高等数学题库参考答案上期(1-5).doc

第一章 函数一.单选题1. 已知函数,则的积为( ) A. 1 B. 3 C. 10 D. 5 2. 下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数,则的和为（ ） A. 23.25 B. 33.25 C. 33 D. 23 4. 已知：，则（ ）A. B. C. D. 5.已知：，则（ A ）A. B. C. D. 二.判断题 1.是偶函数. ( )2.函数在定义域内是奇函数. （ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数. ( )4.复合函数的定义域即是的定义域. ( ) 5.函数与相同. ( ) 6.已知函数，则的值是-2. ( )三.填空题 1.函数的定义域为：.2.函数的定义域为：. 3.若的定义域是，则的定义域是 .4.函数的定义域为： .5.函数与其反函数的图形关于对称.6.函数,若它的反函数是 ,则 1 .7.是由简单函数和复合而成.8.,则.9.设， 14 ，.10.设函数，则，.11.函数的定义域为.四.计算题1.已知函数 求.解:, 2.求定义域. ()3.求定义域. 4.求定义域. 5.写出函数的复合过程. ()6.写出函数的复合过程. 7.写出函数的复合过程. 8.写出函数的复合过程. 9.写出函数的复合过程. 五、应用题 1.有一边长为的正方形铁片,从它的四个角截去相等的小方块,然后折起各边做一个无盖小盒子,求它的容积与截去小方块边长之间的函数关系.2.设一矩形,长为,面积为,周长为,现巳知面积一定，将周长表为的函数.第二章 极限与连续一.单选题1.如果为无穷小量，则的变化趋势是（ C ）A. B. C. D.2.( D ) A. -2 B. 2 C. 0 D. 3.极限（ C ）A. 1 B.0 C. D.4.当时，下列变量中是无穷小的是（ A ）A. B. C. D. 5.当时，是（ D ）的无穷小量.A.比高阶 B.比低阶 C.与等价 D.与同阶但不等价6.是函数在处连续的（ A ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件7.( A ) A. 2 B. C. 0 D. 8.=（ D ）A.1 B.3 C.5 D.7 9.已知下列四个数列： ,则其中收敛的数列为（ D ） A. B. C. D.10.若, 则（ D ）A. 处必连续 B. 恒有 C. D. 11.初等函数的连续区间一定是（ A ）A.定义区间 B.闭区间 C.开区间 D.12.（ C ）A.2 B.8 C.-8 D.15 13.从不能推出（ C ） A. B. C. D.14.当时，数列的极限是（ C ） A.1 B.0 C.2 D.不存在15.（ B ）A.1 B.0 C. D.无极限16.（ B ）A.1 B.2 C.3 D. 17.=（ D ）A.0 B. C. 1 D.不存在18.=（ A ）A.0 B.1 C.5 D. 19.极限=（ B ）A.1 B. C. D. 20.设,要使 处连续，则a=( B ) A.2 B.1 C.0 D.-1 21.是函数的（ B ）A.连续点 B.可去间断点 C.第一类但非可去间断点 D.第二类间断点22. 设函数，当从变到时，求自变量的增量和函数的增量（ B ）A.0.5；1.25 B.0.5；0.25 C. 0.5；-1.25 D.0.5；-0.2523. （ B ）A.1/2 B.1/4 C.0 D. 24. =（ A ）A.0 B.1 C.2 D.3 25.（ B ）A.0 B.1 C.2 D.3 二.判断题 1.无限变小的变量称为无穷小. （ ）2.数列的极限不存在. （ ）3.极限 . ( )4.非常小的数是无穷小. （ ）5.在处不连续. ( )6.已知数列,则. （ ）7.已知不存在，但有可能存在. ( )8.若与都存在，则必存在. ( )9.无穷小之和仍是无穷小. （ ）10.函数的间断点处函数一定无意义.（ ）11.极限. ( ） 12.无限个无穷小的和还是无穷小. ( )13. ( )14.设在上连续，且无零点，则在上恒为正或恒为负. ( )15. ( ) 16.任何常数都不是无穷小. （ ）17.无穷小与无穷大互为倒数关系. （ ）18.当时，无穷小量比的阶高. （ ）19.一切初等函数都是连续的. （ ）20.若,则. （ ）21. ( ) 22.零是无穷小量. （ ）三.填空题 1.= 0 .2.若由1变到时,函数的增量是 -0.19 .3.函数,当时是无穷小量,当时是无穷大量.4.若,则 A .5.