§1-§2从平面向量到空间向量(学案二).doc

1从平面向量到空间向量 2空间向量的运算（学案二）J学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题J自主整理1.空间两个向量a和b的数量积是一个数,等于 ，记作ab,即ab= .2.空间向量的数量积的运算律_.(1)交换律: ; (2)分配律: ; (3) (R).3.(1)|a|=_;(2)ab_;(3)cosa,b=(a0,b0)_.4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a的单位向量,记作.与a同方向.K例题讲解【例1】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点.求下列向量的数量积:(1);(2);(3);(4). 变式训练1.已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OABC. 【例2】如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,求OA与BC夹角的余弦值. 变式训练2.如图,已知ABC是正三角形,PA平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小. 【例3】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值. 变式训练3.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长;(2)求AC1与面ABCD所成的角.练习作业1.已知|a|=2,|b|=3,a,b=60,则|2a-3b|等于( )A. B.97 C. D.612.下列各命题中,不正确的命题的个数为( )=|a| m(a)b=(m)ab ,(m,R) a(b+c)=(b+c)a a2b=b2aA.4 B.3 C.2 D.13.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是( )A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可以4.已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6 B.6 C.12 D.1445.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60,其模都为1,则|a-b+2c|等于( )A. B.5 C. D.66.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则ab等于( )A.-2 B.-1 C.1 D.27.已知在平行六面体ABCDABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90,BAA=DAA=60,则AC等于( )A.85 B. C.5 D.508.在四面体SABC中,各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90 B.60 C.45 D.309.已知a,b是夹角为60的两单位向量,而ca,cb,且|c|=,x=2a-b+c,y=3b-a-c,则cosx,y=_.10.已知|OA|=5,|OB|=2,=60,=2+,=-2,则以OC,OD为邻边的OCED的对角线OE的长为_.11.已知线段AB的长度为6,与直线l的正方向的夹角为120,则在l上的射影的长度为_.12.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135,mn,则=_.13.设ab,a,c=,b,c=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模是_.14.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和BD各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB,设AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求CD的长.15.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O平面GBD.6.如图所示,正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1,且平面ABCD平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0a).(1)求MN的长度;(2)当a为何值时,MN的长最小;(3)当MN长最小时,求平面MNA与平面MNB所成的二面角的大小.J课后总结1.数量积是数量,可以是正数,也可以是负数或零,它没有方向,可以比较大小.a与b的数量积的几何意义是:向量a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosa,b的乘积.2.利用两个向量的夹角为,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一.3.根据空间两个向量的数量积的定义:ab=|a|b|cosa,b,那么空间两个向量a,b的夹角的余弦cosa,b=,这个公式可用来求空间两直线所成的角.4.在空间两个向量的数量积中,特别地aa=|a|a|cos0=|a|2,所以向量a的模|a|=,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为:|ab|=()2;|a+b+c|=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.5.对于三个不为0的向量,若ab=ac,不能得出b=c,即向量不能约分.6.若ab=k,不能得出a=或b=,即向量不能进行除法运算.7.对于三个不为0的向量,(ab)ca(bc),即向量的数量积不满足结合律.8.如何利用向量知识求线段的长度?将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的,已知的或可以求出的.具体求模时,可分为两种不同情况:(1)不建坐标系,直接进行向量运算;(2)建立坐标系,用距离公式求线段长度.9.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角?面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角.1从平面向量到空间向量 2空间向量的运算（学案二）J学习目的1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题J自主整理1.空间两个向量a和b的数量积是一个数,等于，记作ab,即ab=.2.空间向量的数量积的运算律.(1)交换律:ab=b a; (2)分配律:a(b+c)= ab + ac; (3)(ab)= (a)b (R).3.(1)|a|=;(2)ab=ab=0;(3)cosa,b=(a0,b0).4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a的单位向量,记作.与a同方向.K例题讲解【例1】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点.求下列向量的数量积:(1);(2);(3);(4).解析：由于空间四边形ABCD各棱长都等于a,所以表面中各三角形均为正三角形.所以有,两两之间的夹角均为60,用数量积的定义求解即可.答案：(1)在空间四边形ABCD中|=|=a,且,=60,所以=aacos60=a2.(2)|=a,|=a,=60,所以=a2cos60=a2.(3)|=a,|=a,又,=,所以=a2cos=a2.(4)因为|EF|=a,|BC|=a,所以,=,=60.所以=a2cos60=a2.小结 直接求两个向量的数量积时,应选取好基底,三个基向量的选取很重要,一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求,最好是特殊角,然后利用定义求解.变式训练1.已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OABC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以OACOAB. 所以AOC=AOB.因为=cosAOC-cosAOB=0.所以OABC.【例2】如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,求OA与BC夹角的余弦值.解析：求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式求解,cos,=,应先求出.答案：因为=-,所以=-=|cos,-|cos,=84cos135-86cos120=24-162.