数学分析教案2.doc

您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页定理3 设在区间I上可导，则 在I中下凸（上凹）（1）的单调增（减） （2）的图形在其任一点的切线的上（下）方证 （1）设在I中下凸，即有 .令得 .令得 ，所以，即单调增由中值定理和单调增，使 由定理2，在I中下凸（2）在I中下凸由（1）知，单调增由中值定理，对介于与之间使即的图形在的切线的上方设曲线上的点在任何一点的切线的上方，即于是，对有所以为I中的下凸函数 定理4 设f在区间I上2阶可导，则在I中下凸 证 在I中下凸单调增 定理3 设在区间I上可导，则在I上严格下凸（严格上凹）（1）严格增（严格减） （2）的图形严格在其任一点的切线的上（下）方定理4设在区间I上2阶可导则在I中严格下凸（严格上凹）且不含非退化区间定义2 若在连续，且在中严格下凸（严格上凹），而在中严格上凹（严格下凸），则称为的拐点或称为图形的拐点如果在连续，且则为的拐点定理5 设在中2阶连续可导，则为的拐点 证设为的拐点，则在中下凸（或上凹），在中上凹（或下凸）由定理4，由题设，连续，故所以（），您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页例1 设是区间I中的下凸函数，则在上满足条件，即有常数M，使此时，在中连续，但在I中未必连续，证 不妨设（当时，）取使则由在I中下凸知，所以. 由（*）知在上连续. 再由在中任取，所以在中连续反例： 则在上下凸，但在端点0不连续例2 设为区间I中的下凸函数，证明：（1）在上存在非减的左，右导函数并且（2）设若在左连续（或在右连续），则在可导证 （1）因为在I中下凸，故所以函数当时单调增，且有上界故当时，极限存在有限，即存在，且同理可证函数当时也是单调增的，且当时，随函数下降且有下界故极限存在有限，且.任取再取则有,所以.(2) 对取因为在I中下凸，故.令得，所以在上单调增取，当时，.由题设在左连续，令得，所以，所以在可导 例3 设定义在区间I上，则在I上是下凸对R使即在直线的上方 证 因为下凸，所以在处，当，即 .当，.取，故有 取则由右边条件知，R使 所以， ， .所以， .由定理2，在I上是下凸的您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页例4 证明：如果则对R有证 令. 当时，是严格下凸的对有 ，所以， 且等号仅当时才成立，以代替得 ，且等号仅当时才成立 例5 证明：几何平均数不大于算术平均数即若则 ，并且等号当且仅当时成立证 如果则 .如果，考虑函数 故在上严格上凹取有所以 等号当且仅当时成立例6 设，证明 且等号当且仅当时成立证 令所以在上为严格上凹函数，取. 由定理1，等号当且仅当时成立故 且等号当且仅当时成立 您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页思考题：设是定义在上的两个下凸函数，且.证明：当时，也为下凸函数证1 设由为下凸函数，所以, 由下面的引理知 .所以， 所以, ，即，当时为凸函数引理 设在上为下凸函数，.若则F单调增证 ，因为，所以，单调增 证2 因为在上为下凸函数，所以，在上连续所以在上连续，不难看出只须证.事实上 只须证 只须证 即 即 证3 因为在中下凸，由定理， 所以， 所以， 为下凸函数证4 因为为上下凸函数，所以对，有 要证明也是凸函数，只须证明由得 同理 又有 由+即得整理得，所以，为上的下凸函数您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页2.5 LHospital(洛必达)法则不定型有 定理1（LHospital法则）设f和g在区间（或）上可导，且（或）如果存在有限，则 证 延拓f，g到上，令，则f，g在连续.，由Cauchy中值定理，使 .令，此时, 所以 . 注1 如果当时，都是型，且存在，则 定理2 设f，g在上可导，又又如果存在，则 证 令，当时，则 .所以， . 定理3 设f，g都在上可导且，如果 存在，则 类似考虑的情形.证 R.，使当时， 由Cauchy中值定理，使 ，所以（注意：当时，）！又因为，所以使，有.所以， 由定理3，并类似定理2的证法有您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页定理4 设f，g在内可导，如果存在，则 定理5 (推广的LHospital法则) 设在内可导，且如果（有限或），则.证 设R，由知，对使有.固定，当时，由中值定理，使，故有.又因为所以，且有 ，故当时有所以， .设，因为 故对使所以由中值定理有所以，所以，.再由及（1）的结论知，从而 注2 在推广的LHospital法则中，将“”改为“”，改为“”有类似结论您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页例1 ，证明：证 ，所以， 例2 ，证明： 证 所以，例3 ，求下列极限：（1）；（2）；（3）解：（1） （2） （3）例4 ,求解1 .