淮安市淮安区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

江苏省淮安市淮安区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上） 1抛物线 y=（ x 1） 2 3 的对称轴是（ ） A y 轴 B直线 x= 1 C直线 x=1 D直线 x= 3 2某校在体育健康测试中，有 8 名男生 “引体向上 ”的成绩（单位：次）分别是： 14， 12， 10， 8， 9，16， 12， 7，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A 10， 12 B 12， 11 C 11， 12 D 12， 12 3在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 n 的值为（ ） A 3 B 5 C 8 D 10 4对于二次函数 y=（ x 1） 2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 x= 1 C顶点坐标是（ 1， 2） D与 x 轴有两个交点 5如图， 三个顶点在 O 上， 直径，点 C 在 O 上，且 2，则 于（ ） A 32 B 38 C 52 D 66 6如图，用一个半径为 30积为 300作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径 r 为（ ） A 10 5 20 5河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y= 水面离桥拱顶的高度 4m 时，这时水面宽度 （ ） A 20m B 10m C 20m D 10m 8二次函数 y=bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A（ 3， 3） B（ 2， 2） C（ 1， 3） D（ 0， 6） 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共， 30 分 过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9 “植树节 ”时， 2016 届九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是： 5， 7， 3， x， 6， 4已知这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 10已知关于 x 的方程 2x+3k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 11已知圆锥的底面圆的周长为 8，母线长为 5，则圆锥的侧面积是 12如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于6 的数的概率为 13一元二次方程 x（ x+3） =x 的解是 14某校要从四名学生中选拔一名参加 “汉字听写 ”人赛，选择赛中每名学生的平均学生的平均成绩及其方差 果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 15把二次函数 y=12x 化为形如 y=a（ x h） 2+k 的形式 16如图，小正方形的边长均为 1，点 B、 O 都在格点上，以 O 为圆心， 半径画弧，如图所示，则劣弧 长是 17如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于（ 1， 0），（ 3， 0）两点，则它的对称轴为直线 18如图，将 O 沿弦 叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，则 度数为 三、（本大题共 9小题，共计 96 分 答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19解方程： （ 1） x 1=0 （ 2）（ x+2） 2 25=0 20一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）， 1 个白球、 1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀 （ 1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 （ 2）先从中任 意摸出一个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率 21如图线段 端点在边长为 1 的正方形网格的格点上，现将线段 点 A 按逆时针方向旋转 90得到线段 （ 1）请你用尺规在所给的网格中画出线段 点 B 经过的路径； （ 2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 1， 3），点 B 的坐标为（ 2， 1），则点 C 的坐标为 ； （ 3）线段 旋转到线段 过程中，线段 过的区域的面积为 ； （ 4）若有一张与（ 3） 中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为 22为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的经费投入， 2013 年投入了 400 万元，到 2015年投入了 576 万元 （ 1）求 2013 年至 2015 年该单位环保经费投入的年平均增长率； （ 2）该单位预计投入环保经费不低于 700 万元，若希望继续保持前两年的年平均增长率，问该目标能否实现？请通过计算说明理由 23如图， O 的直径， C 是 O 上一点 ，直线 过点 C，过点 A 作直线 垂线，垂足为点 D，且 证： O 的切线 24某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每天可卖出 190 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖 10 件，设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每天的销售利润为 y 元 （ 1）求 y 关于 x 的关系式； （ 2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为 1980 元？ （ 3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25如图，二次函数的图象与 x 轴相交于 A（ 3， 0）、 B（ 1， 0）两点，与 y 轴相交于点 C（ 0， 3），点 C、 D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、 D （ 1）求 D 点坐标； （ 2）求二次函数的解析式； （ 3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的 x 的取值范围 26在 O 中，直径 ， 弦， 0，点 P 在 ，点 Q 在 O 上，且 （ 1）如图 1，当 ，求 长度； （ 2）如图 2，当点 P 在 移动时，求 的最大值 27如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）判断 形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m，2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 江苏 