大学物理第2章课后答案.doc

第二章 质点动力学 四、习题选解2-1 光滑的水平桌面上放有三个相互接触的物体，它们的质量分别为（1）如图a所示，如果用一个大小等于的水平力作用于的左方，求此时和的左边所受的力各等于多少？（2）如图b所示，如果用同样大小的力作用于的右方。求此时 和的左边所受的力各等于多少？（3）如图c所示，施力情况如（1），但的右方紧靠墙壁（不能动）。求此时和左边所受的力各等于多少？解：（1）三个物体受到一个水平力的作用，产生的加速度为 用隔离法分别画出在水平方向的受力图（a）， 题2-1（a）图由 （2）由用隔离法画出在水平方向的受力图（b）由 得 解得： 题2-1（b）图（3）由于都不运动，加速度，三个物体彼此的作用力都相等，都等于F 2-2 如图所示，一轻质弹簧连接着和两个物体，由细线拉着在外力作用下以加速竖直上升。问作用在细线上的张力是多大？在加速上升的过程中，若将线剪断，该瞬时、的加速度各是多大？解：（1）分别画出、受力的隔离体如图（a）， 题2-2（a）图取向上为正方向，由牛顿第二定律 故 （2）将线剪断，画出的隔离体图，如图（b） 题2-2（b）图 取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得 得的方向向下，的方向向上。2-3 如图所示，将质量为的小球挂在倾角的光滑斜面上。求（1）当斜面以加速度沿水平方向向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力；（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零解：（1）画出小球在以加速度向右运动时的隔离体图2-3（a）。题2-3（a）图小球受三个力的作用，拉力，正压力和重力，在水平和竖直方向建坐标系，由牛顿第二定律 解得 （2）若小球对斜面的正压力为零，受力如图2-3（b）则由牛顿第二定律 得 当斜面加速度至少为时小球对斜面正压力为零。题2-3（b）图2-4 如图所示，质量分别为、的、三个物体，沿光滑斜面向上运动，斜面与水平面的夹角为，作用在物体上的拉力为，忽略物体间绳索的质量。求：（1）物体的加速度；（2）、之间绳中张力；（3）、之间绳中张力。 解：建立如图所示坐标。画出、受力的隔离体图，各物体加速度为，绳的张力、，各物体沿轴的加速度为零，在轴方向的合力为零。由牛顿第二定律 得 题2-4图物体 物体 物体 由、得 的方向沿轴正方向，即沿斜面向上由式 、间绳中张力 由式 、间绳中张力 2-5 如图所示，在一轻滑轮上跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为和的物体、。现以的恒力向上提滑轮的轴，不计滑轮与绳间的摩擦，求和的加速度。解：设滑轮相对于地面的加速度为a，物体、相对于滑轮的加速度为。则物体相对于地面的加速度为，方向竖直向下。物体相对于地面的加速度为，方向竖直向上。由牛顿定律得 题2-5图 因不计滑轮质量，并不计摩擦 由以上三式得 则 2-6 如图所示，系统置于以的加速度上升的升降机内，、两物体质量均为。所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略一切摩擦，求绳中张力。解：当升降机以加速度上升时，设A和B相对升降机的加速度大小为，则A相对地面的加速沿水平方向分量为，B相对地面的加速度为。由牛顿第二定律得 把，代入、两式得： 题2-6图 2-7 一桶内盛水，系于绳子的一端，并绕点以角速度在竖直平面内匀速转动。设水的质量为，桶的质量为，圆周半径为，问应为多大时才能保证水不流出来？又问在最高点和最低点时绳中张力多大？ 解：要使水不流出来，则在最高点向心加度 应大于等于重力加速度 题2-7图 在最高点绳对水桶的拉力为题2-7（a）图此时绳的张力 在最低点绳对水桶的拉力为题2-7（b）图此时绳的张力2-8 某段圆弧形公路的曲率半径为，公路的倾角是按的车速而设计的。求（1）公路的倾斜角；（2）若公路没有倾斜，车胎与路面间的摩擦系数至少应为多大，车辆才不致外滑？解：（1）设公路倾斜角为，若使汽车在转弯时车轮没有侧向摩擦力，向心加速度由地面对车的正压力的水平分量提供。 由、两式： 题2-8图 （2）若路面没有倾斜，向心力由轮胎与路面间的摩擦力提供 2-9 质量的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值与其速率成正比，求物体升达最高点所需的时间及上升的最大高度。 解：（1）物体抛出后，受重力和空气阻力作用而减速，由牛顿第二定律 分离变量 开始抛出时 到最高点时 对式积分 （2）由 对式分离变量，积分 2-10 一个圆锥摆的摆线长为，摆线与竖直方向的夹角恒为，如图所示。