所以cos,=.所以OA与BC夹角的余弦值为.小结 用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时,应注意角的范围,向量夹角范围是0,180,异面直线所成的角的范围是(0,90,当用夹角公式求出的角为钝角时,它的补角才等于异面直线所成的角.变式训练2.如图,已知ABC是正三角形,PA平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小.解:PA平面ABC,ABC为正三角形,PA=AB=a,所以PAAC,BAC=60,PB=2a,AC=a.所以=a2.所以cos=.所以PB与AC所成的角为arccos.【例3】如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值.解析：如图,设=p,=q,=r.由题意,可知|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60.答案：(1)证明：=(q+r-p),所以=(q+r-p)p=(qp+rp-p2)=(a2cos60+a2cos60-a2)=0.所以MNAB,同理可证MNCD.所以MN为AB与CD的公垂线.(2)解：由(1)可知=(q+r-p), 所以|2=()2=(q+r-p)2=q2+r2+p2+2(qr-qp-rp)=a2+a2+a2+2(-)=2a2=.所以|=a. 所以MN的长度为a.(3)解：设向量与的夹角为, 因为=(+)=(q+r), =-=q-p, 所以= (q+r)(q-p)=(q2-qp+rq-rp) =(a2-a2cos60+a2cos60-a2cos60)=(a2-)=. 又因为|=|=a,所以=|cos=aacos=.所以cos=.所以向量AN与MC的夹角余弦值为.从而异面直线AN,MC所成角的余弦值为.小结 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的问题可用向量求解.立体几何中有关判断线线垂直,异面直线所成角的大小问题,通常可以转化为求向量的数量积和求向量的夹角而得到.变式训练3.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长;(2)求AC1与面ABCD所成的角.解:(向量法)记a=,b=,c=于是|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60.(1)=a+b+c,所以=a2+b2+c2+2ac+2ab+2bc=1+1+1+2cos60+2cos60+2cos60=6.所以=6.(2)连结AC,BD,由四边形ABCD是菱形,知BDAC.又=b-a, =(b-a)c=bc-ac=0.所以BDCC1.所以BD平面ACC1.所以平面ABCD平面ACC1.故AC是AC1在平面ABCD内的射影,C1AC即为AC1与面ABCD所成的角.因为=a+b+c,=a+b,cosC1AC=cos,=. 故AC1与平面ABCD所成的角为arccos.练习作业1.已知|a|=2,|b|=3,a,b=60,则|2a-3b|等于( )A. B.97 C. D.61解析:|2a-3b|2=4a2+9b2-12ab=44+99-12|a|b|cos60=97-1223=61.所以|2a-3b|=.答案:C2.下列各命题中,不正确的命题的个数为( )=|a| m(a)b=(m)ab(m,R)a(b+c)=(b+c)a a2b=b2aA.4 B.3 C.2 D.1解析:正确,不正确.答案:D3.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是( )A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可以解析:因为(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.所以(a+b)(a-b).答案:A4.已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6 B.6 C.12 D.144解析:因为, 答案:C所以=36+36+36+236cos60=144.所以|PC|=12.5.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60,其模都为1,则|a-b+2c|等于( )A. B.5 C.6 D.6解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc=1+1+4-2cos60=5.所以|a-b+2c|=5.答案:A6.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则ab等于( )A.-2 B.-1 C.1 D.2解析:ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:A7.已知在平行六面体ABCDABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90,BAA=DAA=60,则AC等于( )A.85 B. C.5 D.50解析:=50+2(10+7.5)=85.答案:B8.在四面体SABC中,各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90 B.60 C.45 D.30解析:选、为基向量表示其他向量.,所以=a2,=.所以cos=.所以=45.答案:C9.已知a,b是夹角为60的两单位向量,而ca,cb,且|c|=,x=2a-b+c,y=3b-a-c,则cosx,y=_.解析:因为|x|=,|y|=,xy=(2a-b+c)(3b-a-c)=,所以cosx,y=.答案:10.已知|OA|=5,|OB|=2,=60,=2+,=-2,则以OC,OD为邻边的OCED的对角线OE的长为_.解析:因为,所以=925+4-652cos60=.所以OE=.答案:19911.已知线段AB的长度为6,与直线l的正方向的夹角为120,则在l上的射影的长度为_。解析:在l上的射影的长度为|cos120|=6=3.答案:312.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135,mn,则=_.解析:由mn,得(a+b)(a+b)=0,a2+ab+ab+b2=0,18+34cos135+34cos135+16=0,4+6=0,=.答案:13.设ab,a,c=,b,c=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模是_.解析:因为|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+ac+bc)=1+4+9+2(0+13+23)=17+6,所以|a+b+c|=.答案:14.在直二面角的棱上有两点A,B,AC和BD各在这个二面角的一个面内,并且都垂直于棱AB,设AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求CD的长.解析:作出符合题意的空间直观图,不难发现ABCD为一空间四边形,由空间向量的加法运算法则,有,于是CD之长可求.答案:如图,依题意有AC,AB,BD两两垂直,所以=0,=0,=0.所以|2=62+82+242=676.所以CD=26.15.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O平面GBD.解析:只要证明与面GBD内两个不共线向量垂直即可.证明：设=a,=b,=c,则ab=0,bc=0,ac=0.而=c+(a+b), =b-a,=(a+b)-c.所以=(c+a+b)(b-a)=c(b-a)+(a+b)(b-a)=cb-ca+(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0.所以.所以.同理可证,所以A1OOG.又因为OGBD=O,且A1O面GBD,所以A1O面GBD.16.如图所示,正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1,且平面ABCD平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0a).(1)求MN的长度;(2)当a为何值时,MN的长最小;(3)当MN长最小时,求平面MNA与平面MNB所成的二面角的大小.解析:根据向量的基本运算,利用这一关系来求,这是求长度问题的常见方法.答案:(1)AC=,BF=,CM=BN=a.=(1-),=(1-).=(1-) +(1-)=(1-)+(1-)()=(1-)+(1-)()=(1-)+(-)=.(2)由(1),知当a=时,|的最小值为,即M,N分别为AC,BF的中点时,MN长最小,最小值为.(3)取MN中点G,连结AG,BG.因为AM=AN,BM=BN,所以AGMN,BGMN.所以AGB是二面角的平面角.所以.所以cos=.=所以二面角的大小为arcco