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数学建模 微分与模糊专题 华中农业大学数学建模基地 专题板块系列 华中农业大学数学建模基地 模糊方法及微分方程专题 模糊微分 华中农业大学数学建模基地 part1 微分方程 华中农业大学数学建模基地 在研究实际问题时 我们常常不能直接得出变量之间的关系 但却能容易得出包含变量导数在内的关系式 这就是微分方程 在现实社会中 又有许多变量是离散变化的 如人口数 生产周期与商品价格等 而且离散的运算具有可操作性 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁 华中农业大学数学建模基地 不管是微分方程还是差分方程模型 有时无法得到其解析解 必要时 可以利用计算机求其数值解 既使得到其解析解 尚有未知参数需要估计 这时可利用第二章参数估计方法 而在实际问题中 讨论问题的解的变化趋势很重要 因此 以下只对其平衡点的稳定性加以讨论 华中农业大学数学建模基地 一维微分方程模型平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 易知x0也是方程 4 2 的平衡点 4 2 的通解为 关于x0是否稳定有以下结论 这个结论对于 4 1 也是成立的 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 如果 则称平衡点P0是稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则 设 则当p 0且q 0时 平衡点P0是稳定的 当p 0或q 0时 平衡点P0是不稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 华中农业大学数学建模基地 稳定性模型 建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 华中农业大学数学建模基地 再生资源 渔业 林业等 与非再生资源 矿业等 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及分析 在捕捞量稳定的条件下 如何控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量 渔场鱼量将保持不变 则捕捞量稳定 背景 实例 捕鱼业的持续收获 华中农业大学数学建模基地 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 r 固有增长率 N 最大鱼量 h x Ex E 捕捞强度 x t 渔场鱼量 产量模型 华中农业大学数学建模基地 稳定性判断 x0稳定 可得到稳定产量 x1稳定 渔场干枯 E 捕捞强度 r 固有增长率 产量模型 华中农业大学数学建模基地 图解法 P的横坐标x0 平衡点 P的纵坐标h 产量 产量最大 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 产量模型 最大产量 华中农业大学数学建模基地 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 稳定平衡点 求E使R E 最大 渔场鱼量 收入T ph x pEx 支出S cE 华中农业大学数学建模基地 对于k阶差分方程 F n xn xn 1 xn k 0 4 6 若有xn x n 满足 F n x n x n 1 x n k 0 则称xn x n 是差分方程 4 6 的解 包含k个任意常数的解称为 4 6 的通解 x0 x1 xk 1为已知时称为 4 6 的初始条件 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为 4 6 的特解 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 若x0 x1 xk 1已知 则形如xn k g n xn xn 1 xn k 1 的差分方程的解可以在计算机上实现 若有常数a是差分方程 4 6 的解 即 F n a a a 0 则称a是差分方程 4 6 的平衡点 又对差分方程 4 6 的任意由初始条件确定的解xn x n 都有xn a n 则称这个平衡点a是稳定的 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 一阶常系数线性差分方程xn 1 axn b 其中a b为常数 且a 1 0 的通解为xn C a n b a 1 易知b a 1 是其平衡点 由上式知 当且仅当 a 1时 b a 1 是稳定的平衡点 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 二阶常系数线性差分方程xn 2 axn 1 bxn r 其中a b r为常数 当r 0时 它有一特解x 0 当r 0 且a b 1 0时 它有一特解x r a b 1 不管是哪种情形 x 是其平衡点 设其特征方程 2 a b 0的两个根分别为 1 2 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 当 1 2是两个不同实根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x C1 1 n C2 2 n 当 1 2 是两个相同实根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x C1 C2n n 则 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 当 1 2 cos isin 是一对共轭复根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x n C1cosn C2sinn 易知 当且仅当特征方程的任一特征根 i 1时 平衡点x 是稳定的 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 对于一阶非线性差分方程xn 1 f xn 其平衡点x 由代数方程x f x 解出 为分析平衡点x 的稳定性 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程 差分方程模型 华中农业大学数学建模基地 问题 供大于求 现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 市场经济中的蛛网模型 华中农业大学数学建模基地 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 模型建立 华中农业大学数学建模基地 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 蛛网模型 稳定性分析 华中农业大学数学建模基地 x1 曲线斜率 稳定性分析 华中农业大学数学建模基地 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型 方程模型与蛛网模型的一致 稳定性分析 华中农业大学数学建模基地 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 结果解释 华中农业大学数学建模基地 1 使 尽量小 如 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 如 0 靠经济实力控制数量不变 结果解释 政府干预 华中农业大学数学建模基地 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 模型的推广 华中农业大学数学建模基地 方程通解 c1 c2由初始条件确定 1 2 特征根 即方程的根 平衡点稳定的条件 平衡点稳定条件 比原来的条件放宽了 x0为平衡点 研究平衡点稳定 即k xk x0的条件 模型的推广 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 