求摆锤转动的周期。 题2-10图解：摆线受重力和绳的张力的作用。竖直方向 水平方向 代入式 代入式 故摆锤转动的周期 2-11 一质量为的物体，以初速从地面抛出，抛射角，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中，求物体动量增量的大小及方向。解：取抛出点为原点，建坐标。忽略空气阻力，物体沿轴方向的速度分量不变化，动量增量为零；落地时沿轴方向的速度分量与抛出时轴方向的速度分量大小相同，方向相反。 题2-11图物体动量增量的大小 物体动量增量的方向沿轴负方向，竖直向下。2-12 一个小球在弹簧的作用下振动，所受弹力，而位移。其中、均为常量。求在从到的时间间隔内弹力施于小球的冲量。 解： 位移 弹力 在从到的时间间隔，弹力施于小球的冲量 2-13 一个力作用在质量为的质点上，使之沿轴运动，已知在此力作用下质点的运动方程为，求在到的时间间隔内力的冲量。解：由运动方程 质点速度方程 时质点速度 时质点速度 根据动量定理 2-14 用棒打击质量、速率的水平飞来的球，球飞到竖直上方的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒接触时间为，求球受到的平均冲力。 解：以球与棒接触点为原点，建立如图所示坐标,由动量定理，棒给予球的冲量沿轴和轴的分量为 题2-14图其中 冲量大小 冲量与轴夹角 球受平均冲力大小 球受平均冲力方向与冲量方向相同2-15 如图所示，用传输带输送煤粉，料斗口在上方高处，煤粉自料斗口自由落在上。设料斗口连续卸煤的流量为，以的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对的作用力的大小和方向。（不计相对传输带静止的煤粉的重量） 题2-15图解：建立如图建立坐标。煤粉从高处落到传输带时，其速度 设时间里有质量为的煤粉落在传输带上。由动量定理得 故传输带对煤粉的作用力大小为 与轴夹角为 煤粉对传输带的作用力与互为作用力和反作用力。其大小与大小相等，方向与相反。2-16 在质量为的气球上连接一绳梯，在绳梯的中间站着一个质量为的人。开始时，气球与人均相对地球静止不动。如果人以速率相对绳梯往上爬，气球将向哪个方向运动，其速率为多大？ 解：设人和气球相对于地面的运动速度分别为，由动量守恒定律 人相对于气球的速度为 代入式 的方向竖直向上，气球竖直向下运动，其速率 2-17 质量为的人手里拿着一个质量为的物体。此人用与水平面成角的速率向前跳去。当达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出。问由于人抛出物体，他跳的距离增加了多少？（把人视为质点） 解：如图所示建立坐标。在整个跳跃过程中，系统水平方向的动量守恒。设为人向后抛出物体后对地的水平速率，则抛出的物体对地的水平速率为 题2-17图 在最高点抛出物体后，人的水平速率增量人从最高点到地面的运动时间故人跳跃的距离增加了2-18 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。爆炸后一秒钟，第一块落在爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为。问第二块落在距抛出点多远的地面上。设空气阻力不计。解：取如图所示坐标，物体到达最高点时， 速度垂直分量为零，速度水平分量为 物体在点爆炸后，第一块碎片以垂直落下，其运动方程为 题2-18图该碎片经过到达地面时，代入式，解得爆炸后第一块碎片的垂直速度大小为由于爆炸力远大于重力，物体爆炸前后动量守恒 故 由此可知，第二块碎片在爆炸后，由点作斜上抛运动，其运动方程为 第二块碎片落地时， 代入式得 s把代入式得 2-19 一质量为的物体沿轴无摩擦地运动，设时，物体位于原点，速度为零。求（1）设物体在力的作用下运动了（以为单位），它的速度和加速度增为多大？（2）设物体在力的作用下移动了（以为单位），它的速度和加速度增为多大？解：（1）物体作变加速直线运动 当时 由初始条件 时 ，时 根据动量定理 （2） 当时 由初始条件 根据动能定理 2-20 以的力作用在一质量为的物体上，物体最初处于静止状态。试计算在第一、第二与第三秒内，力所作的功，以及第三秒末的瞬时功率。解：（1）初始时刻 ，加速度第一秒末的速率 力在第一秒内作的功 （2）第二秒末的速率 力在第二秒内作的功 （3）第三秒末的速率 力在第三秒内作的功 （4）第三秒末的瞬时功率 2-21解：根据功的定义，该力作功 2-22 一物体按规律作直线运动。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由运动到时，阻力所作的功。