数列求通项公式方法总结.doc

数列求通项公式方法总结第一篇:求数列通项公式方法总结 等差数列 对于一个数列a n ，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 S n 。 那么 ， 通项公式为 a n = a 1 + (n-1)* d ,其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想： a 2 = a 1 + d , a 3 = a 2 + d, a 4 = a 3 + d, a n = a n-1 + d, 将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。 此外， 数列前 n 项的和 S n = n*a 1 + n*(n-1)*d /2, 其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。 值得说明的是，（S n) /n = a 1 +(n-1)*d /2 ，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。 等比数列 对于一个数列 a n ，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。 那么， 通项公式为 a n = a1 * q (n-1) (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想： a 2 = a 1 *q, a 3 = a 2 *q, a 4 = a 3 *q, a n = a n-1 *q, 将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。 此外， 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q(n) / (1-q). 一阶数列通项公式求法 概念 不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n+1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为 a n = a n-1 + d , 而等比数列的递推式为 a n = a n-1 *q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： a(n+1) = A *a n + B , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。 若干求法思路 基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元 思路一： 原式复合 （ 等比形式） 可令 a(n+1) - = A * (a n - ) 是原式变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 的值， 整理式 后得 a(n+1) = A*an + - A* , 这个式子与原式对比可得， - A* = B 即解出 = B / (1-A) 回代后，令 bn= an - ,那么式就化为 b(n+1) =A* b n , 即化为了一个以（a1- )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 an 的通项公式。 思路二： 消元复合（消去B） 由 a(n+1) = A *a n + B 有 a n = A* a(n-1) +B 式减去式可得 a(n+1) - a n = A *（ a n - a(n-1） 令 bn = a(n+1) - an 后， 式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an 二阶数列通项公式求法 概念 类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n+2) 、a(n+1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式： a(n+2) = A * a(n+1) +B * a n , （ 同样，A，B常系数） 求法 基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项 原式复合： 令 原式变形后为这种形式 a(n+2) - * a(n+1) = (a(n+1) - *an) 将该式与原式对比 ，可得 + = A 且 -（*）= B 通过解这两式可得出 与的值， 令bn=a(n+1) - *an, 原式就变为 b(n+1) = * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ， 即得到 a(n+1) - *an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有a(n+1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。第二篇:根据递推公式,求数列通项公式的常用方法 总结归纳 求递推数列通项公式的常用方法归纳 目录 一、概述 二、等差数列通项公式和前n项和公式 1、等差数列通项公式的推导过程 2、等差数列前n项和公式的推导过程 三、一般的递推数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、归纳猜想法 3、累加法 4、累乘法 5、构造新函数法(待定系数法） 6、倒数变换法 7、特征根法 8、不动点法 9、换元法 10、取对数法 11、周期法 一、概述 在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用，同时，数列的教学也是培养观察、分析、归纳、猜想、逻辑推理以及运用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的必不可少的重要途径。 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法： 1、不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。 2、倒叙相加法 等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。 3、错位相减法 错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想方法。 4、函数的思想方法 数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。 5、方程的思想方法 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第 n 项和前 n 项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方