若时,为无穷大量,则为 无穷小量 .6. 3 .7.函数,当时, -1.25 .8.在上的最小值为 0 .9.若,则 -1 .10.由1变到时,函数的增量是 -0.29 .11.若时,为无穷小,且，则= 无穷大量 .12.设在上连续,则.13.设是无穷小量,是有界函数,则为 无穷小量 .14.设,若定义,则在处连续.15. .16.设在上连续,则 0 .17.若时,且为无穷小量,则为 无穷大量 .18.=.19.当时,数列 以_0 为极限.20.= 4 .21. 0 .22.有限个无穷小量之和为 无穷小量 .23.函数的连续区间是.24.以零为极限的变量称为 无穷小量 .25.若函数在点处连续，则=_ 0 .26.= 3 .27.若在点可导，则.28.极限.29.极限.30.若，则是_ 无穷小量 .四.计算题1.求极限 .解: 原式 2.求极限 . 解: 原式=3.求极限. 解: 原式4.求极限 . 解: 原式5.求极限. 解: 原式6.求极限 . 解: 原式7.求极限. 解: 8.求极限 解: 此式为多项式组成的型9.求极限. 解: 此式为多项式组成的型10.求极限. 解:原式11.求极限. 解:原式12.求极限. 解:原式13.求极限. 解: 此式为多项式组成的型14.求极限. 解: 此式为多项式组成的型15.求极限. 解: 此式为多项式组成的型16.求极限. 解:原式17.求极限. 解:18.求极限. 解:原式19.求极限. 解:原式20.求极限. 解:原式21.求极限. 解:原式22.求极限. 解:原式23.求极限. 解:原式24.求极限. 解:原式25.求极限. 26.求极限. 解:原式27.求极限. 解:原式28.求极限. 解:原式29.求极限. 解:原式30.求极限. 解:原式31.求极限. 解:原式32.求极限.解：原式33.求极限. 解:原式34.求极限. 解：原式五.应用题 1.讨论函数在处的连续性.解：2.设函数,当从变到时,求自变量的增量和函数的增量.解: 自变量的增量为: 函数的增量为:3.设,求当时,求的左、右极限,并判断当时,的极限是否存在.解: 4.讨论函数 在点处的连续性,若间断说明其间断类型.解: 又5. 当时,比较与两无穷小量的阶.解: 与是等价无穷小.6. 当时,比较与两无穷小量的阶.解: 是比更低阶的无穷小.7.设,讨论它在点处的连续性,若间断说明其间断类型.解: 不存在,则在处不连续.8.试证明函数当时的极限不存在.解: 不存在9.已知,求.解：10.设,求 、和.解：；，11.设,求.解：； ，12.设函数,当从变到时,求自变量的增量和函数的增量.解：；13.设,试讨论在处的连续性,并写出连续区间.解：； ，不存在。第三章 导数与微分一.单选题1.设，则（ B ）A.-1 B.1 C. D. 2.曲线 上切线斜率为的点是（ C ） A. B. C. D.3.以下表达式中正确的是（ C ）A. B.C. D.4.已知一个质点作变速直线运动的位移函数为时间,则在时刻处的速度和加速度分别为（ A ） A. B. C. D.5.设,则（ D ) A. B. C. D.6.设,则（ C ） A. B. C. D. 7.设函数在某一点处的导数,则曲线在点（,）处切线的倾斜角是（ D ）A. B. C.锐角 D.钝角8.若两个函数在区间内各点的导数相等，则该二函数在区间内（ C ）. A. B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数 9.曲线上的切线斜率为的点是（ B ）A. B. C. D.10.已知,则的值应为（ C ）A. B. C. D. 11.设是可微函数,（ B ） A. B. C. D.12.设,且,常数的值为（ A ）A. B.0 C.1 D.213.设,则（ D ）A. B. C. D.14.设（ C ） A. B. C. D、15.在平均变化率取极限的过程中,和的状态是（ D ）A.和都是常数 B.和都是变数 C.是变数是常数 D.是常数是变数 16.函数的存在等价于（ B ） A.存在 B.存在C.存在 D.存在 17.若函数,当自变量由1变到1.01时,函数的微分 （ D ） A.0.01 B.0 C.-0.13 D.0.1318.已知，则的值为（ C ）A. B. C. D.19. 已知，则的值为（ C ）A. B. C. D.20.设，则（ B ）A. B. C. D.21.若函数,则（ D ） A. B. C. D. 二. 判断题 1.在处连续,则一定存在. （ ）2.曲线在点处有切线,则一定存在. （ ）3.若函数在处连续,则函数在处一定可导. ( )4.曲线在点处切线斜率为. ( )5.