已知阻力系数为。解：由运动方程 ，在任一时刻t物体的速度 物体所受阻力 又 ， 物体由运动到，阻力对物体作功2-23 一人从深的井中提水。起初桶中装有的水，由于水桶漏水，每升高要漏去的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。解：水桶从井中被匀速提起时，人对水桶的拉力始终与水桶的重力相平衡 选取开始时井中水平面上一点为坐标原点竖直向上为轴正方向。由于水桶漏水，在某一高度处桶的重力为故人在提水过程中对水桶所做的功 2-24 设一质点在力的作用下，由原点运动到处。（1）如果质点是沿直线从原点运动到终了位置，问力所作的功是多少？（2）如果质点先沿轴从原点运动到处，然后再沿平行于轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？（3）如果质点先沿轴运动到处，然后再平行于轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？比较上述结果，说明此力是保守力还是非保守力。解：力，沿轴和轴的分量分别为对于恒力所作的功 （1） 质点从原点运动到，力做的功（2） 质点从运动到，力做的功 质点从运动到，力做的功 题2-24图 总功 （3） 质点从运动到，力做的功质点从运动到，力做的功总功 由于力做功只与质点运动的始末位置有关，与质点经过的路径无关，此力为保守力。2-25 一沿轴正方向的力作用在一质量为的质点上。已知质点的运动方程为 式中以为单位，时间以为单位。试求（1） 力在最初内做的功；（2） 在时，力的瞬时功率。 解：由质点的运动方程 由牛顿第二定律 （1） 力在最初内做的功为 （2） 力的瞬时功率 当时 2-33 如图所示，变力与半径为的无摩擦圆柱体面相切。缓慢地变化这个力，使质量 为的物体块运动，而与物块相连结的弹簧将从位置1（原长）拉长到位置2。弹簧的倔强系数为，求力所做功：（1）用积分法；（2）用功能原理。解：（1）用积分方法物体受力如图所示，因变化缓慢，物体始终处于动平衡状态。沿法线方向的力不做功，在切线方向由 力所做的功 题2-26图（2）用功能原理方法设位置1处弹性势能及重力势能都为零。又因为变化缓慢，物体始终处于动平衡状态，没有动能变化。由功能原理，力做的功等于物体势能增量2-27 、两物体相连如图所示，两物体质量均为，物体与桌面间的滑动摩擦系数。试分别用动能定理和牛顿第二定律求物体自静止落下时的速度。解：物体滑动时与桌面间的摩擦力为方法（1）由动能定理，作用于物体的重力与 题2-27图作用于物体的摩擦力所作的功等于物体和动能的增量方法（2）：物体和的受力情况如图所示，由牛顿第二定律 得 设由静止下落了h，所用时间为t 物体的速度 题2-27图2-28 如图所示，质量为m的小球，系在长度为的绳子的一端，绳的另一端固定在点。今把小球一水平初速从点抛出，使小球在竖直平面内绕一周（不计空气阻力）。（1） 求证必须满足下述条件：（2） 设，求小球在圆周上点时绳子对小球的拉力。 解：绳子的拉力垂直于球的运动方向不做功。小球运动时只有重力做功，系统机械能守恒（1） 球在A、B两点机械能相等、 又 在最高点B，小球受向心力为 题2-28图 小球若能完成圆周运动，必须使，即（2） 在C点，小球受向心力是绳的拉力和重力分量之和 小球在C点的机械能等于A点的机械能 又 故 把和代入上式 2-29 如图所示，光滑水平面与半径为的竖直光滑半圆轨道相接，两滑块的质量均为，弹簧的倔强系数为，其一端固定在点，另一端与滑块接触。开始时滑块静止于半圆轨道的底端。今用外力推滑块，使弹簧压缩一段距离后再释放。滑块脱离弹簧后与作完全弹性碰撞，碰后将沿半圆轨道上升。升到点与轨道脱离，与竖直方向成角，求弹簧被压缩的距离。题2-29图解：滑块上升到点与轨道脱离，则在点滑块的向心力完全由重力的分量提供 滑块沿半圆轨道运动时只有重力做功，在点和在半圆轨道底端点的机械能相等 由于 ， 滑块与滑块在点作完全弹性碰撞，动能守恒，动量守恒。设碰撞前后滑块的速度为，滑块的速度分别为。并已知 得 对于弹簧与滑块组成的系统，机械能守恒。 （弹簧被压缩距离）2-30 如图所示，质量分别为和的两个滑块和，分别穿于两条平行且水平的光滑导杆上，二导杆间的距离为，再以一倔强系数为，原长为的轻质弹簧连接二滑块。设开始时滑块位于处，滑块位于处，且其速度均为零，求释放后两滑块的最大速度分别是多少？ 题2-30图 解：两滑块释放后，外力（支承力、重力）对系统不做功。系统在水平方向动量守恒和机械能守恒。初始时刻两滑块速度均为零，沿水平方向总动量为零。弹簧伸长量为，系统机械能 当滑块运动到弹簧恢复原长位置时，系统的弹性势能全部转化为动能。