《离散系统Z域分析》PPT课件.ppt

1 第8章离散系统的Z域分析 学习重点 学习方法 与连续系统的变换域分析对照着学习 Z变换的定义及其重要性质 逆Z变换的求解 系统函数H z 及Z域模拟 线性离散系统的Z域分析法 8 1Z变换 8 1 1Z变换的定义 1 离散信号的Z变换定义 序列f n 的双边Z变换 序列f n 的单边Z变换 8 1 1Z变换的定义 1 离散信号的Z变换定义 序列f n 的单边Z变换 F z 称为f n 的单边Z变换 象函数 f n 称为F z 的逆Z变换 原函数 复变量 Z变换对可表示为F z Z f n f n Z 1 F z 或简记为f n F z 8 1 1Z变换的定义 2 Z变换的由来 从拉式变换推演出Z变换 设有连续信号f t 若以冲激序列对其进行取样 则取样信号 8 1 1Z变换的定义 2 Z变换的由来 从拉式变换推演出Z变换 对fs t 取拉式变换可得 令复变量 T 1 则有 8 1 1Z变换的定义 2 Z变换的由来 从拉式变换推演出Z变换 F z 的逆变换 围线C在F z 的收敛域内 且包围着坐标原点 8 1 1Z变换的定义 3 收敛域 对于给定的任意有界序列f n 使得级数F z 收敛的所有z值的集合称为z变换的收敛域 仅当该幂级数收敛 即 时 序列f n 的z变换才有意义 该式称为绝对可和条件 为z变换存在的充要条件 8 1 1Z变换的定义 解 例求因果序列的z变换 式中a为常数 收敛域 8 1 2典型序列的Z变换 1 单位序列 2 阶跃序列 3 指数序列 8 2Z反变换 8 2 1幂级数展开法 长除法 原理 是z 1的幂级数 当已知F z 时 可直接把F z 展成幂级数 则级数的系数就是序列f n 例8 1已知象函数 求原序列f n 8 2Z反变换 8 2 2部分分式展开法 式中通常m n 的分母多项式D z 0的根称为F z 的极点 8 2Z反变换 8 2 2部分分式展开法已知F z 后 应先对展开部分分式 1 F z 仅有n个一阶单极点 则可展开为 系数 故 反变换 例8 3 则 则可展开为 各系数 2 F z 仅含重极点 n 1 2 m 注意 除了对展开分式外 方法与拉氏变换一样 8 3Z变换的主要性质 8 3 1线性性质 a1 a2为任意常数 8 3Z变换的主要性质 8 3 1线性性质 例8 5求序列f n cosn 的Z变换 式中 为数字角频率 解 由欧拉公式 根据线性性质有 8 3 2移位性质 延迟特性 1 若f n 为双边序列 则 举例 2 若f n 为单边序列 因果序列 则 举例 右移序列 8 3 2移位性质 延迟特性 例8 6已知因果序列之 求的Z变换 解 由延迟特性有 2 若f n 为单边序列 因果序列 则 左移序列 证明 8 3 3序列乘an Z域尺度变换 例8 7已知 则 8 3 4卷和定理 证明 8 3 4卷和定理 应用于系统分析 举例 思想 8 4 1差分方程的Z变换解 8 4离散系统的Z域分析 图1 运用Z变换方法可对LTI离散系统的时域模型简便地进行变换 经求解再还原为时间函数 解 第一步 对差分方程两边取单边Z变换 例8 9设有二阶离散系统的差分方程为 若系统的起始状态 求y n 移位特性 将初始条件y 1 1 y 2 1代入上式可得 第二步 解Z域方程 由 整理得 整理得 将YZI z 和YZS z 分别进行部分分式展开 第二步 解Z域方程 同理可得YZS z 第二步 解Z域方程 第三步 反变换得时域响应 由象函数 反变换得 完全响应为 例8 10设一数字处理系统的差分方程为 试求时的阶跃响应s n 和单位响应h n 解 阶跃响应 系统在零状态条件下 由单位阶跃序列产生的响应 对于有 起始状态 第一步 对差分方程两边取单边Z变换 例8 10设一数字处理系统的差分方程为 试求时的阶跃响应s n 和单位响应h n 解 整理得 第二步 解Z域方程 将代入上式整理得 例8 10设一数字处理系统的差分方程为 试求时的阶跃响应s n 和单位响应h n 解 由 第三步 反变换得时域响应 反变换得 又由 故 单入单出LTI离散系统的数学模型 N阶常系数线性差分方程 对差分方程两边取Z变换 可得 8 4 2系统函数H z 系统函数H z 定义为零状态响应的象函数与激励的象函数之比 即 1 系统函数的定义 8 4 2系统函数H z 即有如下关系 2 时域分析与Z域分析对应关系 H z 是Z域分析的纽带 反映系统本身的属性 与系统的起始状态无关 求解系统函数H z 的方法 1 由零状态下的系统模型求得 2 由系统的冲激响应h n 取Z变换求得 8 4 2系统函数H z 例8 11如图所示一阶离散系统 试用Z域分析法求单位响应h n 和阶跃响应s