解2 例5 求.解 您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页例6 求解1解2例7 求解1 解2例8 求.解例9 设在点处2阶可导，证明：.证 因为在点2阶可导，所以使在中1阶可导注意 不能对任何比式极限都按罗比塔法则求解.这首先必须注意它是不是不定式的极限,其次是满足罗比塔法则的诸条件例10 但若不顾条件盲目使用罗比塔法则导致错误结论：因为 ，.故 极限不存在.您的位置:教学内容微积分第2章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页3 公式及其应用3.1 公式例1 设有多项式,则，所以, 若记，则所以, 即 .因此，其中定理1（唯一性）设则证 设则两式相减得于是，当时有，令得即这与矛盾定理2 设在处阶可导,则证 当时，因为连续，所以, 其中，所以当时，在可导，则所以.假设当时，结论成立当时，因为在处阶可导，则在处阶可导，若令，则,所以, 设（）称为在处的公式（或（有限）展开式）.因为, 所以, 次曲线与在有次接触称为在的公式的余项您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页定理3（公式的余项公式）设函数在区间I上有阶连续导数，在上有阶导数，,当时，记(或). 设在上连续，在内可导且，则使.特别地，（1） 取就得余项;（2） 取就得余项.证 令，则在I上连续，在内可导，且当时，对F和G在上应用中值定理，使，所以, .又（1） 取则.于是.（2） 取则， 所以, 注1 在与之间，,余项 ，余项您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页例1 将多项式表示为的多项式解1 解2所以, 例2 设在上2次可导，试证：且.表示（北大1980前研究生考试题）证1 ，两式相减得，即.所以, (对成立)，若,故判别式所以, ，若则所以.如果，则,矛盾证2 在证1中，所以.而为常数，故上述不等式的右端作为的函数时，当时取最小. 代入得所以 您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页例3 设在上有3阶导数，并且和在上有界证明：和也在上有界证 由公式知(*)式与（*）式相减得.所以其中同理，（*）式(*)式相加得，所以, 所以，和在上有界思考题： 1.设在0，1上2阶可导，当时,试证：当时，(南京航空学院1982).证 由公式得到所以所以2设在0，1上2阶可导，且证明：使得.证 易知在0，1上连续，故使由定理，如果则所以如果则所以，您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页3.2 几个初等函数Mclaurin的展开当时公式称为Mclaurin公式1余项为余项 其中在与之间，且2. 取，则其中在与之间3.取则 余项为 4R为常数， 余项在与0之间）.特别地，当时，余项（在与之间）.（在与之间）.当时，5，所以因为 则余项为其中在与之间您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页例1 将展开到项解1 ， 所以， 解2 设，则解3 解4 （待定系数法）令 由3.1的唯一性知：所以您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页例2 将展开到次（或次）例将展开到5次解1 利用Mclaurin公式分别求出则解2 设则则，则.则.，则则所以解3 （待定系数法）设其中因为由3.1定理1的唯一性知所以 例4将展开到6次解1 （待定系数法）令.上式两边关于求导，有由3.1定理1中的唯一性知，所以 解2 ，由上题得所以 解3 ，所以例5 将展开到的5次 例6 将在处展开到5次.解1 所以解2您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页3.3 公式的应用1求极值定理1 设在附近有阶连续导数，且（1）如果为偶数，则不是的极值点；（2）如果为奇数，则是的极值点证 将在作展开所以由于故使在中同号 (1) 如果为偶数,则由在附近变号知也变号，故不是的极值点 (2) 如果为奇数,则为偶数，知在附近不变号，故与同号若则为的极小值点若则为的极大值点2求不定型的极限例1 例2 求 解 因为，故从而所以 注1 法参阅P116，2（4）例5 将展开到的5次 例6 将在处展开到5次.解1 所以解2您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页3证明不等式例3 证明：当时有证 ，将展开至次，有（其中），又将展开至次，有其中故 4.