2x)等于定值，必须a-b-2=0即a=b+2， 故实际上只有一个待定字母b即可，并且（b0）。（由于b-bx0，即b（1-x）0，又因为（1-x）0，所以b0） y=2(b+2)x(b-bx)(1-2x) b(b+2) 2(b+2)x+(b-bx)+(1-2x)32b+13=() b(b+2)3b(b+2)3 b1= 2b+2b+4当且仅当（b+2）x=b-bx=1-2x时等号成立，即 x= 解得b= 当x=-1或b=-3-1（舍去） 13-2b+13=时，ymax= ()=b+46b(b+2)39第二篇:均值不等式求最值的解法总结(学生) 均值不等式 一、 基本知识梳理 1.算术平均值：如果abR+，那么 叫做这两个正数的算术平均值. 2.几何平均值：如果abR+，那么 叫做这两个正数的几何平均值 223.重要不等式：如果abR，那么a+b (当且仅当a=b时，取“=”) 均值定理：如果abR+，那么a+b (当且仅当a=b时，取“=”) 2 均值定理可叙述为： 4变式变形： a2+b2 ;(1)ab2 (2) (3)ba+ab 2a+b;22(ab0); ； a+b4()2(5) 5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。 注意三个条件：“一正，二定，三相等”即： （1）各项或各因式非负； （2）和或积为定值；均值不等式求最值配凑方法总结 （3）各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接法 例1 已知x,yR，且满足 变式：若log4x+log4y=2，求 +xy+=1，则xy的最大值为 _。 3411+的最小值.并求x,y的值 xy均值不等式求最值配凑方法总结 例2：已知x0,b 0.3a与3b的等比中项，则11 a+b的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 1 4 扩展： 例.设a1、a2、a3均为正数，且a1+a1 2+a3=m，求S=a+1+1的最小值。 1a2a3 例5. 已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W3x 2y 的最值. 变式: 求函数y=1x0,m0,再运用均值不等式来求最值。 ax2+x+1(x-1且a0)的最小值。 例6.求函数y=x+1 变式: 已知x-1，求函数 y=(x+5)(x+2)x+1的最小值. 注意：求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)=x+ 例：求函数y= a的单调性。 x2的值域。 例7.已知正数x、y满足8均值不等式求最值配凑方法总结 x+1 y=1，求x+2y的最小值。 技巧七：换元法 y= 例8. 求函数的最大值. 技巧八：取倒数 0x1y=(x+1)2 例9. 已知2，求函数x(1-2x)的最小值. 三均值不等式能力训练题 一、选择题 1、已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ( ) A最大值为0 B最小值为0 C最大值为4 D最小值为4 2、若0x1，则f(x)x(43x)取得最大值时，x的值为 ( ) A. B. C. D. 3、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ) A. B. C.5 D.6 4 、已知 为正整数，实数的最大值为40，则满足条件的数对（a，b）的个数 为 ( ) A1 B3 C5 D7 二、填空题 5、若,且 ，则的最小值为 . 6 、已知 ，则的最小值为_。 7、已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_第三篇:互联网创业大佬们总结的创业启示互联网创业大佬们总结的创业启示启示一：没钱，一样可以创业在现在的职场中，有一大部分人都不肯安于现状但却没有勇气去自己创业，其中听到最多的理由就是：现在还没钱。但是，作为互联网业内的明星级创业家的马云，我们在回顾他的三次创业经历的时候却发现，他在创业初期也并没有雄厚的资金支撑。不过，他与别人不同的地方就是，一旦有好的想法，就马上行动。所以马云的经历告诉我们：没钱，同样可以创出一番伟大的事业。下面我们来回顾一下他三次没钱的创业经历。马云的第一次创业是创办了海博翻译社，之所以要创办翻译社就是因为马云看到了改革开放后，涌入中国的外贸公司带动了大量的外语翻译需求。而且，当时在杭州并没有一家专业的翻译机构。马云看准了机会就马上开始了行动。1992年，马云当时是杭州电子工业学院的一名青年教师，工作了仅4年，每个月的工资还不到100元。以马云当时的经济环境，钱并没有成为阻碍他创业的拦路虎。他找了几个合作伙伴一起，风风火火地把杭州第一家专业的翻译机构成立起来了。创业开始，也是举步维艰，第一个月，翻译社的全部收入才700元，而当时每个月的房租就是2400元。翻译社的前三年就靠着马云推销一些礼品等杂货来维持生存。1995年，翻译社开始实现赢利。现在，海博翻译社已经成为杭州最大的专业翻译机构。虽然不能跟如今的阿里巴巴相提并论，但是海博翻译社在马云的创业经历中，也划下了重重的一笔。第二次创业就是马云创办的中国黄页，这次创业，马云仍然没有什么钱，所有的家当也只有6000元。于是，马云变卖了海博翻译社的办公家具，跟亲戚朋友四处借钱，这才凑够了8万元。再加上两个朋友的投资，一共才10万元。