一圆周角定理.ppt

一圆周角定理 1 圆周角定理 1 圆周角定义 顶点在圆上 并且两边和圆相交的角叫做圆周角 2 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 名师点拨圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系 把角和弧两种不同类型的图形联系起来 在几何证明的过程中 圆周角定理为我们解决角和弧之间的转化问题提供了一种新方法 做一做1 如图 点A B P在圆O上 若 APB 65 则 AOB 解析 由圆周角定理 得 AOB 2 APB 130 答案 130 2 圆心角定理 1 圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 名师点拨1 在圆心角定理中 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 但不能说 圆心角等于它所对的弧 2 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 它与圆的半径无关 也就是说 在大小不等的两个圆中 相同度数的圆心角 它们所对的弧的度数相等 反过来 弧的度数相等 它们所对的圆心角的度数也相等 做一做2 如图是两个同心圆 圆心为点O 点C D在大圆上 A B M在小圆上 若 AMB 40 则劣弧的度数等于 A 20 B 40 C 80 D 70 解析 因为 AMB 40 所以 AOB 80 从而劣弧的度数为80 答案 C 3 圆周角定理的推论 1 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 2 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 特别提醒1 相等的圆周角所对的弧也相等 的前提条件是 在同圆或等圆中 2 在推论1中 若将 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 则结论不一定成立 因为一条弦所对的圆周角有两种可能 所以在一般情况下是不相等的 做一做3 如图 若D是劣弧的中点 则与 ABD相等的角的个数是 A 7B 3C 2D 1解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等 知 ABD CBD ACD DAC 故与 ABD相等的角有3个 答案 B 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在同圆或等圆中 圆周角等于圆心角的一半 2 在同圆或等圆中 圆心角等于它所对的弧 3 同弦或等弦所对的圆周角相等 4 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弦也相等 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 角 弦 弧等的计算问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解析 1 D 60 B D 60 答案 1 60 2 2 5cm 反思感悟和圆周角 圆心角有关的角 弦 弧的计算 一方面可以通过计算弧 圆心角 圆周角的度数来求相关的角 线段 另一方面 还可以通过成比例线段以及相似比来计算 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1如图 点A B C是圆O上的点 且AB 4 ACB 30 则圆O的面积等于 A 4 B 8 C 12 D 16 解析 连接OA OB ACB 30 AOB 60 又OA OB AOB为等边三角形 AB 4 OA OB 4 S O 42 16 答案 D 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 角 弦 弧关系的证明问题 例2 如图 AB是 O的一条弦 ACB的平分线交AB于点E 交 O于点D 求证 AC CB DC CE 分析 通过圆周角定理与圆心角定理证明 ACE与 DCB相似 得到比例式 再转化为等积式 证明 连接BD 在 ACE与 DCB中 EAC与 BDC是同弧所对的圆周角 EAC BDC 又CE为 ACB的平分线 ACE DCB ACE DCB 故AC CB DC CE 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题1 分析已知和所求 找好所在的三角形 并根据三角形所在圆上的特殊性 寻求相关的圆周角作为桥梁 2 当圆中出现直径时 要注意寻找直径所对的圆周角 在直角三角形中处理相关问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2如图 在 O中 已知AB AC D是BC延长线上的一点 AD交 O于E 求证 AB2 AD AE 证明 如图 连接BE 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 圆周角定理 圆心角定理的综合应用 例3 如图 在Rt ABC中 BCA 90 以BC为直径的 O交AB于点E D为AC的中点 连接BD交 O于点F 求证 证明 BC为 O的直径 BFC 90 BEC 90 ACB 90 BCE A 又 BFE BCE BFE A EBF DBA 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟应用圆周角定理和圆心角定理解题的基本步骤1 观察图形 寻找相应弦及所对应的弧 2 利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角 3 进行数学变形 4 得出结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练3如图 已知AB是半圆O的直径 弦AD BC相交于P 若CD 3 AB 4 则tan BPD等于 解析 连接BD 则 BDP 90 答案 D 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错用圆周角定理致误 典例 已知 O中的弦AB的长等于半径 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 错解 根据题意画出大致示意图如图 AOB和 C分别是弦AB所对的圆心角和圆周角 AB OA OB OAB为等边三角形 AOB 60 C 30 弦AB所对的圆心角为60 它所对的圆周角为30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 正解 根据题意画出大致示意图如图 AOB为弦AB所对的圆心角 C和 D是弦AB所对的圆周角 AB OA OB AOB为等边三角形 AOB 60 C 30 D 150 弦AB所对的圆心角为60 所对的圆周角为30 或150 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 纠错心得本题错误在于对圆周角的概念理解不清 错用圆周角定理而导致的 事实上 顶点在圆上 且两边都和圆相交的角叫做圆周角 一条弦所对的圆周角应有两种情况 同弧所对的圆周角相等或互补 错解 中漏掉了一个圆周角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练如图 BAD 75 则 BCD 答案 105 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 如图 点C D M在圆O上 若 OCD 15 则 CMD的度数等于 A 30 B 150 C 75 D 60 解析 因为 OCD 15 所以 COD 150 于是 CMD COD 75 答案 C2 如图 在 O中 已知 ACB CDB 60 AC 3 则 ABC的周长等于 A 9B 6C 12D 6 解析 由圆周角定理 得 BAC CDB ACB 60 所以 ABC为等边三角形 所以其周长等于9 答案 A 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 3 如图 若圆内接四边形ABCD的对角线AC BD相交于E 则图中相似三角形有 A 1对B 2对C 3对D 4对解析 由推论1知 ADB ACB ABD ACD BAC BDC CAD CBD 故 AEB DEC AED BEC 答案 B 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 4 如图 AB为 O的直径 AC 4cm BC 3cm CD AB于D 则CD的长为cm 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 5 如图 AB是圆O的直径