近似计算例4 计算，要求误差不超过解 取就有 误差，取给小尾巴留有更大的余地， 在计算时要算到小数点后7位，并四舍五入，此时，总误差不超过 您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页例5 计算误差不超过解 因为当为时，每项取到小数点后7位，并四舍五入总误差例6 求精确到，误差不超过解 取,总误差.取.总误差.您的位置:教学内容微积分第2章第3节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页第3章 一元函数的积分1 不定积分1.1 不定积分的概念 定义1 设在区间I上为为F的导函数，即或则称F为在I上的一个原函数定理1 如果在区间I上有原函数F，即在I上则函数族R是的全部原函数证 对因为所以为的原函数反之，若G为在I上的一个原函数，则，由第2章2.1推论2知，R使所以R是在I上的全部原函数定义2 设函数在区间I上有一个原函数F，则函数族就称为在I上的不定积分记作R 称为不定常数，称为被积函数，称为积分变量，称为被积形式，称为积分号由不定积分定义立即得： （1）； （2）定理2 设和在区间I上都有原函数，则（1）；（2）为常数. 证 （1）设F，G分别为和的原函数，则由定理1， RR，RRR. （2）. 因为 ，由定理1，RR 问题：任何是否一定有原函数？不一定. 反例：函数在R上无原函数证（反证）假设在R上有原函数，即R由于根据定理，使这与只取0或1相矛盾下面2将证明：若在区间I上连续，则在I上有原函数不定积分公式表 R.R.R.RR.R. R. R R，其中 R， 或 Z. 或 Z.您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例1 在上求的原函数的全体. 是否为（为任意常数）？否！应为 例如：不在R的族中因此，记 是不正确的！例2 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例3 求解 连续，根据下面2的定理知有原函数F，由于，所以，F连续当当令 ，则为求得一个原函数 必须F在1连续，故 ，所以， 例4 解 因为在R上连续，根据下面2定理知，有原函数F，即，且Z不构成区间，故F严格增. 令 取，由F连续性知，即，所以，所以， 所以， 而 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例4 解 因为在R上连续，根据下面2定理知，有原函数F，即，且Z不构成区间，故F严格增. 令 取，由F连续性知，即，所以，所以， 所以， 而 例5 已知曲线的切线斜率为，求此曲线若曲线又过点（0，1），此曲线如何？解 由题设知，所以，又曲线过（0，1），所以，所以，例6 已知质点作直线运动的位移函数为，瞬时速度为，加速度为，即 ， ，所以，若质点作匀速运动时，则 所以，若质点作自由落体时，运动方程为 所以， 所以，您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页1.2换元法（变量代换）定理1 （换元法、变量代换）设在区间I上连续，在区间J上可导，则 证 因在区间I上连续，故在I上有原函数F， 根据1.1定理1， .作换元有二种方法：（1）主动作变换（2） 凑微分的例子： 例1（1）（2） =（3） （4） （5）. （6）. （7） （8） （9）. （10）例2 求（1）；（2），解1（1） .解2 解3 (2) 解1 解2 解3 主动作变换的例子：您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例3 （1） （2）（3）（4）解1解2 例4 （1）解1解2 所以 （2） （3） 解1 解2 解3 其中，,故，从而，即所以，解4 令， （4） 其中，例5 设求.解 设，则，.所以所以. 例6 从物理实验知，放射性元素的衰变速度与当时的质量成正比，求衰变规律解 设时刻时质量为则,由分离变量法 当时，质量为则,所以, .当时，相应的T为，,称它为该放射性元素的“半生期”可见，通过值可求出半生期T.例如，镭的半生期T=1600年就是说，1克的镭经过1600年剩下0.5克. 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页1.3 分部积分法定理1（分部积分法）设和在区间I上都有连续的导函数，则在I上有或. 证 因为 所以.由在I上连续，故都有不定积分，从而例1 (升幂) （1） （2） （3） （4） (5) 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例2 （降幂） （1）（2） 例3 （循环） 求解1 两式相加得两式相减得，其中为任意常数解2 所以又例4 求解1 （循环）所以.解2 解3 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例5 求解1 见1.2 例4（1）.