复数的几何意义.ppt

3 1数系的扩充和复数的概念 3 1 2复数的几何意义 1 虚数单位i的基本特征是什么 1 i2 1 2 i可以与实数进行四则运算 且原有的加 乘运算律仍然成立 复习巩固 虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾 并将实数集扩充到了复数集 2 复数的一般形式是什么 复数相等的充要条件是什么 a bi a b R 实部和虚部分别相等 复习巩固 3 实数 虚数 纯虚数的含义分别如何 设z a bi a b R 当b 0时z为实数 复习巩固 当b 0时 z为虚数 当a 0且b 0时 z为纯虚数 4 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系如何 实数 虚数 复习巩固 5 实数与数轴上的点一一对应 从而实数可以用数轴上的点来表示 这是实数的几何意义 根据类比推理 复数也应有它的几何意义 因此 探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容 提出问题 复数的几何意义 1 在什么条件下 复数z惟一确定 给出复数z的实部和虚部 2 设复数z a bi a b R 以z的实部和虚部组成一个有序实数对 a b 那么复数z与有序实数对 a b 之间是一个怎样的对应关系 一一对应 问题探究 3 有序实数对 a b 的几何意义是什么 复数z a bi a b R 可以用什么几何量来表示 复数z a bi a b R 可以用直角坐标系中的点Z a b 来表示 a b Z a bi 问题探究 a b 用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴 形成结论 一般地 实轴上的点 虚轴上的点 各象限内的点分别表示什么样的数 各象限内的点表示虚部不为零的虚数 形成结论 实轴上的点表示实数 虚轴上的点除原点外都表示纯虚数 1 用有向线段表示平面向量 向量的大小和方向由什么要素所确定 有向线段的始点和终点 2 用坐标表示平面向量 如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段 以原点为始点 向量的坐标对应的点为终点画有向线段 问题探究 3 在复平面内 复数z a bi a b R 用向量如何表示 以原点O为始点 点Z a b 为终点的向量 问题探究 4 复数z a bi a b R 可以用向量表示 向量的模叫做复数z的模 记作 z 或 a bi 那么 a bi 的计算公式是什么 问题探究 5 设向量a b分别表示复数z1 z2 若a b 则复数z1与z2的关系如何 规定 相等的向量表示同一个复数 6 若 z 1 z 1 则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么 单位圆 单位圆内部 问题探究 例1已知复数对应的点在直线x 2y 1 0上 求实数m的值 典例讲评 例2若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1 1 2i z2 2 i z3 1 2i 求这个正方形第四个顶点对应的复数 z4 2 i 典例讲评 例3设复数 若 z 5 求x的取值范围 典例讲评 课堂小结 3 复数z a bi与复平面内的点Z a b 和向量是一个三角对应关系 即 复数z a bi 课堂小结 3 2复数代数形式的四则运算 3 2 1复数代数形式的加 减运算及其几何意义 复习巩固 1 复数的代数形式是什么 在什么条件下 复数z为实数 虚数 纯虚数 代数形式 z a bi a b R 当b 0时z为实数 当b 0时 z为虚数 当a 0且b 0时 z为纯虚数 2 复数z a bi a b R 对应复平面内的点Z的坐标是什么 复数z可以用复平面内哪个向量来表示 对应点Z a b 用向量表示 提出问题 3 两个实数可以进行加 减运算 两个向量也可以进行加 减运算 根据类比推理 两个复数也可以进行加 减运算 我们需要研究的问题是 复数的加 减运算法则是什么 提出问题 复数代数形式的加 减运算及其几何意义 问题探究 z1 z2 问题探究 3 设复数z1 a bi z2 c di对应的向量分别为 那么向量 的坐标分别是什么 a b c d a c b d 问题探究 4 设复数z1 a bi z2 c di 则复数z1 z2等于什么 z1 z2 a c b d i 问题探究 5 a bi c di a c b d i就是复数的加法法则 如何用文字语言表述这个法则的数学意义 两个复数的和仍是一个复数 两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和 两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和 问题探究 6 两个实数的和仍是一个实数 两个复数的和仍是一个复数 两个虚数的和仍是一个虚数吗 不一定 问题探究 7 复数的加法法则满足交换律和结合律吗 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 问题探究 8 规定 复数的减法是加法的逆运算 若复数z z1 z2 则复数z1等于什么 z1 z z2 9 设复数z1 a bi z2 c di z x yi 代人z1 z z2 由复数相等的充要条件得x y分别等于什么 x a c y b d 问题探究 10 根据上述分析 设复数z1 a bi z2 c di 则z1 z2等于什么 z1 