这时滑块和具有最大速度和，系统沿水平方向总动量为，系统机械能为由动量守恒定律 由机械能守恒定律 由、两式得2-31 一质量为的中子和一个质量为的静止的原子核作对心完全弹性碰撞，求中子碰撞后损失的动能占入射动能的百分数的表达式（不计相对论效应）。设静止的原子核分别为（a）铅核；（b）碳核；（c）氢核。分别计算动能损失的百分数，并由此讨论得出的结论。（已知氢核、碳核和铅核的质量分别为、）解：设碰撞前后中子的速度分别为。碰撞后原子核的速度为V。由于是对心完全弹性碰撞，碰撞前后系统动量守恒、机械能守恒， 、V在同一直线上。取方向为正方向，有 由、两式得 中子在碰撞后损失的动能，即原子核获得的动能为 中子碰撞后损失的动能占入射动能的百分数 分别将铅核、碳核、氢核的质量，代入得故越接近，动能损失越大。2-32 如图所示，将一质量为的球以速率射入最初静止于光滑水平面上，质量为，内有弹簧的枪管内，在枪管内球使弹簧达到最大压缩点，这时球和弹簧枪以相同速率运动。假设在所有接触中无能量消耗。试问球的初动能有多大部分被贮藏于弹簧中？ 解：当枪管内弹簧达到最大压缩点时，球和弹簧枪具有相同的速率，在碰撞过程中，小球和弹簧枪组成的系统在水平方向无外力作用，动量守恒 所有接触中无能量消耗，机械能守恒。设最大压缩点弹性势能为 题2-32图 由、两式得：故球的初动能被贮藏于弹簧中的能量为2-33 如图所示，一倔强系数为的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端与质量为的物体相连，静止于光滑水平面上。质量为的小车自高处由静止开始沿光滑轨道下滑，并与相撞。若、相撞后合在一起运动，求（1）与碰后速度；（2）弹簧所受的最大压力。解：（1）设小车由高处下滑到水平面后车速为，由机械能守恒 题2-33图发生完全非弹性碰撞，沿水平方向动量守恒。设合在一起后速度为 （2）由于没有外力和非保守内力做功，和弹簧组成的系统机械能守恒。设弹簧被最大压缩的长度为x 此时弹簧受到最大压力2-34 如图所示，一质量为的小球，由静止开始沿着圆弧形木槽滚下。木槽的质量为，槽的半径为，放在光滑水平面上，不计摩擦。求小球离开槽时小球的速度与木槽的速度。解：设小球离开槽时，小球的速度为v,木槽 题2-34图的速度为V。小球滚下过程中，水平方向不受外力，沿水平方向动量守恒 小球滚下过程中，只有重力做功，系统机械能守恒 由、两式可得 2-35 质量为的子弹，以的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为的木块内，射入后，向前移动了后停止，求（1） 与水平面间的摩擦系数；（2） 木块对子弹所做的功；（3） 子弹对木块所做的功；（4） 和大小是否相等？为什么？解：设质量为的子弹初速度为，射入质量为的木块内，与木块一起运动的速度为。由动量守恒定律（1） 由于摩擦力的作用，移动了后停止，根据功能原理由 摩擦系数 （2） 木块对子弹所做的功等于子弹动能的增量（3） 子弹对木块所做的功等于木块动能的增量 (4) 和大小不等。因子弹在击入木块的过程中存在非保守内力，机械能不守恒。2-36 如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量为的物体，此物体系于一倔强系数为的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定。设物体最初静止。今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为，试证物体在弹簧伸长时的速率由下式得到： 题2-36图解：物体最初静止时，对弹簧的拉力为，弹簧伸长是物体向下运动时，系统的外力和非保守内力做功为零，机械能守恒。设弹簧伸长时物体所在位置的重力势能，则有把代入上式 2-37 如图所示，一质量为的质点，在半径为的半球形容器中由静止开始自边缘上的点滑下。到达最低点点时，它对容器的正压力数值为，求质点自滑到的过程中，摩擦力对其所做的功。解：在最低点，容器对质点的正压力为。，质点作圆周运动的向心力为又 设质点在点的重力势能为零，动能为 题2-37图质点在点的动能为零，重力势能。由功能原理，质点从滑到的过程中，摩擦力所做的功 2-38 如图所示，摆长为，摆锤质量为，起始时摆与铅直线间的夹角为。在铅直线上距悬点处有一小钉，摆可绕此小钉运动。问至少为多长才能使摆以钉子为中心绕一完整的圆周？解：如图所示，摆锤从点B摆至点C时的速率为，由机械能守恒定律摆线受钉子作用，使摆锤开始以钉子为圆心作圆周运动。若要摆能绕点作一完整的圆周，则在圆周顶点向心力须至少等于摆锤的重力 题2-38图为圆周顶点摆锤的速率。摆锤从点C运动到点D，机械能守恒把代入上式得2-39 如图所示，用一弹簧把两块质量分别为和的板连接起来。求在板上需加多大的压力以使