n 并画出它们的波形图 解 由左图可列差分方程 对差分方程两边取Z变换 得 系统函数 例8 11如图所示一阶离散系统 试用Z域分析法求单位响应h n 和阶跃响应s n 并画出它们的波形图 解 当时 有 反变换得 思考 还有什么方法可以求得阶跃响应 例8 11如图所示一阶离散系统 试用Z域分析法求单位响应h n 和阶跃响应s n 并画出它们的波形图 解 由单位响应及阶跃响应的表达式可画出它们的波形图 例8 11如图所示一阶离散系统 试用Z域分析法求单位响应h n 和阶跃响应s n 并画出它们的波形图 解 由单位响应及阶跃响应的表达式可画出它们的波形图 例8 12设有二阶数据控制系统的差分方程为 a 求系统函数H z b 求单位响应h n c 若激励f n 0 4n n 求其零状态响应 解 a 求H z 在零状态下对方程取Z变换 例8 12设有二阶数据控制系统的差分方程为 解 b 求h n 例8 12设有二阶数据控制系统的差分方程为 解 b 求h n 反变换得 例8 12设有二阶数据控制系统的差分方程为 解 c 若激励f n 0 4n n 求其零状态响应 当f n 0 4n n 时 有 由卷和定理得 例8 12设有二阶数据控制系统的差分方程为 解 c 若激励f n 0 4n n 求其零状态响应 8 4 3离散系统的Z域模拟 a 数乘器 标量乘法器 1 基本运算单元的z域模型 b 加法器 8 4 3离散系统的Z域模拟 c 延迟单元 1 基本运算单元的z域模型 1 直接形式1 2 系统的z域模拟 8 4 3离散系统的Z域模拟 由上式可得该系统的z域模拟框图 2 系统的z域模拟 8 4 3离散系统的Z域模拟 2 直接形式2 以二阶离散系统为例 2 系统的z域模拟 8 4 3离散系统的Z域模拟 H z 的分子多项式对应图中的前向支路 指向输出 H z 的分母多项式对应图中的反馈支路 2 直接形式2 以二阶离散系统为例 由 1 2 式可得该系统的z域模拟框图 系统的z域模拟框图 信号流图 用一些点和线段来描述系统 3 举例 二阶系统 在零状态下 有 改写为 4 应用 数字处理系统的硬件实现 可由上述思想构成 一 H z 的零 极点的概念 8 5系统的零 极点与稳定性 零点 H z 分子多项式N z 0的根 1 2 m极点 H z 分母多项式D z 0的根 z1 z2 zn 举例 h n 1 H z 二 H z 的零 极点分布与h n 的关系 8 5系统的零 极点与稳定性 H z 的极点决定h n 的波形特征 零点只影响h n 的幅度与相位 例8 13设有 单位响应具有怎样的变换模式 解 H z 的极点 解得 例8 13设有 单位响应具有怎样的变换模式 解 1 S平面与Z平面的映射关系 1 S平面的虚轴映射到Z平面是单位圆 2 S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内 3 S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外 4 z rej 是以2 为周期的周期函数 s平面上沿虚轴移动 变化 对应于z平面上沿单位圆旋转 结论 单位圆上的实极点 h n 对应为阶跃序列 单位圆内的实极点 h n 对应为指数衰减序列 单位圆内的共轭极点 h n 对应为衰减振荡序列 单位圆上的共轭极点 h n 对应为正弦振荡序列 单位圆外的极点 h n 对应为增长序列 2 H z 的极点分布与时域特性 2 H z 的极点分布与时域特性 8 5 2离散系统的稳定性 1 Z变换与拉式变换的关系 令复变量 T 1 则有 8 5 2离散系统的稳定性 1 Z变换与拉式变换的关系 取样 1 稳定的概念 稳定系统 一个系统如果对任意有界输入序列 其输出序列也是有界的 则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统 简称为稳定系统 因果LTI离散系统是稳定系统的充要条件是 2 离散系统的稳定性 2 离散系统的稳定性 2 H z 的极点与系统稳定性的对应关系稳定 充要条件为 即H z 的所有极点位于单位圆内 临界稳定 H z 的一阶极点位于单位圆上 单位圆外无极点 不稳定 H z 有极点位于单位圆外 或在单位圆上有重极点 离散系统的频率特性 8 5数字信号处理 自学 对于稳定的离散系统 其频率特性 幅频相频 特点 H ej T 是周期函数 因ej T是以2 为周期的函数 令 T 则频率特性可表示为 则频率特性 例设 当 0 5时幅频特性 相频特性 见图1 图1 T 则 例数字系统的选频作用 设 若输入信号频率f 5Hz 采样频率fs 250Hz 若有干扰信号频率f 50Hz