2019-2020学年省实验学校、武汉一中等六校高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省省实验学校、武汉一中等六校高二上学期期末联考数学试题一、单选题1已知命题P：，则为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据命题的否定即可写出非命题.【详解】因为P：所以为：故选A.【点睛】本题主要考查了含全称量词命题的否定，属于中档题.2若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）.ABCD【答案】D【解析】根据双曲线离心率求得，进而求得，由此求得渐近线方程.【详解】由于双曲线离心率为，故，即，解得，故渐近线方程为.故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.3总体由编号为01，02，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法时从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A4B19C48D20【答案】B【解析】根据随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论【详解】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则抽出的数字分别为41，48，28，19，故选：B【点睛】本题主要考查用随机数表法进行简单随机抽样，属于基础题4若的平数为3，为差为4，且，则新数据的平均数和方差为（ ）A-3 12B-6 12C-3 36D-6 36【答案】C【解析】直接根据平均数公式和方差公式计算即可【详解】解：，故选：C【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题5不等式成立的充分不必要条件是（ ）ABC或D或【答案】A【解析】易知不等式的解集为,据此确定其成立的一个充分不必要条件即可.【详解】不等式即，等价于，由穿根法可得不等式的解集为,结合选项可知其成立的一个充分不必要条件是.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6具有相关关系的两个量、的一组数据如下表，回归方程是，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求出、的值，然后将点的坐标代入方程，即可求出实数的值.【详解】，将点代入回归直线方程得，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.7从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为ABCD【答案】D【解析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为，即，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为，即，故所求概率，故选D。【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法。8已知下列说法：事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件其中正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】对于前两个命题，要加上限制条件才正确，后两个命题是对立事件和互斥事件的关系，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，对立事件是互斥事件的子集【详解】解：对于，事件A，B中至少有一个发生的概率包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生：当事件A，B为对立事件时，事件A，B中至少有一个发生的概率与A，B中恰有一个发生的概率相等，故错误；对于，事件A，B同时发生的概率不一定比A，B中恰有一个发生的概率小，如果事件A=B，是相同且概率大于0的事件，错误；对于，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故错误，正确；故选：A【点睛】本题主要考查对立事件和互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件，属于基础题9已知，p为q的充分不必要条件，则a的范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由为的充分不必要条件可得的解集是的解集的真子集，从而可求出答案【详解】解：，即，解得，由为的充分不必要条件可得的解集是的解集的真子集，当时，解得，满足条件；当时，解得或，满足条件；当时，解得或，综上：，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题10某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.其中对甲、乙公平的规则是（ ）A规则一和规则二B规则一和规则三C规则二和规则三D规则二【答案】B【解析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项.【详解】对于规则一，每人发球的机率都是，是公平的；对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑，则随机取出个球的所有可能的情况有（红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种，其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平；对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有（红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种，其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的.因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选：B.【点睛】本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，正确理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）ABCD【答案】B【解析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.