省淮安市淮安区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上） 1抛物线 y=（ x 1） 2 3 的对称轴是（ ） A y 轴 B直线 x= 1 C直线 x=1 D直线 x= 3 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据二次函数的顶点式 y=（ x h） 2+k，对称轴为直线 x=h，得出即可 【解答】 解：抛物线 y=（ x 1） 2 3 的对称轴是直线 x=1 故选： C 【点评 】 本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方 2某校在体育健康测试中，有 8 名男生 “引体向上 ”的成绩（单位：次）分别是： 14， 12， 10， 8， 9，16， 12， 7，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A 10， 12 B 12， 11 C 11， 12 D 12， 12 【考点】 众数；中位数 【专题】 计算题 【分析】 先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解 【解答】 解：原数据按由小到大排列为： 7， 8， 9， 10， 12， 12， 14， 16， 所以这组数 据的中位数 = =11，众数为 12 故选 C 【点评】 本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数的定义 3在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 n 的值为（ ） A 3 B 5 C 8 D 10 【考点】 概率公式 【分析】 根据红球的概率结合概率公式列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可 【解答】 解 ： 摸到红球的概率为 ， P（摸到黄球） =1 = ， = ， 解得 n=8 故选： C 【点评】 本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 4对于二次函数 y=（ x 1） 2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 x= 1 C顶点坐标是（ 1， 2） D与 x 轴有两个交点 【考点】 二次函数的性质 【专题】 常规题型 【分析】 根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（ 1， 2），对称轴为直线 x=1，从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点 【解答】 解：二次函数 y=（ x 1） 2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（ 1， 2），对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点 故选： C 【点评】 本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=bx+c（ a0）的顶点式为 y=a（ x ）2+ ，的顶点坐标是（ ， ），对称轴直线 x= a 0 时，抛物线 y=bx+c（ a0）的开口向上，当 a 0 时，抛物线 y=bx+c（ a0）的开口向下 5如图， 三个顶点在 O 上， 直径，点 C 在 O 上，且 2，则 于（ ） A 32 B 38 C 52 D 66 【考点】 圆周角定理 【分析】 由 O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得 度数，继而求得 A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案 【解答】 解： O 的直径， 0， 2， A=90 8； A=38 故选： B 【点评】 此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 6如图，用一个半径为 30积为 300作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径 r 为（ ） A 10 5 20 5考点】 圆锥的计算 【专题】 计算题 【分析】 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和 扇形面积公式得到 2r30=300，然后解方程即可 【解答】 解：根据题意得 2r30=300， 解得 r=10（ 故选 A 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 7河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y= 水面离桥拱顶的高度 4m 时，这时水面宽度 （ ） A 20m B 10m C 20m D 10m 【考点】 二次函数的应用 【分析】 根据题意，把 y= 4 直接代入解析式即可解答 【解答】 解：根据题意 B 的纵坐标为 4， 把 y= 4 代入 y= 得 x=10， A（ 10， 4）， B（ 10， 4）， 0m 即水面宽度 20m 故 选 C 【点评】 本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 8二次函数 y=bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A（ 3， 3） B（ 2， 2） C（ 1， 3） D（ 0， 6） 【考点】 二次函数的性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可 【解答】 解： x= 3 和 1 时的函数值都是 3 相等， 二次函数的对称轴为直线 x= 2， 顶点坐标为（ 2， 2） 故选： B 【点评】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共， 30 分 把正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 9 “植树节 ”时， 2016 届九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是： 5， 7， 3， x， 6， 4已知这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 5 【考点】 算术平均数；众数 【分析】 首先根 据众数为 5 得出 x=5，然后根据平均数的概念求解 【解答】 解： 这组数据的众数是 5， x=5， 则平均数为： =5 故答案为： 5 【点评】 本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 10已知关于 x 的方程 2x+3k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 【考点】 根的判别式 【分析】 关于 x 的方程 2x+3k=0 有两个不相等的实数根，即判别式 =40即可得到关于 k 的不等式，从而求得 k 的范围 【解答】 解： a=1， b= 2， c=3k， =4 2） 2 413k=4 12k 0， 解得： k 故答案为： k 【点评】 此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个 相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 11已知圆锥的底面圆的周长为 