对于一家网络公司来说，10万元的资金确实太单薄了。其实，对于中国黄页来说，创办初期，资金也的确是最大的问题。由于开支大，业务又少，甚至在最凄惨的时候，公司银行账户上只有200元现金。但马云在这样的境遇下仍然克服了种种困难，把营业额从零做到了几百万。第三次创业就是在港交所上市创下200亿美金交易记录的阿里巴巴。很难想象，现在如日中天的阿里巴巴集团，创业初期的启动资金只有50万元，而且还是当时的十八罗汉东拼西借凑来的。所以马云的这三次创业历程已经足以证明，其实资金并不是创业的最大障碍。只要坚持梦想，有勇气和决心就一定能够成就一份伟大的事业。启示二：低成本推广策略聚美优品的CEO营销韩庚和陈鸥资金确实不会阻碍创业的梦想，但是在所有公司的初期，资金又是不容回避的问题。因为在有限的经济条件下，如何把自己的产品和品牌推出去，让所有人知道，这同样也是创业环节中最关键的一步。然而，大部分创业阶段的公司，却因无力投入高额的广告以及明星代言费，而使本身有价值的产品被埋没，无人知晓。其实，推广品牌的方式并不只有掷重金宣传才有良好的市场效果。近年来，有一种低成本的营销模式，很受一些初创型甚至已经形成规模的企业追捧。那就是CEO营销方式。但是目前CEO营销，这个词在网络上并不是很火，甚至在词语收录量最大的百度百科中，也没有建立单独的词条去解释。不过，CEO营销的这个概念和应用已经让如今很多有名的公司尝到甜头，并且仍然乐此不疲的使用着。其实CEO营销的概念很好理解，就是在营销的手段方面，采用CEO亲力亲为的方式为自己的品牌去推广。最具代表性的就是房地产界，SOHO中国老总潘石屹的CEO营销案例，我们在广告推广方面没有花过一分钱。在一次节目访谈中潘石屹曾这样表示。的确，从涉足电影，到亲自为楼盘代言再到曾经引发网络热议的潘币事件。潘石屹如今已不仅是该业界的名人，而且在社会上也产生了一定的影响力。同时，在本人被关注的背后其公司的品牌知名度也在迅速提升。其实，在互联网业界，也不乏利用CEO营销模式来推广自己品牌的案例。20xx年初，作为聚美优品的创始人陈欧被董事会要求为他自己的网站代言。随后由陈欧和韩庚双代言的模式广告，也成为了电商领域最成功的广告案例。在接受媒体采访时陈欧也表示：围绕自己做CEO营销，不太好意思，别人会说我的瑟。我这个人挺好面子的。而且，中国有句俗话枪打出头鸟。但是到后来一想，我是CEO，我不入地狱谁入地狱?在亲自出镜代言了广告之后，陈欧接下来又不断出现在湖南卫视的快乐女生、天天向上以及天津卫视的非你莫属等娱乐节目中。在不断曝光在公众视野之后，聚美优品的品牌知名度也显著提升。针对创业者亲自代言自己品牌的方式，陈欧也曾毫不避讳的称：真是省了不少钱，估计省了1个亿的广告费。而且，聚美优品的营销费用比例在行业中是非常低的，几次广告营销下来，聚美的销量几乎翻了十几二十倍。并且20xx年，聚美优品营业额达到了将近10亿，相比20xx年，成长近15倍。最后，陈欧自己也曾总结，聚美做到今天这个地步的原因，基本上全靠口碑营销和CEO营销。在此之前，淘宝化妆品店和天天网、第五大道这样的化妆品B2C已经根植市场。与其说我们占尽先机，不如说聚美以团购的模式快速切入，占了阶段性的优势，后面都是靠自己的执行和营销做起来的。有世界最伟大的销售员之称的乔吉拉德曾说过：销售的重点不是推销产品而是推销自己。这句话也恰好符合了CEO营销的核心理念，并且也适用在创业者的身上。因为创业者本身就代表着自己的公司，所以在营销手段上把自己推广出去比推广抽象的产品更容易，也更会被人接受。这也作为创业初期的低成本营销策略的首选。启示三：吸引投资人的是什么创业从来都不是件普通的事情，有了足够的创业行动力和良好的营销手段还远远不够。在一个公司的发展中资本的支持仍然还是决定一个企业生命力的关键。互联网创业大佬们总结的创业启示互联网创业大佬们总结的创业启示曾任阿里巴巴集团CTO，现任F&H投资治理有限公司董事长的吴炯与马云和陈鸥两位企业家都有过密切合作，但是，到底是什么吸引了现在作为投资人的吴炯呢?对于马云的欣赏，吴炯曾表示，我认为以马云的能力，不管做什么都能做出一些名堂来。而且以他的个人魅力，的确能够聚集起一支很有战斗力的团队。并且马云属于那种非常感性有魅力的企业家。他最大的能力则是用一个目标，把一个优秀的团队组合在一起，这个是他的核心能力，也是我最欣赏他的一点。另外，作为聚美优品的天使投资人之一，是什么让他选择陈欧?在介绍和陈欧的合作时，吴炯向媒体表示，陈欧是个很努力，也很虚心的人。他曾经特意把我请到他公司提一些意见。一开始他还不是卖化妆品，而是和一些游戏网站合作做营销、广告。我也跟他说以前的那个贸易模式可能比较难做，做起来会比较累。然后过了一段时间他跟我说，我们改贸易模式了，在网上直接做化妆品销售。我说很好，你改贸易模式的话我就投资你。因为创业团队很重要，只要团队搭建得好，改贸易模式很容易;但是即使贸易模式对了，团队不好，成功的可能性也不高。显然，从职业投资人吴炯的眼光中，我们可以看到，作为一个创业者，虚心的态度和努力、坚持的精神是必不可少的，而且对于创业团队建设，也要求创业者有足够的激情和个人魅力去感染带动自己的团队。这些就是吸引天使的关键之处，也是成就他们事业的上帝之手。延伸阅读：互联网时代的创业案例分享当你具有了一定的经验和生存能力，就可以尝试开创自己的事业了，根据自己的意愿，选择自由职业或是创业都是可以的。比方说，现在媒体更象是自由职业，如果哪天融到一笔钱，成立公司，大力发展团队，那就属于创业了。1.微信卖水果一家小区内的水果店，利用微信当中附近的人这个功能，坚持每天添加好友，然后主动跟人打招呼，