多元函数极值问题论文.doc

本科生毕业论文题目：多元函数的极值问题 Extremum problem of function of several variables 学生姓名： 学号：系别：数学与应用数学专业：数学与应用数学指导教师：起止日期：2014 年 月 10 日本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名： 年 月 日目录多元函数的极值问题I摘要I关键词IKey wordsI1 引言12 多元函数极值的有关概念23 多元函数极值的判定方法23.1无条件极值的判定方法23.2 条件极值的判定方法44 无条件极值的求解方法54.1二元函数极值的求解方法54.2多元函数极值的求解方法65 条件极值的求解方法85.1多元函数极值的求解方法85.1.1代入消元法85.1.2拉格朗日乘数法85.1.3 标准量代换法105.1.4不等式法105.1.5 二次方程判别式符号法115.1.6 梯度法125.1.7 数形结合法135.2多元函数条件极值在理论和实际中的应用155.2.1不等式证明155.2.2 物理学中光的折射定律证明155.2.3 生产销售164.结束语18参考文献18致谢20多元函数的极值问题摘要在实际问题中,有时会遇到求多元函数的最大值和最小值问题,多元函数的最大值与最小值与极大值、极小值有密切联系.多元函数的极值问题一般涉及到多元函数的极值判定准则、多元函数的极值求法、多元函数极值的应用.尽管有些极值问题用初等的方法可以解决,但是有时显得麻烦,有些极值问题用初等的方法根本无法解决.本文先将一元函数的极值的的判定和求法推广到二元函数，再以二元函数的极值的判定和求法为基础，研究和探讨多元函数的极值的判定和求法；最后来探讨多元函数的极值的应用.关键词函数极值；多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法Extremum problem of function of several variablesAbstractIn fact, multiple functions of maximum and minimum value are sometimes encountered. But maximum value and minimum value of multivariate function is closely related to the minimum and maximum value. The extreme value of multivariate function generally involves the criterion, methods and application of extreme value of multivariate function. Some extreme values questions can be settled with primary methods, which cannot solve all questions. So In this paper the judging and the calculating method of one-variable function is extended into binary function. Then according to the judging and the calculating method of binary function, to research and discuss on the extreme value of multivariate function determination and method; finally to discuss the application of value of multivariate function.Key wordsFunction extreme; multi-function; extreme conditions; Lagrange multiplier method; gradient method.1 引言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的.多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益.通过对求解多元函数条件极值问题的研究，从中找到多元函数的判定方法和求出极值的不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法，从而在解决问题的过程达到最优化。学生在遇到不同的问题时能够从中找到突破口，能让这些求解放法扎根于学生的思维中，运用到学生的实际问题中去，并且在解决实际问题的同时，自己的思维能力以及解题能力得到较好的发展.本文主要讲解多元函数极值判定、多元函数极值的求法以及多元函数极值在日常生活中的应用，从中我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。首先将根据二元函数极值的判定推广到多元函数的极值的的判定；并且求解多元函数极值的方法很多，针对不同的题目要求，我们应该选择一种既简便易行又节省时间的方法。在本文中给出了二元函数极值的一阶偏导判别法，在求解时避免了求高阶偏导的麻烦和函数在稳定点处无定义所带来的麻烦， 还讨论了条件极值及n元函数极值的处理方法等问题。本文还对多元函数无条件极值和条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法和一阶微分法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.旨在本文中所提到的方法能为今后的学习和实际工作带给一定的方便.2 多元函数极值的有关概念定义2.2（无条件极值）设元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(或)，则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义2.3 （条件极值）函数在个约束条件 下的极值称为条件极值.通常情况下条件极值可以转化为无条件极值有如下命题.命题2.1 函数在条件下的条件极值可以转化为无条件极值的充分必要条件是由所确定的显函数，当的取值范围为的定义域中相应的部分时,这个函数的值总存在.例2.1 求函数在限制条件下的极值.解 问题转化为求在的无条件极值从,解得稳定点，即在内部无极值.在边界上，在处取最小值,在边界上，在处取最小值.即在及处取极小值.3 多元函数极值的判定方法3.1无条件极值的判定方法对于二元函数的极值有如下判别方法.命题3.1.1 （必要条件）若函数在点的某领域内偏导数存在，且点是其极值点，则.命题3.1.2 （充分条件）设点是函数的驻点，且在点的某领域内有二阶连续偏导数存在.