z2 a c b d i 问题探究 复数的减法法则 2 两个复数的差仍是一个复数 两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差 两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差 形成结论 1 a bi c di a c b d i 1 设复数z1 a bi z2 c di对应的向量分别为 则复数z1 z2对应的向量是什么 z1 z2 的几何意义是什么 z1 z2 的几何意义表示复数z1 z2对应复平面内的点之间的距离 问题探究 2 设a b r为实常数 且r 0 则满足 z a bi r的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么 以点 a b 为圆心 r为半径的圆 问题探究 3 满足 z a bi z c di 的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么 点 a b 与点 c d 的连线段的垂直平分线 问题探究 4 设a为非零实数 则满足 z a z a z ai z ai 的复数z分别具有什么特征 若 z a z a 则z为纯虚数或零 若 z ai z ai 则z为实数 问题探究 例1计算 5 6i 2 i 3 4i 11i 例2如图 在矩形OABC中 OA 2 OC 点A对应的复数为 求点B和向量对应的复数 典例讲评 1 复数的加 减运算法则表明 若干个复数的代数和仍是一个复数 复数的和差运算可转化为复数的实部 虚部的和差运算 2 在几何背景下求点或向量对应的复数 即求点或向量的坐标 有关复数模的问题 根据其几何意义 有时可转化为距离问题处理 课堂小结 3 在实际应用中 既可以将复数的运算转化为向量运算 也可以将向量的运算转化为复数运算 二者对立统一 课堂小结 P109练习 1 2 P112习题3 2A组 2 3 布置作业 3 2复数代数形式的四则运算 3 2 2复数代数形式的乘除运算 1 设复数z1 a bi z2 c di 则z1 z2 z1 z2分别等于什么 z1 z2 a c b d i z1 z2 a c b d i 2 设z1 z2为复数 则 z1 z2 的几何意义是什么 复数z1 z2对应复平面内的点之间的距离 复习巩固 复数代数形式的乘除运算 1 设a b c d R 则 a b c d 怎样展开 a b c d ac ad bc bd 问题探究 1 设复数z1 a bi z2 c di 其中a b c d R 则z1z2 a bi c di 按照上述运算法则将其展开 z1z2等于什么 z1z2 ac bd ad bc i 形成结论 2 a bi 2 a2 b2 2abi 1 复数的乘法是否满足交换律 结合律和对加法的分配律 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 问题探究 2 对于复数z1 z2 z1 z2 与 z1 z2 相等吗 z1 z2 z1 z2 问题探究 实部相等 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数 3 在实数中 与互称为有理化因式 在复数中 a bi与a bi互称为共轭复数 一般地 共轭复数的定义是什么 问题探究 4 复数z的共轭复数记作 虚部不为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数 那么z与在复平面内所对应的点的位置关系如何 等于什么 关于实轴对称 问题探究 5 若复数z1 z2 z 则称复数z为复数z1除以z2所得的商 即z z1 z2 一般地 设复数z1 a bi z2 c di c di 0 如何求z1 z2 问题探究 6 就是复数的除法法则 并且两个复数相除 除数不为0 所得的商还是一个复数 那么如何计算 问题探究 7 怎样理解 问题探究 例1设z 1 2i 3 4i 1 i 2求 例2设复数 若z为纯虚数 求实数m的值 m 3 典例讲评 1 复数的乘法法则类似于两个多项式相乘 展开后要把i2换成 1 并将实部与虚部分别合并 若求几个复数的连乘积 则可利用交换律和结合律每次两两相乘 课堂小结 2 复数的除法法则类似于两个根式的除法运算 一般先将除法运算式写成分式 再将分子分母同乘以分母的共轭复数 使分母化为实数 分子按乘法法则运算 课堂小结 3 对复数的乘法 除法运算要求掌握它们的算法 不要求记忆运算公式 对复数式的运算结果 一般要化为代数式 课堂小结 P111练习 1 2 3 布置作业 复数的概念与运算题型分析 第一课时 题型一 复数的混合运算 例1计算 17 3i 例2设复数z 1 i 求的值 1 i 题型二 复数的变式运算 例3已知复数z满足 求的值 i 例4已知复数z满足 求的值 1 题型三 求满足某条件的复数值 例5已知复数z满足为纯虚数 且 求z的值 例6已知复数z满足 求z的值 题型三 求满足某条件的复数值 例7已知复数z满足 z 2 2 且 求z的值 z 4或 题型三 求满足某条件的复数值 P112习题3 2A组 4 5 P116复习参考题A组 2 3 复数的概念与运算题型分析 第二课时 题型四 求复数式中的实参数值 例8已知复数z 1 i 若 求实数a b的值 a 1 b 2 题型四 证明复数的有关性质 例9求证 复数z为纯虚数的充要条件是z2 0 题型四 证明复数的有关性质 例10已知复数z满足 z 1 求证 例11已知复数z1 z2满足z1 z2 0 求证 z1 0或z2 0 题