8，母线长为 5，则圆锥的侧面积是 20 【考点】 圆锥的计算 【分析】 根据扇形面积公式进行计算即可 【解答】 解： 圆锥的底面圆的周长为 8，母线长为 5， 圆锥的侧面积为： 85=20 故答案为： 20 【点评】 本题考查的是圆锥侧面面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 12如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于6 的数的概率为 【考点】 概率公式 【分析】 根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】 解： 共 8 个数，大于 6 的有 2 个， P（大于 6） = = ， 故答案为： 【点评】 本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 13一元二次方程 x（ x+3） =x 的解是 ， 2 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次 方程来求解 【解答】 解：方程变形得： x（ x+3） x=0， 分解因式得： x（ x+3 1） =0， 可得 x=0 或 x+2=0， 解得： ， 2 故答案为： ， 2 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 14某校要从四名学生中选拔一名参加 “汉字听写 ”人赛，选择赛中每名学生的平均学生的平均成绩及其方差 果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是 乙 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 考点】 方差 【分析】 首先比较出四名学生的平均成绩的高低，判断出乙、丙两名学生的平均成绩高于甲、丁两名学生；然后比较出乙、丙的方差，判断出发挥稳定的是哪名学生，即可确定应选择哪名学生去参赛 【解答】 解： 9 8， 乙、丙两名学生的平均成绩高于甲、丁两名学生， 又 1 乙的方差小于丙的方差， 乙发挥稳定， 要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是 乙 故答案为：乙 【点评】 此题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 15把二次函数 y=12x 化为形如 y=a（ x h） 2+k 的形式 y=（ x 6） 2 36 【考点】 二次函数的三种形式 【分析】 由于二次项系数为 1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】 解： y=12x=（ 12x+36） 36=（ x 6） 2 36，即 y=（ x 6） 2 36 故答案为 y=（ x 6） 2 36 【点评】 本题考查了二次函数解析式的三种形式： （ 1）一般式： y=bx+c（ a0， a、 b、 c 为常数）； （ 2）顶点式： y=a（ x h） 2+k； （ 3）交点式（与 x 轴）： y=a（ x x 16如图，小正方形的边长均为 1，点 B、 O 都在格点上，以 O 为圆心， 半径画弧，如图所示，则劣弧 长是 【考点】 弧长的计算 【分析】 根据网格得出 长，再利用弧长公式计算得出即可 【解答】 解：如图所示： 5， ， 劣弧 长是： = ， 故答案为 【点评】 本题考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键 17 如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于（ 1， 0），（ 3， 0）两点，则它的对称轴为直线 x=1 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 计算题 【分析】 利用抛物线的对称性求解 【解答】 解： 抛物线与 x 轴交于（ 1， 0），（ 3， 0）两点， 点（ 1， 0）和点（ 3， 0）为抛物线上的对称点， 点（ 1， 0）与点（ 3， 0）关于直线 x=1 对称， 抛物线的对称轴为直线 x=1 故答案为 x=1 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：从解析式 y=a（ x x a， b， c 是常数， a0）中可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ 0），（ 0） 18如图，将 O 沿弦 叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，则 度数为 60 【考点】 翻折变换（折叠问题）；圆周角定理 【分析】 作半径 D，连结 图，根据折叠的性质得 D，则 据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 0，接着根据三角形内角和定理可计算出 20，然后根据圆周角定理计算 度数 【解答】 解：如图作半径 D，连结 将 O 沿弦 叠，圆弧恰好经过圆心 O， D 0， B， 0 20 0 故答案为： 60 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得 0是解题的关键 三、（本大题共 9小题，共计 96 分 答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19解方程： （ 1） x 1=0 （ 2）（ x+2） 2 25=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 4 的一半的平方； （ 2）把 25 移项后，直接开平方即可 【解答】 解：（ 1）移项得 x=1， 配方得 x+4=1+4， 即（ x+2） 2=5， 开方得 x+2= ， 2， 2； （ 2）移项得（ x+2） 2=25， 开方得 x+2=5， ， 7 【点评】 本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 20一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）， 1 个白球、 1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀 （ 1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 （ 2）先从中任意摸出一个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率 【考点】 列表法与树状图法；概率公式 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据 4 个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率； （ 2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率 【解答】 解：（ 1） 4 个小球中有 2 个红球， 则任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 ； 故答案为： ； （ 2）列表如下： 红 红 白 黑 红 （红，红） （白，红） （黑，红） 红 （红，红） （白，红） （黑，红） 白 （红，白） （红，白） （黑，白） 黑 （红，黑） （红，黑） （白，黑） 所有等可能的情况有 12 种，其中两次都摸到红球有 2 种可能， 则 P（两次摸到红球） = = 【点评】 