解2 (递推)所以例6 （循环）求所以，所以，例如：或或所以，或 例7您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页1.4 有理函数的不定积分由高等代数知识，有 定理1 设有真分式 ，其中，为实数，为正整数，,则可唯一分解为部分分式： 这里都为实数众所周知，任何有理式.而由定理1知，任何真分式可以分为两类（所谓最简分式）之和：1）2）其中为自然数，为实数现在来求1），2）的不定积分：设. 当时，当时， N.于是，最后归结为已知的积分，.例如： 当， 于是，最后归结为已知的积分您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例如： 当 例1 解1 .解2 待定系数法设，则即 两式相减得 ，所以， 例2 例3 解1 解2 例4 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例5 解1 解2 所以， 例6 求 解1 解2 令代入得 代入得从而 所以. 令代入得代入得所以，D=2. 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页1.5 可有理化的积分 三角函数的有理式.设R，为二元多项式，也为实二元多项式而为实二元有理函数，则积分通过万能变换可以化为有理函数的积分，从而理论上证明了上述积分可以积出事实上，由可得 所以， 可化为有理函数的积分另外还有1）若作变换；2）若作变换；3）若作变换例1 解1 解2 您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页例2 例3 解1 解2 例4 求积分 解 作万能变换，则 某些带根式的积分的有理化： 1） 其中R为多元有理函数，R，Q. 作变换为的公分母，则 2）R，其中R为二元有理函数. 作变换 ，作变换，则有两个相异的实根，则，作变换，所以与同号由作变换,无意义例5 例6 最后指出，初等函数不一定以初等函数为原函数（证明相当困难！）如 (法)形式下的第一、二、三类椭圆积分您的位置:教学内容微积分第3章第1节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页2 定(Riemann)积分2.1 Riemann积分的概念 定义1 设R为一元函数，给区间一个分割称为分割的模，任取称为在上关于分割和的Riemann（黎曼）和如果数R，使对对分割有，则称I为当时的极限，并称在上Riemann积或定积分存在，I称为在上的Riemann积分或定积分，记作，这里分别称为积分下限和上限，称为积分区间，称为被积函数，称为积分变量 完全由和区间所确定，与无关因此，.固定，R，定积分的实际意义：1）几何意义曲边梯形的面积.为曲线（轴）围成的曲边梯形的面积一般情形，为围成面积的代数和，而为围成的面积2）物理意义：例 质点作直线运动，时刻时的位移为，瞬时速度为，从时刻到这段时间内的位移为 而这段时间内所经过的路程为 例 一根直细棒，质量，线密度，从到的质量为例 质点在变力作用下作直线运动，与运动方向一致，则所做的功为您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页定理1 若在上可积，则积分值是唯一的证 （反证）若存在R，它们都是当时的极限则对对分割有矛盾所以，定理2 （可积的必要条件）在上可积，则在上有界（因而无界函数不是可积的）反之不真证 因为在上可积，取对的任意分割有（反证）假设在上无界，则至少有一个在其上无界，则使但由（*）式知矛盾例3 中函数有界但不可积下面可证，连续函数，有界且只有有限个间断点的函数以及单调函数都在上是可积的还可证公式，其中F为的任一原函数例1 只有在处不连续，且有界因此，在0，1上是可积的例2 在任何有限区间上只有有限个不连续点，且有界，所以它是可积的例3 函数在0，1上有界但不可积证 显然，有界 （反证）假设在0，1上可积，则R，对当分割时有 特别地，取Q，RQ.于是，矛盾 对于可积的函数有时选特殊的分点（例如：等分）可取或或或您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页例4 求解 将等分，取，于是有例5 求解 例6 求 解 等分区间， 您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页2.2 Riemann积分的性质由Riemann积分定义知，对有若，若，约定，约定.定理1 设在上可积，R则在上也可积，且证 用定义，类似数列与函数极限，有所以， 定理2 设和在上都是Riemann可积（1）当时，特别当时，（2）当，且使且在连续，则特别当时，证 （1）对的任何分割所以（2）因为在连续，且所以存在含的区间使有,所以故 (3) 因为(在2.5知，可积也Riemann可积). 当ab时，所以， 定理3 设在区间I上可积，则证 由2.5知，若在区间I上可积，则在I的任一子区间上也可积 （i）在上可积，作的分割并使为其中一分点所以，(ii) .