变速直线运动的速度是路程对时间的导数. ( )6.一条曲线在某点可能有切线但导数不存在. ( )7.若函数在处可导,则函数在处一定连续. ( )8.若,则. （ ）三.填空题 1.2.设,则.3.的微分是.4.5.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为,则该物体在时刻的冷却速度为 .6.曲线在点 处切线的斜率.7.8.的导数是.9.已知,则.10.已知,则.11.设,则.12.设质点的运动方程为,则质点在时的速度为_6_. 13.的微分是.14.设.15.若,则.16.已知,要使，则常数.17.的导数是.18.设质点的运动方程为 ,则t=1时,质点运动的加速度为 6 .19.20. 设某工厂生产单位产品所花费的成本是元，则其边际成本为.21.已知函数的导数，则.22.设，则.23. .24. .25.已知，且，则常数.四.计算题1.求函数的导数:. 解：2.求函数的导数: . 解：3.求函数的导数: . 解：4.求函数的导数: . 解：5.求函数的导数: .解：6.求函数的导数: . 解：7.求函数的导数: . 解：8.求函数的导数: . 解：9.求由方程所确定的隐函数的导数.解：对方程两端同时求的导数有：10.求由方程所确定的隐函数的导数.解：对方程两端同时求的导数有：11.求由方程所确定的隐函数的导数.解：对方程两端同时求的导数有：12.求由方程所确定隐函数的导数.解：对方程两端同时求的导数有：13.求由方程所确定隐函数的导数.解：对方程两端同时求的导数有：14.已知参数方程:, 求. 解：15.已知椭圆的参数方程为 ,求. 解：16.已知参数方程:a为常数, 求. 解：17.已知参数方程:求. 解：18.已知,求. 解：19.已知,求. 解：20.求的二阶导数. 解： 21.已知，求. 解：22.设且有二阶连续导数,求.解：，.23.求的二阶导数. 解：24.设,求. 解：25.设,求. 解：26.已知,求. 解：27. 解：28.利用对数求导法求函数的导数:.解:对函数两边取对数:29.求的微分. 解：30.已知,求. 解：31.设隐函数由方程确定,求. 解：32.求函数的导数. 解: 33.求函数的导数. 解：34.已知，求. 解：35.设，求. 解：36.已知，求. 解： 37.已知隐函数，求.解：方程两边同时求的导数：五.应用题 1.以初速度上抛的物体，其上开的速度S与时间t的关系：,求: (1) 上抛物体的速度？ (2) 经过多少时间它的速度为零.解: (1) ; (2) 令.2.设在处连续,求.解: .3.某工厂每日产品的总成本（单位:元）是日产量（单位:吨）的函数,求：（1）当日产量为时的平均成本. （2）当日产量由增加到时,增加部分的平均成本（即总成本的平均变化率）. （3）当日产量为时的边际成本.解:（1）; (2) (3) 日产量为时的边际成本为:4.求曲线在点处的切线方程和法线方程.解: .5.已知物体的运动方程为:,其中是常数,求物体运动的加速度.解: .6.物体作直线运动,运动方程为,求物体在到的平均速度和物体在时的速度.解: .7.正方形的面积与边长的函数关系是,如果正方形的边长由4cm增加到4.01cm,求面积增量和面积的微分.解: .8.某商品的需求函数,求时的边际需求.解: .9.设由方程所确定,试求.解: 方程两边对求导:.10.设函数,求:(1)在内变化的平均值；（2）求函数在时的变化率.解: (1) ; (2) .第四章 导数的应用一.单选题1.函数的单调增加区间是（ A ） A. B. C. D.2.是函数在点处有极值的( A ）A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 3.函数在点处取极大值,则必有（ D ） A. B. C. D.4.函数在定义域内( A ) A.单调增加 B.单调减少 C.有增有减 D.不变5.下列函数中不具有极值点的是（ C ） A. B. C. D.6.设上的（ C ） A.极小值 B.最小值 C.极大值 D.最大值7.函数在上的最小值是（ B ）A. B. C. D. 8.若使得成立，则（ B ） A.肯定是的极值点 B.可能是的极值点C.是的拐点 D.可能是的拐点9.曲线上切线斜率为的点是（ B ）A. B. C. D.10.设函数在点取得极值，则常数的值为（ A ）A. B. C. D.11. 设函数在点取得极值，则常数的值为（ D ）A. B. C. D.12. 函数在区间上的最大值为（ D ）A. B. C. D.13. 函数在区间上的最大值是（ A ）A. B. C. D.二.判断题1.