数学人教版八年级上册三角形的高、中线与角平分线.doc

11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题.1.经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及创新精神.2.学会用数学知识解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.1.鼓励学生主动参与,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情.2.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.【重点】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线.2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线所在直线分别交于一点.【难点】1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.2.钝角三角形高的画法.3.不同的三角形三条高的位置关系.【教师准备】三角板、直尺、量角器、本节课的课件.【学生准备】三角板、直尺、量角器、三角形纸片.导入一:如下图,图中右侧支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢?这就涉及我们本节课所学的三角形高的问题.导入二:同学们,我们以前学习过了“过一点画已知直线的垂线”,谁能说一说是怎样画的?(同学们纷纷发言,老师可让几名同学到黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来,过一点画已知直线的垂线,注意画法的规范性)你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题.(老师书写板书)设计意图本节的知识与以前学习过的“过一点画已知直线的垂线”的画法有着非常大的联系,此导入不仅复习了旧知识,也能对以后要学习的三角形的高起到预热的作用.导入三:(1)复习提问三角形的定义.(由三条线段首尾相接组成的图形) (2)三角形的面积公式是什么?S=12ah.(3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗?引出课题.设计意图直接从学生已有的知识出发,既达到了复习旧知识的目的,也引入了本节的内容,此设计自然、简捷.过渡语过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?(引出三角形的高)一、 三角形的高【学生活动一】让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义.设计意图借助学生对问题的解决,唤醒学生对三角形的高的认识,有助于新知识的理解,并且发展学生的观察力与语言表述能力.(教师总结三角形的高的定义并板书)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高.如图所示,在ABC中,ADBC,点D是垂足,所以AD是ABC的一条高.引导学生注意垂直符号的书写.过渡语现在同学们已经会画三角形的高了,用折纸的方法也可作出三角形的高,快拿出你们的三角形纸片,动手做一做.【学生活动二】让学生拿出事先准备好的三角形纸片,用直尺与三角板作出这个三角形的三条高,然后用折纸的方法,观察这三条高的位置关系,你有什么发现?如果已知三角形的一条高,你知道它是哪一条边上的高吗?设计意图同学们动手作出三角形的高,既培养了他们的动手操作能力,也能很方便地观察到三角形的高相交于一点的事实.【师生共同总结】锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示. 过渡语锐角三角形的高我们可以画出了,现在试试直角三角形的高怎么画.【学生活动三】在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系?将你的结果与同桌进行交流.设计意图通过同学们自己动手探索、研讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识.【师生共同总结】直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的直角顶点.如图所示. 过渡语就差钝角三角形的高了,同学们快试试吧!【学生活动四】画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高.观察三条高,看它们有什么样的位置关系.为强调作图,可进行投影.将BC与顶点A调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,引导学生自己作出不同三角形的高.在同学们发现作一条高时,一条边不够长的时候,教师要提示学生们,可以把所在边的线段进行延长.设计意图钝角三角形的三条高,对同学们来说,画法是一个难点,为了突破难点,把幻灯片中的边与对应顶点调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,帮助同学们画出外面的两条高线.【师生共同总结】钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部,且它们所在直线交于一点. 如图所示.表述:如图,因为AD是ABC的高(已知),所以ADBC于D(或ADB=ADC=90).因为ADBC于D(或ADB=ADC=90)(已知),所以AD是ABC的边BC上的高.(高的定义)知识拓展钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.二、三角形的中线过渡语你能画一条线将三角形的面积平分吗?(学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段三角形的中线.思路一【学生活动一】学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗?【师生共同总结】三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.设计意图让同学们自己动脑思考,这样得出的结论,学生印象更深刻,对于知识的理解与掌握更全面.【学生活动二】让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨.(老师可多让几名同学发言,分别指出他们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了)【师生共同总结】任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.设计意图让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐.思路二指导学生阅读教材第45页的内容,思考如下问题:(1)什么是三角形的中线?(2)三角形的中线有几条?(3)三角形的三条中线是否相交于一点?(4)什么是三角形的重心?(5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗?表述:如图,AD是ABC的边BC上的中线(已知),所以BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点. 