由（i）知(iii) .由（i）知，所以，您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页定理4 设在上可积，且则对的连续点，有特别地，若在上连续，则证 （反证）假设在连续点处有则由推得则使有于是有矛盾 定理5（积分平均值定理）设在上连续，在上不变号，则使 证 因在上连续，由最值定理，它在上达到最大值M和最小值即 由在上不变号，不妨设则积分得（i）若由，故所以， (ii) 则对应用连续函数的介值定理，使，即 推论1 设在上连续，则使得证 在定理5中，取，则. 例1 不计算积分值比较积分的大小： （1） （2）.证 （1）因为 且根据定理2，有 因为 且根据定理2，有 （2）因为 ，且根据定理2，有 ；因为 且根据定理2，有您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页例2 证明.证 设，则所以, 故 .所以, 例3 求证：(注意 但.) 证1 显然对取对固定的，又因为故N，当时，有所以 于是，证2 因为由夹逼定理知例4 设在上连续，证明：Cauchy-不等式.其中等号当且仅当或时成立（R为常数）证 对R有.（1）若由定理4，则不等式成立，即.（2）若则由上述关于的二次三项式知，判别式即.当时，显然等式成立，即.同理当时，等式也成立反之，不等式成为等式 （1）则 （2）由知，二次三项式有实根即再由定理4知 您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页2.3 微积分基本公式设在上可积，因此对变上限积分是定义在上的一个函数定理1 设在上可积，则变上限积分为满足（李普希茨）条件的函数，特别地，F在上连续证 因为在上可积，根据2.1定理2知在上必有界，即. 于是，对有，这就证明了F在满足条件 例如，则F在0不可导F比连续函数好，可能不如可导函数定理2（微积分基本定理）设在上可积，且在上连续，则在处可导，且证 因在连续，当时，,则 ,推论1 设f在a, b上连续，则，即F为f在a, b上的一个原函数，从而推论2 设f在a, A上连续，R可导，则.证 .您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页定理3 （微积分基本公式，Newton- Leibniz公式）设f在a, b上连续，G为f在a, b上的任一原函数，即，则证 设，则，. 因为f在a, b上连续，故由推论1知，.又因，根据第2章2.1推论2，所以.定理4 （推广的微积分基本公式）设f在a, b上Riemann可积，G在a, b上连续，且在a, b上除有限个点外，成立，则.证 作a, b的分割使不成立的点全在分点之中. 所以，且G在上连续，由Lagrange中值定理，使，则 ，由Riemann积分定义.例1 （1）设求.（2）.例2 设，求，.解 ，. 例3 应用Newton- Leibniz公式计算（1）.（2）.（3）.例4 证明：对（1）（2）.证 （1）（2）您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页例5 .例6 .例7 求解1 .解2 因连续，根据定理4（推广的Newton-Leibniz公式）例8 应用Riemann积分定义求数列极限：（1）（解1）（解2） =，其中 （Euler常数）.（2）.（3）例9 计算由曲线和围成图形的面积A.解 例10 求由抛物线与直线所围图形的面积A.解 .您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页2.4 定积分的换元（变量代换）和分部积分定理1 函数f在区间I上连续，在上连续可导，则.证 由微积分的基本定理知，f在I上有原函数F，即. 所以根据微积分基本定理知，. 定理2 设f和g在a, b上连续可导，则，即证 例1 .例2 您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页例3 （1）.（2）.（3）例4 设m为非负整数，证明：著名的J. Wallis(1616-1703，英国)公式证 ， 又 .由 得，.例5 求摆线一拱与x轴围成的图形的面积A.解 设摆线的直角坐标方程为，则.您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页您的位置:教学内容微积分第3章第2节上一页 下一页例6 设f为以T0为周期的连续函数，则对R有证：，.例7 （1）设f是连续的奇函数，则对R，.（2）设f是连续的偶函数，则对R，.证 （1）（2）定理3 （Taylor公式的积分余项）设I为区间，（即f在I上有连续的n+1阶导数），（I的内点集），则，其中Rn为积分余项，其形式为.证（归纳），结论正确.假设时，定理成立.则当时，有，所以当时，定理也成立. 例8 证明：.证1 . 证2