2013年高考数学第一轮复习单元第9讲 三角函数的图象与.doc

1 2013 年高考数学第一轮复习单元年高考数学第一轮复习单元 第 9 讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 一 一 课标要求课标要求 1 能画出 y sin x y cos x y tan x 的图像 了解三角函数的周期性 2 借助图像理解正弦函数 余弦函数在 0 2 正切函数在 2 2 上的性质 如单调性 最大 和最小值 图像与 x 轴交点等 3 结合具体实例 了解 y Asin wx 的实际意义 二 二 命题走向命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求 而加强了对三角函数的图象与性质的考查 因为函数的性质是 研究函数的一个重要内容 是学习高等数学和应用技术学科的基础 又是解决生产实际问题的工具 因此三角 函数的性质是本章复习的重点 在复习时要充分运用数形结合的思想 把图象与性质结合起来 即利用图象的 直观性得出函数的性质 或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质 同时也要能利用函数的性质 来描绘函数的图象 这样既有利于掌握函数的图象与性质 又能熟练地运用数形结合的思想方法 预测 2013 年高考对本讲内容的考察为 1 题型为 1 道选择题 求值或图象变换 1 道解答题 求值或图像变换 2 热点问题是三角函数的图象和性质 特别是 y Asin wx 的图象及其变换 三 三 要点精讲要点精讲 1 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x 2 三角函数的单调区间 xysin 的递增区间是 2 2 2 2 kk Zk 递减区间是 2 3 2 2 2 kk Zk xycos 的递增区间是 kk22 Zk 递减区间是 kk22 Zk xytan 的递增区间是 22 kk Zk 3 函数BxAy sin 其中00 A 最大值是BA 最小值是AB 周期是 2 T 频率是 2 f 相位是 x 初相是 其 图象的对称轴是直线 2 Zkkx 凡是该图象与直线By 的交点都是该图象的对称中心 4 由 y sinx 的图象变换出 y sin x 的图象一般有两个途径 利用图象的变换作图象时 提倡先 平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出现 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头无论哪种变形 请切记每一个变换总是对字母 x 而言 即图象变换 要看 变量 起多大变化 而不是 角变化 多少 途径一 先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将 y sinx 的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位 再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍 0 便得 y sin x 的图象 2 途径二 先周期变换 伸缩变换 再平移变换 先将 y sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍 0 再沿 x 轴向左 0 或向右 0 平移 个单位 便得 y sin x 的图象 5 由 y Asin x 的图象求其函数式 给出图象确定解析式y Asin x 的题型 有时从寻找 五点 中的第一零点 0 作为突破口 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置 6 对称轴与对称中心 sinyx 的对称轴为 2 xk 对称中心为 0 kkZ cosyx 的对称轴为xk 对称中心为 2 0 k 7 求三角函数的单调区间 8 求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成 sin yAx cos yAx 的形式 在利用周期公式 9 五点法作 y Asin x 的简图 五点取法是设 x x 由 x 取 0 2 2 3 2 来求相应的 x 值及对应的 y 值 再描点作图 四 四 典例解析典例解析 题型题型 1 三角函数的图象 三角函数的图象 例 1 已知a是实数 则函数 1sinf xaax 的图象不可能是 题型题型 2 2 三角函数图象的变换 三角函数图象的变换 例 3 试述如何由 y 3 1 sin 2x 3 的图象得到 y sinx 的图象 例 4 将函数sin2yx 的图象向左平移 4 个单位 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式是 A cos2yx B 2 2cosyx C 4 2sin 1 xy D 2 2sinyx 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基 本技能 学会公式的变形 题型题型 3 3 三角函数图象的应用 三角函数图象的应用 例 5 已知电流I与时间t的关系式为sin IAt 右图是sin IAt 0 2 在一个周期内的图象 根据图中数据求sin IAt 的解析式 300 300 1 180 1 900 o I t 3 如果t在任意一段 1 150 秒的时间内 电流sin IAt 都能取得最大值和最小值 那么 的最小正 整数值是多少 例 6 已知函数 f x Acos x 的图象如图所示 2 23 f 则 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 题型题型 4 三角函数的定义域 值域 三角函数的定义域 值域 例 7 1 已知 f x 的定义域为 0 1 求 f cosx 的定义域 2 求函数 y lgsin cosx 的定义域 分析 求函数的定义域 1 要使 0 cosx 1 2 要使 sin cosx 0 这里的 cosx 以它的值充当角 点评 求三角函数的定义域 要解三角不等式 常用的方法有二 一是图象 二是三角函数线 例 8 已知函数 f x x xx 2cos 1cos5cos6 24 求 f x 的定义域 判断它的奇偶性 并求其值域 题型题型 5 三角函数的单调性 三角函数的单调性 例 9 求下列函数的单调区间 1 y 2 1 sin 4 3 2x 2 y sin x 4 分析 1 要将原函数化为y 2 1 sin 3 2 x 4 再求之 2 可画出y sin x 4 的图象 5 4 3 4 7 4 5 4 3 4 4 4 o y x 例 10 函数 y 2sinx的单调增区间是 A 2k 2 2k 2 k Z B 2k 2 2k 2 3 k Z C 2k 2k k Z D 2k 2k k Z 4 题型题型 6 6 三角函数的奇偶性 三角函数的奇偶性 例 11 判断下面函数的奇偶性 f x lg sinx x 2 sin1 分析 判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称 然后再看 f x 与f x 的关系 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 但不充分 条件 例 12 关于 x 的函数 f x sin x 有以下命题 对任意的 f x 都是非奇非偶函数 不存在 使 f x 既是奇函数 又是偶函数 存在 使 f x 是奇函数 对任意的 f x 都不是偶函数 其中一个假命题的序号是 因为当 时 该命题的结论不成立 题型题型 7 三角函数的周期性 三角函数的周期性 例 13 求函数 y sin6x cos6x 的最小正周期 并求 x 为何值时 y 有最大值 分析 将原函数化成 y Asin x B 的形式 即可求解 例 14 设 0 cossin xbxaxf的周期 T 最大值4 12 f 1 求 a b的值 2 的值终边不共线 求 的两根 为方程 若 tan 0 xf 点评 方程组的思想是解题时常用的基本思想方法 在解题时不要忘记三角函数的周期性 题型题型 8 三角函数的最值 三角函数的最值 例 15 设函数 其中 则导数的取值范围是 A B C D 例 16 若函数 13tan cosf xxx 0 2 x 则 f x 的最大值为 A 1 B 2 C 31 D 32 五 五 思维总结思维总结 1 数形结合是数学中重要的思想方法 在中学阶段 对各类函数的研究都离不开图象 很多函数的性质 都是通过观察图象而得到的 2 作函数的图象时 首先要确定函数的定义域 3 对于具有周期性的函数 应先求出周期 作图象时只要作出一个周期的图象 就可根据周期性作出整 个函数的图象 4 求定义域时 若需先把式子化简 一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化 5 求三角函数式的最小正周期时 要尽可能地化为只含一个三角函数 且三角函数的次数为 1 的形式 否则很容易出现错误 6 函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的 要比较两三角函数值的大小一般先将它们 化归为同一