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算术平均数与几何平均数 数学与应用数学1008班鲁瑶 回顾与思考 如果a b那么bb 如果a b且b c 那么a c 如果a b 那么a c b c 如果a b c d 那么a c b d 如果a b c 0 那么ac bc 如果a b 0 则 情景导入 需要修建一个矩形鸡圈 现有篱笆的长度为20米 1 要求不能浪费篱笆 怎样设计才能获得最大空间 2 若鸡圈的面积固定为16平方米 怎样设计才能最省钱 当 时 当m n时 即 所以 可得 假设 那么有 即 定理 如果a b是正数 那么 当且仅当 a b时取 号 这里 我们称 为a b的算术平均数 称 为a b的几何平均数 因而 这一定理又可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 例题1已知x y都是正数 求证 1 如果积xy为定值P 那么当x y时 和x y有最小值 证明因为x y都是正数 所以积xy为定值P则有 即 当x y时 上式可取 号 因此 当x y时x y有最小值 2 如果和x y为定值S 那么当x y时 积xy有最大值 证明x y为定值S时有 所以 当x y时 上式可取 号 因此 当x y时xy有最大值 情景导入中的问题 需要修建一个矩形鸡圈 现有篱笆的长度为20米 1 要求不能浪费篱笆 怎样设计才能获得最大空间 2 若鸡圈的面积固定为16平方米 怎样设计才能最省钱 解 1 2x 2Y 20且x y均大于0所以 即 当x y 5时 xy有最大值25 2 xy 16由 当x y 4时 x y有最小值8 习题练习 1 已知x y都是正数 求证 2 已知 求证 的最小值是2 本节小结 本节课的重点只有一个定理就是 定理 如果a b是正数 那么 当且仅当 a b时取 号 在做题目时
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