记则1）当时，点不是函数的极值点；2）当时，若,则点是函数的极小值点，若,则点是函数的极大指点；3)当时，该方法不能判断其是不是极值点.注 对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个命题能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了的情形）.对于二元以上的函数极值的判定，我们可以将这命题3.1.1和命题3.1.2推广到二元以上的函数中去.得到多元函数极值的判定方法如下.对于函数的极值有如下判定方法.命题3.1.3 （必要条件）若元函数在点 存在偏导数，且在该点取得极值，则有 注 使偏导数都为的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.命题3.1.4 （充分条件）设元函数在附近具有二阶连续偏导数，且为的驻点.那么当二次型正定时，为极小值；当负定时，为极大值；当不定时，不是极值.记，并记，它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下命题：命题3.1.5 若 ，则二次型是正定的，此时为极小值；若 ，则二次型是负定的，此时为极大值.3.2 条件极值的判定方法对于二元函数在的限制下的条件极值有如下判别方法.命题3.2.1 设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数.若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为1，则存在常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述3个方程：的解.命题3.2.2 设为开集，二元实值函数在存在二阶连续偏导数，且,则当时，在点取得极小值；时，在点取得极大值.命题3.2.3 设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域内有连续的一阶偏导数.若的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为，则存在个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述个方程：的解.由命题3.2.2和3.2.3可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的命题都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.命题3.2.4设为开集，元实值函数在存在二阶连续偏导数，且,则当时，在点取得极小值；时，在点取得极大值.4 无条件极值的求解方法4.1二元函数极值的求解方法根据命题3.1.1与命题3.1.2，如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤如下：（1）解方程组 求出的所有驻点；（2）求出函数每一个驻点的二阶偏导数，确定各驻点处A、B、C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点.（3）最后求出函数在极值点处的极值.例4.1.1 求函数的极值.解 ,，解方程组：得驻点为：(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).令则在点(1,0)处，,且.所以为极小值.在点(1,2)处，,所以不是函数的极值.在点(-3,0)处,.所以不是函数的极值.在点(-3,2)处,且,所以为极大值,综上所述，函数极大值为，极小值为.4.2多元函数极值的求解方法要求三元及三元以上的函数的极值，根据命题3.1.4，我们可以得到基本的求解过程的阐述如下：定义4.2.1 设n元函数在点具有偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作,即 设n元函数在点具有偏导数，则称矩阵为函数在点的Hesinn矩阵，若二阶偏导数连续则H是实对称矩阵.命题4.2.1（充分条件）设多元函数 在的某邻域内存在一阶及二阶连续偏导数, 又则:（1） 当H 是正定矩阵时, 函数在点取得极小值;（2） 当H 是负定矩阵时, 函数 在点 取得极大值.多元函数极值的求法:由极值存在的必要条件和充分条件可知,在定义域内求n元函数的极值可按下述步骤进行:(1)求出驻点,即满足的点；(2)求出在点的Hesinn矩阵,判定正定或负定.若正定则在点取得极小值;若负定,则在点取得极大值.例4.2.1 求三元函数的极值.解：先求驻点，由 得所求驻点为，再求Hesinn矩阵因为.所以可知是正定的,所以在点取得极小值：.例4.2.1 求函数的极值.解 先求驻点，由得所以驻点为，再求Hesinn矩阵:因为 ,所以，于是函数在点的Hesinn矩阵=,又4所以是正定的，有此可以得到函数在取得极小值，极小值为.5 条件极值的求解方法5.1多元函数极值的求解方法多元函数条件极值的求法是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是充要条件法、代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用.5.1.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例5.1 求函数在条件下的极值.解 由解得，将上式代入函数，得解方程组 得驻点,，.在点.,所以不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处，,又，所以为极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为.5.1.2拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.命题2.3（充分条件） 设点及个常数满足方程组 ，则当方阵 为正定（负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例5.2 求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点处的切平面, 化简得,此平面在三个坐标轴上的截距分别为：，则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目标函数在条件下的最大值，其中，拉格朗日函数为 由 解得;.注 以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.5.1.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例5.3 设,求的最小值.