因为BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点(已知),所以线段AD为BC上的中线(中线定义).知识拓展(1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部,相交于一点.(2)三角形的中线是一条线段.(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.三、三角形的角平分线过渡语三角形中除了三角形的高,三角形的中线之外还有没有特殊的线段呢?答案是肯定的,还有一类线段就是三角形的角平分线.角的平分线同学们都已经会画了,那你能不能画出一个三角形的三个角的平分线呢?同学们快动手试试吧!【学生活动】同学们先画出一个任意三角形,分别画出一个三角形中的三个角的平分线,同时观察这三条角平分线的位置有哪些特点.(要提醒学生三角形形状的多样性,同时要注意作图的规范性,可用量角器量)【师生共同总结】三角形的角平分线定义:连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线.(最后老师要强调三角形的角平分线是三条线段,而一个角的平分线是一条射线)设计意图通过与以往角的平分线的画法比较,学生会比较容易接受此定义,既复习了旧知识,也能促进对新知识的理解. 表述:如图,因为BD是ABC的角平分线(已知),所以ABD=CBD=12ABC. 因为ABD=CBD或CBD=12ABC,或ABD=12ABC(已知),所以线段BD是ABC的角平分线.(三角形的角平分线定义)知识拓展(1)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形内部,相交于一点.(2)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是一条射线.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长. 解析由题意可知,中线BD将ABC的周长分成AB+AD和BC+CD两部分(注意不是AB+AD+BD和BC+CD+BD两部分),故有两个可能:(1)AB+AD=15且BC+CD=6;(2)AB+AD=6且BC+CD=15.再由AB=AC=2AD=2CD及三角形三边关系知(1)成立,(2)不成立.解:设AB=AC=2x,则AD=CD=x.(1)当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.(2)当AB+AD=6,BC+CD=15时,有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.因为4+413,所以不能组成三角形.答:三角形的腰长为10,底边长为1.解题策略涉及等腰三角形边的问题时,常要分情况讨论,然后看它们是否满足三边关系,不满足的要舍去.知识拓展(1)三角形三条高线所在直线交于一点,这一点常被称为这个三角形的垂心.(2)三角形三条中线交于三角形内的一点,这一点叫做三角形的重心,取一块质地均匀的三角形木板,用手指向上顶住三角形重心,木板会保持平衡.(3)三角形三条角平分线交点在三角形内部,它被称为三角形内心.1.三角形的高、中线、角平分线都是线段.2.三角形的高(所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外一点.1.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形解析:锐角三角形三条高交于三角形的内部,钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部,只有直角三角形的高的交点在直角顶点.故选C.2.在ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且SABC=4 cm2,则SAEF的值为()A.2 cm2B.1 cm2C.12 cm2D.14 cm2解析:利用中线平分三角形的面积来做.故选C.3.如图所示,在ABC中,D,E是BC,AC上的两点,连接BE,AD交于F. (1)图中有几个三角形?并表示出来.(2)BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)AB边是哪些三角形的边?(4)F点是哪些三角形的顶点?解:(1)图中共有8个三角形,分别是BDF,BDA,BFA,AEF,AEB,ADC,BCE,ABC.(2)BDF的三个顶点是B,D,F,三条边是BD,DF,BF.(3)AB边是ABF,ABD,ABE,ABC的边.(4)F点是BDF,ABF,AEF的顶点.4.在ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30两个部分,求三角形的三边长.解析:分两种情况讨论:AB+AD=30,BC+DC=24或AB+AD=24,BC+DC=30,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得三边长.解:设三角形的腰AB=AC=x,若AB+AD=24,则:x+12x=24,所以x=16.又三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为16,16,22.若AB+AD=30,则:x+12x=30,所以x=20.因为三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为20,20,14.因此,三角形的三边长为16,16,22或20,20,14.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、三角形的高二、三角形的中线三、三角形的角平分线一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题11.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下面判断正确的有( )平分三角形内角的射线是三角形的角平分线;三角形的中线、角平分线、高都是线段;一个三角形有三条角平分线和三条中线;直角三角形只有一条高;三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部.A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图所示,在ABC中,D是BC边上的任意一点,AHBC于H.图中以AH为高的三角形个数为() A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图所示,下列说法正确的是()A.如图甲,由AB,BC,DE三条线段组成的图形是三角形B.如图乙,已知BAD=CAD,则射线AD是ABC的角平分线C.如图丙,已知点D为BC边上的中点,则射线AD是ABC的中线D.如图丁,已知ABC中,ADBC于D,则线段AD是ABC的高4.如图所示,在ABC中,EFAC,BDAC于D,BD交EF于G,则下面说法中错误的是() A.BD是ABC的高B.CD是BCD的高C.EG是BEG的高D.BE是BEF的高5.在ABC中,A=80,I是B,C的平分线的交点,则BIC=.【能力提升】6.如图所示,BD是ABC的中线,AD=2,AB+BC=5,则ABC的周长是.7.直角三角形中,两锐角的平分线所夹的锐角是度.【拓展探究】8.如图所示,AD为ABC的中线,BE为三角形ABD中线. (1)在BED中作BD边上的高;(2)若ABC的面积