如果函数在处有极值,则必有. ( )2.函数的极值点是. ( )3.将8分成两个数之和,使其立方和最小,最小值是126. ( )三.填空题 1.函数在区间内单调_递减_ .2.函数的单调减少区间是.3.函数极大和极小值分别是.4.函数的单调增加区间是.5.函数在区间单调 递增 . 6.曲线在定义域内是单调_递减_ .7.函数的单调增加区间是_（-，1）_.8.函数的驻点是.9. 10. 0 .11.函数上的最大值为.12.计算极限 1 .13.已知函数在处可导，且在处取得极值，则_0_.14.设函数有连续的二阶导数，且，则_1_.四.计算题1.求函数的单调减少区间.解：2.求函数的单调区间.解：3.求函数的单调区间和极值: .解：单调增区间：，单调减区间： 极大值：，极小值：4.求函数的单调区间和极值: .解：函数定义域为：，单调增区间：，单调减区间： 无极大值：；极小值：5.求函数的最值:.解：.6.求函数的最值: ，. 解:7.求函数在上的最值.解:8.求函数的极值:.解: ，极小值: ，无极大值.9.求函数单调区间 .解:.10.用罗必达法则求函数的极限：. 解：11.用罗必达法则求函数的极限： . 解：原式 12.用罗必达法则求函数的极限：. 解： 原式13.用罗必达法则求函数的极限:. 解：14.用罗必达法则求函数的极限: 解：原式15.用罗必达法则求函数的极限：. 解：原式16.用罗必达法则求函数的极限：. 解：17.用罗必达法则求函数的极限：. 解:原式18.用罗必达法则求函数的极限：. 解:原式 .19.确定函数的单调区间. 解:20.确定函数的单调区间.解: 21.设，求函数的极值点及极值.解: 极小值点:; 极大值点:五.应用题 1.要造一圆柱形油罐,体积为,问底半径等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解:2.某工厂生产某种商品,年产量为（百台）,总成本为C（万元），其中固定成本为2万元，每年生产一百台，可变成本增加一万元，其销售总收入是的函数: ,问每年生产多少台时,总利润为最大？解：由题意可知：成本函数.,所以当,即每年生产300百台时,总利润最大.3.要制作一个长方形的带盖箱子,其体积为72,底上两边之比1:2,问边长为多少时, 用料最省？解：设底面宽为 故长、宽、高分别为：6、3、6时，用料最省.4.某工厂生产某种商品x个单位的费用为(元),得到的收入为（元）,问生产多少个单位时才能使利润为最大？解：;所以当,即每年生产600个单位时,总利润最大.5.做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使体积为最大,高应当为多少？解:设高为底面半径为则: , 所以当高为时,体积最大.6.已知物体的运动方程为,其中,为常数,求物体运动的加速度.解:7.在曲线上求一点,使过此点的切线平行于连接曲线上的点所成的弦,求该点的坐标.解: 所以满足题意的点的坐标为:(1，2)8.欲做一个底为正方形，容积为立方米的长方形开口容器（有底无盖），怎样做法所用材料最省？解：设底边长为则高为 所以当底为6，高为3时，所用材料最省.9.某农场需要围建一个面积为平方米的矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，另三边需要砌新的石条沿，问晒谷场的长和宽各为多少时，才能使所用的石条沿最省？解:设长为,则宽为 所以当长宽分别为32、16时所用材料最少。第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设是可导函数,则为（ A ）. A. B. C. D.2.函数的（ B ）原函数,称为的不定积分.A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个3.（ A ）.A. B. C. D. 4.函数 的不定积分是（ B ）.A. B. C. D.5.函数的原函数是 （ A ）. A. B. C. D. 6.函数的原函数是（ A ）.A. B. C. D.7.设是的一个原函数,则（ B ） A. B.2 C. D.-2 8.若 , 则=（ A ）A. B. C. D. 9.函数的原函数是（ D ） A. B. C. D.10.若=（ B ） A. B.0 C. D. 11.函数的原函数是（ A ） A. B. C. D.12. 函数的原函数是（ A ） A. B. C. D.13.若函数、在区间内可导，且，则（ B ） A. B.C. D. 不能确定与之间的关系14.若，则下列等式成立的是（ B ）. A. B.C. D.15.经