此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 21如图线段 端点在边长为 1 的正方形网格的格点上，现将线段 点 A 按逆时针方向旋转 90得到线段 （ 1）请你用尺规在所给的网格中画出线段 点 B 经过的路径； （ 2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 1， 3），点 B 的坐标为（ 2， 1），则点 C 的坐标为 5， 0 ； （ 3）线段 旋转到线段 过程中，线段 过的区域的面积为 ； （ 4）若有一张与（ 3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为 【考点】 扇形面积的计算；弧长的计算；作图 【专题】 几何图形问题；网格型 【分析】 （ 1）线段 点 A 按逆时针方向旋转 90得到线段 段 点 B 经过的路径是一段弧，根据弧长公式计算路径； （ 2）根据点 A 的坐标为（ 1， 3），点 B 的坐标为（ 2， 1），可建立直角坐标系，从直角坐标系中读出点 C 的坐标为（ 5， 0）； （ 3）线段 旋转到线段 过程中，线段 过的区域的面积为一个扇形，根据扇形公式计算； （ 4）将它围成一个几何体即圆锥的侧面，则该几何体底面圆的周长就等于弧长，利用此等量关键可计算出半径 【解答】 解：（ 1）如图， 为点 B 经过的路径； （ 2）（ 5， 0）； （ 3）线段 旋转到线段 过程中，线段 过的区域的面积为一个扇形， 根据扇形公式计算 = ； （ 4）将它围成一个几何体即圆锥的侧面，则该几何体底面圆的周长就等于弧长， =2r 解得 r= 【点评】 本题综合考查了坐标系，旋转图形，及圆的弧长公式，扇形的面积公式等，所以学生学过的知识一定要系统起来 22为建设美丽家园 ，某企业逐年增加对环境保护的经费投入， 2013 年投入了 400 万元，到 2015年投入了 576 万元 （ 1）求 2013 年至 2015 年该单位环保经费投入的年平均增长率； （ 2）该单位预计投入环保经费不低于 700 万元，若希望继续保持前两年的年平均增长率，问该目标能否实现？请通过计算说明理由 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 （ 1）设 2013 年至 2015 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 x，由题意得等量关系：2013 年投入 （ 1+增长率） 2=2015 年投入，根据等量关系列出方程，再解即可 ； （ 2）利用 2015 年投入了 576 万元 1+增长率，算出结果与 700 万元进行比较即可 【解答】 解：（ 1）设 2013 年至 2015 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 x，由题意得： 400（ 1+x） 2=576， 解得： 0%， 合题意，舍去）， 答： 2013 年至 2015 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 20%； （ 2） 576（ 1+20%） =700， 答：若希望继续保持前两年的年平均增长率，该目标不能实现 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理 解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程 23如图， O 的直径， C 是 O 上一点，直线 过点 C，过点 A 作直线 垂线，垂足为点 D，且 证： O 的切线 【考点】 切线的判定 【专题】 证明题 【分析】 连接 出 出 据切线的判定定理即可得出结论 【解答】 证明：连接 图所示： C， 半径， O 的切线 【点评】 本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定与性质；熟练掌握切线的判定定理，证明 解决问题的关键 24某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每天可卖出 190 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖 10 件，设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每天的销售利润为 y 元 （ 1）求 y 关于 x 的关系式； （ 2）每件商品的售 价定为多少元时，每天的利润恰为 1980 元？ （ 3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【考点】 二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）利用销量乘以每件利润 =总利润得出关系式即可； （ 2）利用（ 1）中所求关系式，进而使 y=1980 进而得出即可； （ 3）利用配方法求出二次函数最值，结合 x 的取值范围得出答案 【解答】 解：（ 1）设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每天的销售利润为 y 元， 则 y=（ 60 50+x） = 100x+1900； （ 2）当 y=1980，则 1980= 100x+1900， 解得： ， 故每件商品的售价定为 61 元或 68 元时，每天的利润恰为 1980 元； （ 3） y= 100x+1900= 10（ x ） 2+ 故当 x=5 或 4 时， y=2100（元）， 即每件商品的售价定为 64 元或 65 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 2100 元 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，得出 y 与 x 的函数关系式是解题关键 25如图，二次函 数的图象与 x 轴相交于 A（ 3， 0）、 B（ 1， 0）两点，与 y 轴相交于点 C（ 0， 3），点 C、 D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、 D （ 1）求 D 点坐标； （ 2）求二次函数的解析式； （ 3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的 x 的取值范围 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组） 【分析】 （ 1）利用点 C、 D 是二次函数图象上的一对对称点，可得出 D 点的坐标； （ 2）设该抛物线的解析式为 y=a（ x+3）（ x 1）（ a0），然后将点 C 的坐标代入来求 a 的值； （ 3）在坐标系中利用 x 取相同值，比较出对应值的大小，从而确定，两函数的大小关系 【解答】 解：（ 1） 抛物线的对称轴是 x= 1，而 C、 D 关于直线 x= 1 对称， D（ 2， 3）； （ 2）设该抛物线的解析式为 y=a（ x+3）（ x 1）（ a0）， 把 C（ 0， 3）代入，得 3=a（ 0+3）（ 0 1）， 解得 a= 1， 所以该抛物线的解析式为 y=（ x+3）（ x 1） = 2x+3， 即 y= 2x+3； （ 3）根据图象知，一次函数值小 于二次函数值的 x 的取值范围是： 2 x 1 【点评】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的对称性，以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系，题目难度不大，非常典型 26在 O 中，直径 ， 弦， 0，点 P 在 ，点 Q 在 O