2010年高考试题——理数(全国卷I)(解析版).doc

1 绝密绝密 启用前启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 必修必修 选修选修 II II 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写 清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式A B P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立 那么 其中 R 表示球的半径A B 球的体积公式 P A BP A P B AA 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 那么 p 3 3 4 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 复数 32 23 i i A i B C 12 13 D 12 13i ii 1 A 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算 重点考查分母实数化的转化技巧 解析 1 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 解析 2 2 3232 2323 iii i ii 2 记 那么cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出了弦切互化 2 这一转化思想的应用 解析 1 所以 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 解析 2 cos 80 k cos 80 k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k 3 若变量满足约束条件则的最大值为 x y 1 0 20 y xy xy 2zxy A 4 B 3 C 2 D 1 3 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 1 画出可行域 如右图 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为 max 1 2 1 3z 解析 2 画图知过点是最大 11 2 22 zxyyxz 1 1 1 213 Max z 4 已知各项均为正数的等比数列 5 10 则 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等知识 着重考 查了转化与化归的数学思想 解析 1 由等比数列的性质知 10 所 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A 以 1 3 28 50a a 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 3 A B C D A1 B1 C1 D1 O 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 5 的展开式中 x 的系数是 353 12 1 xx A 4 B 2 C 2 D 4 解析 2 5 10 123 a a a 3 2 5a 789 a a a 3 8 10 a 6333 5284565 505 2aa aa a aa 5 C 解析 2 124513 353 333322 12 1 1 61281 510105xxxxxxxxxx x的系数是 10 12 2 6 某校开设 A 类选修课 3 门 B 类选择课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两 类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 6 A 命题意图 本小题主要考查分类计数原理 组合知识 以及分类讨论的数学思想 解析 1 可分以下 2 种情况 1 A 类选修课选 1 门 B 类选修课选 2 门 有种不同 12 34 C C 的选法 2 A 类选修课选 2 门 B 类选修课选 1 门 有种不同的选法 所以不同的 21 34 C C 选法共有 种 12 34 C C 21 34 18 1230C C 解析 2 333 734 30CCC 7 正方体 ABCD 中 B与平面 AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 7 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求法 利用等 体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 1 D 解析 1 因 4 为 BB1 DD1 所以B与平面 AC所成角和DD1与平面 AC所成角相等 设 DO 平面AC 1 B 1 D 1 D 1 D 由等体积法得 即 设 DD1 a 11 D ACDDACD VV 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 记 DD1与平面 AC所成角为 则 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 与平面AC所成角就是B与平面AC所成角 1 OO 1 O O 1 D 1 B 1 D 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 8 设 a 2 b In2 c 则 3 log 1 2 5 A a b c Bb c a C c a b D c b a 8 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 2 b In2 而 所以 a b 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c 而 所以 c a 综上 c a b 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 解析 2 a 2 b ln2 c 3 log 3 2 1 log 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c a b 1 2 111 5 254 9 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 p 在 C 上 p 则 P 到 x 轴的距离 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 为 A B C D 3 2 6 2 36 9 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数学思想 通过 本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 5 解析 1 不妨设点 P在双曲线的右支 由双曲线的第二定义得 00 xy 由余弦定理得 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c cos P 即 cos 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 所以 故 P 到 x 轴的距离为 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 2 y 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 22 60116 cot1 cot322 2 22222 F PF Sbc hhh 10 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A B C D 2 2 2 2 3 3 10 A 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做本小题时极 易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a 2b 从而错选 A 这也是命题者的用苦良心 2 2 2a a 之处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 所以 a 2b 1 b a 2 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 3 即 a 2b 的取值范围是 3 2 1 解析 2 由 0 a b 且f a f b 得 利用线性规划得 求的取值 01 1 1 a b ab 01 1 1 x y xy 2zxy 范围问题 过点时 z 最小为 3 C 11 2 22 zxyyxz 2 11 1yy xx 1 1 3 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么的最小值为PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 11 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别 式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 6 解析 1 如图所示 设 PA PB APO 则x 0 x APB PO 2 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令 则 即 由是实数 所以PA PBy 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 故 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 此时 min 32 2PA PB 21x 解析 2 法一 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 法二 换元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 或建系 园的方程为 设 22 1xy 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载体考 查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 1 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V P A B O 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 7 解析 2 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 8 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 13 不等式的解集是 2 211xx 13 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思 路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 1 原不等式等价于解得 0 x 2 22 21 1 10 xx x 解析 2 2 2 22 211 2112110202 11 xx xxxxxxx x 14 已知为第三象限的角 则 3 cos2 5 tan 2 4 14 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角的正切公式 同 1 7 时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 1 因为为第三象限的角 所以 又 0 2 2 21 2 21 kkkZ 3 cos2 5 所以 于是有 2 2 21 2 21 2 kkkZ 4 sin2 5 所以 sin24 tan2 cos23 tan 2 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 解析 2 为第三象限的角 3 cos2 5 3 22 2 kk 在二象限 42243kk 2 4 sin2 5 sin 2 sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan 2 4cos2sin27 cos 2 coscos2sinsin2 444 15 直线与曲线有四个交点 则的取值范围是 1y 2 yxxa a 15 1 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解法 着 5 4 重考查了数形结合的数学思想 解析 1 如图 在同一直角坐标系内画出直线与曲线1y 观图可知 a 的取值必须满足解得 2 yxxa 1 41 1 4 a a 5 1 4 a 解析 2 由数型结合知 15 11 44 aaa 9 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于点 且 FCBBFCDBF2FD uu ruur 则的离心率为 C 16 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca 又由 得 整理得 2 BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 解析 2 设椭圆方程为 第一标准形式 F 分 BD 所成的比为 2 带入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知的内角 及其对边 满足 求内角 ABCVABabcotcotabaAbB C 17 命题意图 本小题主要考查三角恒等变形 利用正弦 余弦定理处理三角形中的边角关系 突 出考查边角互化的转化思想的应用 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求的分布列及期望 XX xO y B F 1 D D 10 18 命题意图 本题主要考查等可能性事件 互斥事件 独立事件 相互独立试验 分布列 数学 期望等知识 以及运用概率知识解决实际问题的能力 考查分类与整合思想 化归与转化思想 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD底面 ABCD AB DC ADDC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的 一点 平面 EDC平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 命题意