三限——等差数列.doc

1 6 26 2 等差数列等差数列 一 知识梳理一 知识梳理 1 1 等差数列等差数列的概念 2 2 通项公式通项公式 推广推广 an am n m d 变式 变式 a1 an n 1 d d d 由此联想点列 n an 所在直线的斜率 1 1 n aan mn aa mn 3 3 等差中项 等差中项 若 a b c 成等差数列 则 b 称 a 与 c 的 即有 a b c 成等差数列是 2b a c 的 条件 4 4 前前 n n 项和 项和 S Sn n n an n 1 nd 2 1 变式 a1 n 1 an n 1 2 1n aa n Sn n aaa n 21 2 d 2 d 二 双基训练二 双基训练 1 09 安徽文 已知为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则 a20等于 n a A 1 B 1 C 3 D 7 2 09 湖南文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 3 09 辽文 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 4 2009 山东卷文 在等差数列 n a中 6 7 253 aaa 则 6 a 三 典例剖析三 典例剖析 例例 1 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn npan n N 且 a1 a2 1 求常数 p 的值 2 证明 数列 an 是等差数列 例例 2 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 12n n2 1 求 an 2 求数列 an 的前 n 项和 Tn 变式 变式 若此题的 Sn n2 12n 那又该怎么求 Tn呢 四 闯关训练与拓展练习四 闯关训练与拓展练习 1 03 年全国 等差数列 an 中 已知 a1 a2 a5 4 an 33 则 n 是 3 1 A 48 B 49 C 50 D 51 2 2 09 四川文 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中项 则 数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 3 09 宁海文 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则 m A 38 B 20 C 10 D 9 4 09 陕西卷文 设等差数列 n a的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 5 2009 江苏卷 9 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaaS 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 6 04 年上海 在数列 an 中 a1 3 且对任意大于 1 的正整数 n 点 在 n a 1 n a 直线 x y 0 上 则 an 3 7 03 年上海 设 f x 利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法 可 22 1 x 求得 f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 的值为 8 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2Sn Sn 1 0 n 2 a1 2 1 1 求证 是等差数列 n S 1 2 求 an的表达式 五 思悟小结五 思悟小结 1 深刻理解等差数列的定义 紧扣从 第二项起 和 差是同一常数 这两点 2 等差数列中 已知五个元素 a1 an n d Sn中的任意三个 便可求出其余两个 3 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法是 1 利用定义 证明 an an 1 n 2 为常数 2 利用等差中项 即证明 2an an 1 an 1 n 2 4 等差数列 an 中 当 a1 0 d 0 时 数列 an 为递增数列 Sn有最小值 当 a1 0 d 0 时 数列 an 为递减数列 Sn有最大值 当 d 0 时 an 为常数列 5 已知三个或四个数成等差数列这类问题 要善于设元 目的仍在于减少运算量 如三个数成等差数列 时 除了设 a a d a 2d 外 还可设 a d a a d 四个数成等差数列时 可设为 a 3d a d a d a 3d 6 复习时 要注意以下几点 1 深刻理解等差数列的定义及等价形式 灵活运用等差数列的性质 3 2 注意方程思想 整体思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 剖析 1 注意讨论 p 的所有可能值 2 运用公式 an 求 an 1 1 nn SS S 2 1 n n 解 1 当 n 1 时 a1 pa1 若 p 1 时 a1 a2 2pa2 2a2 a1 a2 与已知矛盾 故 p 1 则 a1 0 当 n 2 时 a1 a2 2pa2 2p 1 a2 0 a1 a2 故 p 2 1 2 由已知 Sn nan a1 0 2 1 N 2 时 an Sn Sn 1 nan n 1 an 1 2 1 2 1 则 1 n n a a 2 1 n n 2 1 n n a a 3 2 n n 2 3 a a 1 2 n 1 an n 1 a2 an an 1 a2 2 a an 故 an 是以 a2为公差 以 a1为首项的等差数列 评述 本题为 Snan 的问题 体现了运动变化的思想 例例 2 2 已知 an 为等差数列 前 10 项的和 S10 100 前 100 项的和 S100 10 求前 110 项的 和 S110 剖析 方程的思想 将题目条件运用前 n 项和公式 表示成关于首项 a1和公差 d 的两个方 程 解 设 an 的首项为 a1 公差为 d 则 1099100 2 1 100 100910 2 1 10 1 1 da da 解得 100 1099 50 11 1 d a S110 110a1 110 109d 110 2 1 解 当 n 1 时 a1 S1 12 12 11 当 n 2 时 an Sn Sn 1 12n n2 12 n 1 n 1 2 13 2n n 1 时适合上式 4 an 的通项公式为 an 13 2n 由 an 13 2n 0 得 n 2 13 即当 1 n 6 n N 时 an 0 当 n 7 时 an 0 1 当 1 n 6 n N 时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 12n n2 2 当 n 7 n N 时 Tn a1 a2 an a1 a2 a6 a7 a8 an a1 a2 an 2 a1 a6 Sn 2S6 n2 12n 72 Tn 7212 12 2 2 nn nn 7 61 N N N N nn nn 深化拓展 答案 Tn 7 2 6 6 nSS nS n n 夯实基础 1 等差数列 an 中 a10 0 a11 0 且 a11 a10 Sn 为其前 n 项和 则 A S1 S2 S10都小于 0 S11 S12 都大于 0 B S1 S2 S19都小于 0 S20 S21 都大于 0 C S1 S2 S5都小于 0 S6 S7 都大于 0 D S1 S2 S20都小于 0 S21 S22 都大于 0 3 在等差数列 an 中 公差为 且 a1 a3 a5 a99 60 则 a2 a4 a6 a100 2 1 答案 85 4 将正偶数按下表排成 5 列 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第 1 行 2468 第 2 行 16141210 第 3 行 18202224 2826 那么 2004 应该在第 行第 列 答案 251 3 5 04 年全国 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a10 30 a20 50 1 求通项 an 2 若 Sn 242 求 n an 2n 10 n 11 或 n 22 舍 6 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a3 12 S12 0 S13 0 5 1 求公差 d 的取值范围 d 3 7 24 2 指出 S1 S2 S3 S12中哪一个最大 并说明理由 S6最大 7 1 证明 an 2SnSn 1 Sn Sn 1 2SnSn 1 n 2 Sn 0 n 1 2 3 2 n S 1 1 1 n S 又 2 是以 2 为首项 2 为公差的等差数列 1 1 S 1 1 a n S 1 2 解 由 1 2 n 1 2 2n Sn 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n S 1 n2 1 n2 1 或 n 2 时 an 2SnSn 1 1 2 1 n 1 2 1 nn 1 2 1 nn 当 n 1 时 S1 a1 2 1 an 1 2 1 2 1 nn 2 1 n n 1 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数列 的 n Sn 前 n 项和 求 Tn Tn n2 n 4 1 4 9 2009 江苏卷 解析 本小题主要考查等差数列的通项 求和的有关知识 考查运算和求解的能力 满分 14 分 1 设公差为d 则 2222 2543 aaaa 由性质得 4343 3 d aad aa 因为0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 6 2 方法一 1 2 mm m a a a 27 25 23 mm m 设23mt 则 1 2 mm m a a a 4 2 8 6 tt t tt 所以t为 8 的约数 方法二 因为 122 2 222 4 2 8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 为数列 n a中的项 故 m 2 8 a 为整数 又由 1 知 2m a 为奇数 所以 2 231 1 2 m amm 即 经检验 符合题意的正整数只有2m 10 09 福建文 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa I 求数列 n a的通项公式 若 35 a