四 模糊线性规划 Part2 模糊数学 华中农业大学数学建模基地 一 经典集合与特征函数 论域U中的每个对象u称为U的元素 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 其中 函数称为集合A的特征函数 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 罗素 Russell 悖论 在一个孤岛上唯一的一个理发师 其工作是 专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子 现问理发师本人该不该给自己刮胡子 问题 显然理发师 那么理发师是否属于A 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 二 模糊集合及其运算 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 1 模糊子集 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 模糊子集通常简称模糊集 其表示方法有 1 Zadeh表示法 这里表示对模糊集A的隶属度是 如 将一1 2 3 4组成一个小数的集合 可表示为 可省略 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 3 向量表示法 2 序偶表示法 若论域U为无限集 其上的模糊集表示为 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 2 模糊集的运算 定义 设A B是论域U的两个模糊子集 定义 相等 包含 并 交 余 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 几个常用的算子 1 Zadeh算子 2 取大 乘积算子 3 环和 乘积算子 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 4 有界和 取小算子 5 有界和 乘积算子 6 Einstain算子 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 3 模糊矩阵 1 模糊矩阵间的关系及运算 定义 设都是模糊矩阵 定义 相等 包含 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 并 交 余 例 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 2 模糊矩阵的合成 例 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 3 模糊矩阵的转置 4 模糊矩阵的截矩阵 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 例 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 三 隶属函数的确定 1 模糊统计法 模糊统计试验的四个要素 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 特点 在各次试验中 是固定的 而在随机变动 模糊统计试验过程 1 做n次试验 计算出 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 2 指派方法 3 其它方法 模糊集合及其运算 华中农业大学数学建模基地 模糊聚类分析 一 基本概念及定理 华中农业大学数学建模基地 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 例 设对于模糊等价矩阵 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 例 设有模糊相似矩阵 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 二 模糊聚类的一般步骤 建立数据矩阵 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 1 标准差标准化 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 2 极差正规化 3 极差标准化 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 建立模糊相似矩阵 1 相似系数法 夹角余弦法 相关系数法 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 2 距离法 Hamming距离 Euclid距离 Chebyshev距离 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 3 贴近度法 最大最小法 算术平均最小法 几何平均最小法 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 3 聚类并画出动态聚类图 1 模糊传递闭包法 步骤 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 解 由题设知特性指标矩阵为 采用最大值规格化法将数据规格化为 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 用最大最小法构造模糊相似矩阵得到 用平方法合成传递闭包 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 取 得 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 取 得 取 得 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 取 得 取 得 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 画出动态聚类图如下 模糊聚类分析 华中农业大学数学建模基地 模糊聚类分析的简要流程 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 一最大隶属原则 最大隶属原则 最大隶属原则 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 阈值原则 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 二 择近原则 1 贴近度 表示两个模糊集A B之间的贴近程度 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 C C 故B比A更贴近于 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 2 择近原则 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊模式识别 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 一 一级模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 根据运算的不同定义 可得到以下不同模型 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 其中 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 二 多级模糊综合评判 以二级为例 问题 对高等学校的评估可以考虑如下方面 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 二级模糊综合评判的步骤 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合评判 华中农业大学数学建模基地 模糊综合