2012年考研数学一真题原文及答案解析完整版

免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题数学一试题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前 的字母填在答题纸指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解析 C 由lim1 1 x yy 得为水平渐近线 由 1 lim1 x yx 得为垂直渐近线 由 1 1 lim 1 2 x yx 得非垂直渐近线 选 C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中 n 为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 n n 解析 解析 A 22 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1 xxnxxxnx xxnx n fxe eeeeen eene fnn 选 A 3 如果函数 f x y在 0 0 处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x x f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x x f x y xy 存在 解析 B 22 0 0 lim x y f x y k xy 0 0 0 0 0 00 f zf x yfxy f x y 在 0 0 处可微 4 设 2 0 k x k Ie sin 1 2 3 xdx k 则有 A 123 III B 321 III C 231 III D 213 III 解析 解析 D 2222 2111 sin sin xx IIexdxIex dxI 2223 31 2 sin sin xx IIex dxexdx 而 2232 2 sinsin xt exdxxtetdt 2222 sin sin xx ex dxex dx 31 312 II III 5 设 1234 1234 0011 0111 cccc 其中 1234 c c c c为任意常数 则下列向量组线性相关的 为 A 1 2 3 B 1 2 4 C 1 3 4 D 2 3 4 解析 解析 C 34 34 0 0 cc 34 与 1 成比例 1 与 3 4 线性相关 134 线性相关 选 C 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 或 134 134 011 0110 ccc 134 线性相关 选 C 6 设 A 为 3 阶矩阵 P 为 3 阶可逆矩阵 且 1 100 010 002 p AP 若 P 1 2 3 1223 Q 则 Q 1AQ A 100 020 001 B 100 010 002 C 200 010 002 D 200 020 001 解析 B 1223 100 110 001 QP 1 11 100100 110110 001001 Q AQP AP 10011001 11011101 00120012 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布 则 P x y A 1 5 B 1 3 C 2 5 D 4 5 解析 A 1 XE 0 4 0 0 x x ex YEfx x 4 40 0 0 y Y ey fy y X Y 独立 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 4 4 0 0 0 xy e exy f x y 其他 x y P XYf x y d 4 0 4 xy x dxe edy 4 0 4 xy x e dxedy 4 0 xx eedx 5 0 x edx 1 5 8 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 解析 设一段长X 另一段1YX 由 cov X Y DXDY 1 DXDXDY cov 1 1 X YEXXEX Ex 2 1 E XXEXEX 22 EXEX EXEX 22 EXEXDX 1 选项 D 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 若函数 f x 满足方程 2 0fxfxf x 及 2 x fxf xe 则 f x 解析 解析 2 12 202 1 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2 12 2 0 xx fxfxf xf xC eC e 代入 12 20 1 x fxf xeCC 得 x f xe 10 2 2 0 2 xxx dx 解析 2 22 22 00 2 1 11 1 1 xxx dxxxd x 111 222 110 1 1121 2 xx dxx dxx dx 11 2 1 1 z grad xy y 解析 1 1 1 2 1 zz grad xyy x yyy 2 1 1 1 1 1 z grad xy y 12 设 1 0 0 0 x y zxyzxyz 则 2 y ds 解析 3 12 1 1 0 0 zxy D xyxy 11 222 00 2 33 x D y dsyddxy dy 11 34 00 333 1 1 31212 x dxx 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 13 设 X 为三维单位向量 E 为三阶单位矩阵 则矩阵E 的秩为 解析 2 设 2 T AEXXAA 3 r Ar EA 1 T r EAr XXr X 2 r A 14 设 A B C 是随机事件 A C 互不相容 11 23 P ABP C 则CP 解析 解析 3 4 解 1 P ABCP ABP ABC P AB C P CP C AC ABC 1 3 2 2 1 4 3 P AB P AB C P C 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 15 本题满分分 证明 xln 1 1 x x cosx 1 2 2 x 1 x 1 证明 证明 令 2 1 lncos1 0 0 12 xx xxx x 2 12 lnsin 11 xx xxx xx 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2 2 11 lnsin 11 xx xx xx 01x 时 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x 又sin xx 0 x 10 x 时 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x 又sin xx 0 x 0 x 为 x 在 1 1 内最小点 而 0 0 当 1 x 1 时 0 x 即 2 1 lncos1 12 xx xx x 16 本题满分分 求函数 22 2 xy f x yxe 的极值 解析 由 22 2 2 22 2 1 0 0 xy x xy y fxe fxye 得 1 0 x y 及 1 0 x y 22 22 22 3 2 2 2 2 2 3 1 1 xy xx xy xy xy yy fxx e fyxe fx ye 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 当 1 0 x y 时 11 22 2 0 AeBCe 2 0ACB 且0A 1 0 x y 为极小点 极小值为 1 2 1 0 fe 当 1 0 x y 时 11 22 2 0 AeBCe 2 1 00 0 x ACBA y 且为极大点 极大值为 1 2 1 0 fe 17 本题满分分 求幂级数 0n 2 443 21 nn n x2n的收敛域及和函数 解 由 1 lim1 n x n a a 得 R 1 当1x 时 2 443 21 nn n n 1x 时级数发散 收敛域为 1 1 令 2 2 0 443 21 n n nn S xx n 2 0 2 21 21 n n nx n 2 2 00 21 2 21 n n nn x nx n 2 21 00 2 21 n n nn x x n 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2 11 222 1 2 2 1 1 xx S xS x xx 当 x 0 时 S 0 3 当 x 0 时 xS1 x 21 02 1 n n x n 2 1 2 0 1 1 n n xS xx x 11 1111 ln ln 2121 xx xS xS x xxx 2 2 3 0 111 ln 110 1 1 x S x xx xx xxx 且 18 本题满分分 已知曲线 L cos xf t yt 0 t0 0 t0 设 Z X Y 1 求 Z 的概率密度 2 f z 2 设 12 N Z ZZ 为来自总体 Z 的简单随机样本 求 2的最大似然估计量 2 3 证明 2 为 2的无偏估计量 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 解析 22 2 XNYN X Y独立 0 未知ZXY 解 1 Z 的密度 2 f z 22 2 XNYNX Y 独立 2 0 3 ZXYN 22 22 2 236 2 11 6 23 zz f zee 2 设 1n ZZ 样本 似然出数 2 1 2 2 6 1 1 6 n i i Z n n L ZZe