解 取 为标准量, 令,则(为任意实数),从而有等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为.5.1.4不等式法a利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为，这里，且等号成立的充分条件是.例5.4 已知，求的极小值. 解 因为所以 当且仅当时，等号成立.b利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数和，总有 ,当且仅当实数与对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.例5.5 已知，求的最值.解 首先将变形为；再设，于是，根据柯西不等式及已知条件，有 即： ，当且仅当 时，等号成立；即当 时，；当 时，所以，.5.1.5 二次方程判别式符号法例5.6 若,试求的极值.解 因为 ,代入 得即 (1) 这个关于的二次方程要有实数解, 必，即解关于的二次不等式,得显然,求函数的极值, 相当于求 (2)或 (3)的极值.由(2)得 (4)这个关于的二次方程要有实数解,必须,即 ，解此关于的二次不等式,得 .所以 ,.把 代入(4),得，再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,当,时,函数达到极大值3.同理可得,当,时,函数达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.5.1.6 梯度法用梯度法求目标函数在条件函数时组限制下的极值，方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点.其中表示目标函数的梯度向量，表示条件函数的梯度向量.例5.7 从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.解 设两条直角边为,本题的实质是求在条件下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 进一步求解得容易解出,根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点.所以，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大.5.1.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例5.8 设，求的最值. 解法一 数形结合法解 设则， （图1）即表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为解法二 消元法解 设 ，则 故当，即时，达到最小值.当，即时，达到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若注意到 ，当且仅当时等号成立，因此：，当且仅当时等号成立，即，故 ，此时.（2）若，设，则问题变为求的最值.由于，所以因此，即最大值为38.（3）若，做变换，则问题转化为（1）（4）若，则问题转化为（2）.解法四 拉格朗日乘数法解 设 令 则 ，若 ，则，此时 ；若 ，则，或，此时.从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.5.2多元函数条件极值在理论和实际中的应用5.2.1不等式证明例5.9 证明不等式：.证 令，则只需证明函数在区上存在最小值，对于，令，得，且当时，当时，.由一元函数取极值的第一充分判断法，为最小值点，即在曲线上取得最小值，最小值.故在上，即.5.2.2 物理学中光的折射定律证明例5.10 设定点和位于以平面分开的不同光介质中，从点射出的光线折射后到达 点，已知光在两介质中的传播速度分别为，求需时最短的传播方式.解 设到平面的距离为，到平面的距离为，（如图2），光线从点射到点所需时间为，光线从点射到点所需时间为且，即问题转化为函数在条件 （图2）下的最小值.作拉格朗日函数令由此解得，即光线的入射角与折射角应满足：（光的折射定律）时光线传播时间最短.5.2.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.a 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.11 设生产某产品需要原料A和B，它们的单价分别为10元、15元，用单位原料A和单位原料B可生产单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A和B？【分析】由题意可知，成本函数.该问题是求成本函数在条件下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令解方程组 这是实际应用问题，所以当原料A和B的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.b利用条件极值得出利润最大化方案例5.12 为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为时，销售量是，若销售产品所得利润是销量的减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为且设令 得 依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.13 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为，那么厂家的利润为 根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：这里为市场的最大需求量，是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：这里是只生产1台电视机时的成本，是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 在约束条件 下的极值问题.作函数 就得到最优化条件由方程组中第二和第四式得到 ，即，将第四式代入第五式得到 .再由第一式知.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 由此解得最优价格为 只要确定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了.现在利用这个模型解决本段开始提出的问题.此时，.由于去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元，因此得；又由于生产1万台时成本就降低为每台3000元，因此得到