2020届重庆市第十一中学高三上学期10月月考（理）数学试题（解析版）

2020届重庆市第十一中学高三上学期10月月考（理）数学试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】对于集合M，分n=2k和n=2k-1，kZ两种情况讨论即可得到结果.【详解】对于M，当n=2k，kZ时，x=4k-1M，x=4k-1N，当n=2k-1，kZ时，x=4k-3M，x=4k-3N，集合M、N的关系为NM故选D.【点睛】本题考查的是判断集合间的关系，在处理集合间的关系时，应该理解和掌握子集和真子集的定义，注意空集在解题时的应用.2已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）ABC1D【答案】C【解析】直接解方程得，计算化简即得解.【详解】由题得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3在，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4过点，且在轴上的截距为3的直线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】设斜率为，由点斜式可得，令，可得，解得得解【详解】设斜率为，由点斜式可得，令，可得，解得，化为故选：【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题5已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）ABC2D【答案】B【解析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值。【详解】曲线，点的坐标为 所以 ，在点处切线斜率 ，即 所以分子分母同时除以 可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题。6已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )ABCD【答案】B【解析】先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案。【详解】由题可知，由于，所以，因此，故选：B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题。7点直线与线段相交，则实数的取值范围是( )AB或CD或【答案】C【解析】直线经过定点，斜率为，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数的取值范围，得到答案【详解】如图所示，直线经过定点，斜率为，当直线经过点时，则,当直线经过点时，则，所以实数的取值范围，故选C 【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线的斜率公式的应用，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题8已知，且满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由得,由得，再根据得解.【详解】由得.由得.所以.故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式和同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】二项展开式的二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程.【详解】展开式中各项的二项式系数和为，得，当时，解得：.【点睛】求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为.10已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，则（ ）A1B2C-1D-2【答案】A【解析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为3的周期函数，据此可得，结合函数的解析式以及奇偶性求出与（1）的值，相加即可得答案【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为3的周期函数，（1），又由函数是定义在上的奇函数，则，时，则，则（1）；故（1）；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题11已知双曲线：（，），设左、右焦点分别为，在双曲线右支上存在一点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，且所在直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2【答案】B【解析】由题设，设直线与相切点，则，在中，故，则由双曲线的定义可得，所以，应选答案B点睛：解答本题的关键是依据题设条件中的“以，为邻边的平行四边形为菱形”可以推断，即是等腰三角形，进而依据所在直线与圆相切推知切点是的中点，且，进而推得，最后运用双曲线的定义建立方程求出离心率12已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，所以方程可以化为：，即，记，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题13若直线的倾斜角为，则实数的值为_.【答案】【解析】由题得，解方程即得解.【详解】由题得直线的斜率k=.故答案为：【点睛】本题主要考查直线的斜率的应用，考查倾斜角和斜率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14在一个不透明的容器中有5个小球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个，那么至少有1个红球的概率为_.【答案】【解析】先求出所有的基本事件个数，再求至少有1个红球的基本事件个数，再由古典概型的概率公式得解.【详解】由题得一次随机取出2个，所有的基本事件个数为,一次随机取出2个，那么至少有1个红球的基本事件个数为,由古典概型的概率公式得如果一次随机取出2个，那么至少有1个红球的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15函数的最大值为_.【答案】【解析】由题得，再令，利用导数求函数的单调区间即得解.【详解】由题得，令，所以，由得时函数f(t)单调递增，由得函数f(t)在和时单调递减，又，所以函数的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于，两点，点，分别在线段，上，若与圆相切，则的最小值为_.【答案】【解析】由题意，根据圆的对称性，可得当时，取最小值【详解】在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于，两点，点，分别在线段，上，与圆相切，根据圆的对称性，当时，取最小值，如图，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平三、解答题17已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求的面积.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）先化简得，即得函数的最大值；（2）先推理得到三角形是等边三角形，再求三角形的面积得解.【详解】（1），所以函数的最大值为1；（2）因为，所以，所以.因为，所以.所以三角形是等边三角形，所以的面积为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理和三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程.【详解】（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，圆的方程为；（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，则由，得，直线故直线的方程为或.【点睛】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用、直线的一般式方程和圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离）19新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由）（2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是.请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？【答案】（1）选择放弃作答；（2）72【解析】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0，若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为，取5，-2，列出其分布列，求出期望即可；（2）依题意，分别求出可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项的每道题目的可获得红星数的期望，由（1）知完全不会的题目可选择放弃，再求每类题目数与该类题目每道题的期望的乘积，最终求和即可得到结果.【详解】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0；若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为，其分布列为：5P所以，故应该选择放弃作答；（2）由题意知，可以排除一个选项的题目有道，设这9道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为X，其分布列为：X5P所以：；可以排除两个选项的题目有道，设这6道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y，其分布列为：Y5P；完全不会的题目有道，由（1）知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0因此，小明在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题.20已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。【详解】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值所以，解得，故椭圆的方程为：.（2）设直线的方程为，将代入，得；设，线段的中点为，即因为，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则，即，所以，当时，因为，所以，当时，因为，所以.综上，存在点，使得，且的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。21设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】（）或（）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.【解析】【详解】试题分析：（）代入化简方程得，由二次方程解得或，再根据指对数关系得或.（）先求函数导数并明确函数定义域：，；再讨论导函数不变号情况：当时，的增区间为；最后讨论导函数变号时符号变化规律：当时，由，解得；当时，由，解得.（III）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数先求函数最小值：本题难点是最小值点不能解出，只能得到其所在区间，为使值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如细化到试题解析：解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或， 故所求方程的根为或.（2）因为，所以（），当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为. （3）方法一：当时，所以单调递增，所以存在唯一，使得，即， 当时，当时，所以，记函数，则在上单调递增， 所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为. 方法二：当时，所以，由得，当时，不等式有解， 下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得， 当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. 【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，