对于甲条件，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于丁条件，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有个，故选B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.12设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】A【解析】设的重心和内心分别为，则设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，所以然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率【详解】画出图形如图所示，设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得不妨设点在第一象限内，是的重心，为的中点，点坐标为由双曲线的定义可得，又，为双曲线的右顶点又是的内心，设点的坐标为，则由题意得轴，故，点坐标为点在双曲线上，整理得，故选A【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大二、填空题13投掷两颗质地均匀的骰子，向上点数之和为10以上（不包括10）的概率是_.【答案】【解析】本题是古典概型的概率计算，先求出基本事件总数以及符合条件的基本事件个数，再根据公式求出概率【详解】解：“向上点数之和为10以上”包含的基本事件有：，投掷两颗质地均匀的骰子所出现不同的结果数是，故事件“向上点数之和为10以上”的概率是，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题14某校高一年级有学生850人，高二年级950人，高三年级1400人，现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为_.【答案】28.【解析】根据分层抽样的公式求解即可得到.【详解】解：因为采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，所以，故在高三年级应抽取的人数为28人.【点睛】本题考查了分层抽样的问题，理解分层抽样的公式是解题的关键.15已知下列命题：“”是“”的充分必要条件；设，则“且”是“”的必要不充分条件；设，则“”是“”的必要不充分条件.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】或，从而可判断；且且，而时，时也成立，可判断；且，可判断【详解】解：或，则“”是“”的充分不必要条件，故错；且且，而时，时也成立，则“且”是“”的充分不必要条件，故错；当时，但且时，故“”是“”的必要不充分条件，故对；故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断以及不等式的性质，属于基础题16已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是_【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，设，即有，且，由，可得，则，可得，即有，则，即有故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题三、解答题17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：椭圆的离心率，若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围【答案】【解析】由命题为真命题可得，命题为真命题可得，由题意有真假或假真，从而可求出答案【详解】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，解得，椭圆的离心率，解得，命题，中有且仅有一个为真命题，真假或假真，或，综上：实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查椭圆及其简单几何性质，属于基础题18已知抛物线过点且点到其准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）不过坐标原点的直线与抛物线交于两个不同的点,若,求实数的值.【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据抛物线的定义4，求出，即可得到抛物线的方程（2）设，联立，得，令，得.由，由韦达定理，可得，解出验证即可.【详解】（1）已知抛物线过点，且则， ，故抛物线的方程为（2）设，联立，得， 且，由，则 ，经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不合题意，由知综上，实数的值为【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.19某校从参加某次知识竞赛测试得学生中随机抽取60名学生，将其成绩（百分制均为整数）分成6段，后得到如下部分频率直方分布图，观察图形得信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）若用样本估计总体，已知该校参加知识竞赛一共有300人，请估计本次考试成绩不低于80分的人数；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分.【答案】（1）0.3；（2）90；（3）71【解析】（1）根据频率之和为1可得小矩形面积之和为1，由此可求出答案；（2）根据“频数=样本容量频率”可求得答案；（3）直接根据平均数的计算公式计算即可【详解】解：（1）设分数在内的频率为x.根据频率直方分布，则有，解得，分数在内的频率为；（2）数学成绩大于80分的人数为（人）；（3）估计本次考试的平均分为【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图估计总体的分布，属于基础题20已知袋中装有红球，黑球共7个，若从中任取两个小球（每个球被取到的可能性相同），其中恰有一个红球的概率为.（1）求袋中红球的个数；（2）若袋中红球比黑球少，从袋中任取三个球，求三个球中恰有一个红球的概率.【答案】（1）3个或4个 （2）【解析】（1）设袋中红球的个数为x，黑球个数为，根据分步计数原理求出基本事件总数以及恰有一个红球包含的基本事件数，解方程即可求出答案；（2）根据计数原理求出恰有一个红球的基本事件数与基本事件总数，再根据概率计算公式求解即可【详解】解：（1）设袋中红球的个数为x，黑球个数为，则：总的基本事件个数，取出一个红球的基本事件个数为，化简得，解得或，袋中红球的个数为3个或4个；（2）由（1）可知袋中有3个红球，4个黑球，基本事件总数为，第一次取红球包含的基本事件数为：，第二次取红球包含的基本事件数为：，第三次取红球包含的基本事件数为：，所求概率【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题21已知抛物线C的焦点在y轴上，焦点到准线的距离为2，且对称轴为y轴.（1）求抛物线C的标准方程；（2）当抛物线C的焦点为时，过F作直线交抛物线于，A、B两点，若直线OA，OB（O为坐标原点）分别交直线于M、N两点，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线的定义即可求出抛物线方程；（2）由题意可得抛物线C的方程为，设，直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，联立方程求得点M、N的横坐标，则，利用换元法求最值即可得出答案【详解】解：（1）当焦点在y轴正半轴时，设抛物线C标准方程为，则，所以抛物线C的方程为，当焦点在y轴负半轴时，设抛物线C标准方程为，则，所以抛物线C的方程为；（2）