大学概率论第三章----随机向量.doc

第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.(2)0F(x,y) 12、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为，且(X,Y)取各对可能值的概率为 (1) 非负性:；定义4：(X,Y)的分布律也可用表格形式表示Y y1 y2 yi X X1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j . . . . . . . . xi pi1 pi2 pij 例1:从一个裝有2个紅球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球,设X和Y分別表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布律,并求PX1,Y2,PX+Y=2,及PX=1.解:X的可能值为0,1,2；Y的可能值为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得 於是(X,Y)的分佈可用表示Y 0 1 2 3X0 4/84 18/84 12/84 1/841 12/84 24/84 6/84 02 4/84 3/84 0 0由(X,Y)的分布律,所求概率为3 、二维连续型随机变量定义5：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有二维均匀分布设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G內的一区域,即DG,且D的面积为S(D),那么二维正态分布若(X.,Y)的概率密度为4、n维随机变量设E是一个随机试验,它的样本空间是.设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向量为n维随机向量或n维随机变量，简记为。设是n维随机变量，对于任意实数,称n元函数 为n维随机变量的联合分布函数。第二节 边缘分布X和Y自身的分布函数分別称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数函數，分別记为。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过求得两个边远分布函数。例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为1、二维离散型随机变量的边缘分布2、二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 则 从而知，X为连续型随机变量且概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为第三节 条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律定义6:例1： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.解: 由题意,X=i表示第i次首次击中目标,Y=j表示第j次击中目标,因而ij,X=i, Y=j表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：2、二维连续型随机变量的条件分布定义7： 对固定的实数y，设对于任意给定的正数，Py-0, 且若对于任意实数x，极限存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记作P 或记为 .同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有：亦即 若记为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为 例2： 设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)x2+y21上服从均匀分布，求条件概率密度解： (X,Y)的概率密度为且有边缘概率密度 当1y1时有： 特别y=0和y= 时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式，也有 第四节 随机变量的独立性定义8： 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件Xx与Yy相互独立，即有P Xx , Yy =PXxPYy，则称随机变量X与Y相互独立。设F(x,y)为二维随机变量(x,y)的分布函数，(x,y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件 x1Xx2与事件 y1Yy2相互独立”。Px1Xx2 ,y1Yy2=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)=FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1)= FX(x2)-FX(x1) FY(y2)-FY(y1)= Px1Xx2Py1Yy2 所以事件x1Xx2与y1Yy2是相互独立的。结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件XI1与YI2相互独立”。当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。 Y -1 0 2X -1/2 2/20 1/20 2/201 2/20 1/20 2/201/2 4/20 2/20 4/20问X与Y相互独立吗？解: X与Y的边缘分布律分别为X -1/2 1 1/2pi. 1/4 1/4 1/2Y -1 0 2p.j 2/5 1/5 2/5 逐一验证可知，pij= pi. p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。从而X与Y相互独立。例2: 设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求PX+Y1。解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为 于是 第五节 两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函数分布2、二维连续型随机变量的函数分布设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其中。即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求