[机械模具数控自动化专业毕业设计外文文献及翻译]【期刊】基于路径几何约束的高效机械手控制算法-中文翻译

附件 1 基于路径几何约束的高效机械手控制算法 Kang G. Shin and Neil D. McKay Department of Electrical and Computer Engineering The University of Michigan Ann Arbor， Michigan 48109 摘要：传统上， 机械手控制运算法则被区分为两 级，即路径规划和路径跟踪（或路径控制） 。这种划分方法已经被主要地应用于减轻复杂连结的机械手动力学。不幸的是，这种简单的划分方法是以牺牲机械手的工作效率为代价的。 为了改善这种低效率的情况，本文认为要使机械手在最短时间内沿着一条指定的几何路径移动受到输入扭矩 /扭力的限制。我们首先采用 几何学路径约束引入避免碰撞和操作需求的变量函数来 描述机械手动力要求，然后将输入扭矩 /扭力的限制参数转变成这些变量。最后最短时间的求解就可用相平面技术 进行推导运算求解 。 1、前言 在过去的几年人们主要关注于工业自动化技术，尤其是使用通用机器人技术。由于工业机器人的目的是为了提高生产力，如何使每 1 美元的机器人控制投入获得尽可能多的效益成为越来越突出的问题。通常固定成本在生产项目成本中占主导地位，所以人们总希望 在给定的时间中生产尽可能多的产品。 有多种算法可用于最短时间或接近最短时间机械手控制运算。这些算法通常划分为两个层次。第一个层次是所谓的路径规划，第二个层次是所谓的路径跟踪或路径控制。通常路径控制的定义是企图实现让机器人的实际位置和速度匹配理想的位置和速度。这种控制用控制器来实现。控制器接收上一次计算的理想位置值与速度值进行路径位置描述，然后通过路径跟踪系统跟踪机械手实际位置和速度得到运动偏差。 这样分开控制方案是基于机械手控制程序，如果把控制作为一个整体考虑将会非常复杂，由于几乎最简单的机械手的动力学之后是高度地非线性甚至更复杂。把控制分为两部分来分别处理使得整个控制过程变得简单。路径追踪通常是一个线性的控制算法，机械手动力学的非线性在这一个水平时常不被考虑，如此的追踪控制通常能得到需要的轨道并使机械手运动与实际要求保持非常接近。使得精密加工得以实现，例如解析运动速度控制（参考文献 1 ） ，突然的加速度控制（参考文献 2 ）， 及断续速度变化控制（参考文献 3-5 ）。 不幸 的是 ，单纯地划分为路径规划和路径追踪是以牺牲效率为代价的。 效率低下的根源是路径规划， 为了提高机械手的效率， 路径规划时必须了解该机器人的动态特性，以及准确的动态模型。 然而，规划运算法则的大部份的路径计算只与数据计算有关，有关机械手的动力学计算非常少。通常假定机械手的速度和加速度 为恒定或按一定规律变化的 （参考文献 6， 7），并具有一定的区域边界约束。事实上，这些约束因位置，负载大小， 甚至随有效载荷面积而改变 。因此为了使边界约束为有效的恒定值，速度面积法的边界取值必须是速度和加速度的 整体最低值 ； 换句话说，对于最坏情况的限制必须有效。由于机械手关节处的转动惯量加速度有限制，可能被三个或更多的条件所约束，这些多出的约束 造成机械手的效率低下。 为了提高效率，本文提出了一种依据几何路径和输入扭矩 /扭力上的最短时间机械手路径控制解决方案，方案以 路径运算法则的方式加入机械手动力学 运算。 路径规划输出真实的最短时间，作为其它可被测量的路径规划的测量标准。 注意，本文提到的问题和解决办法与参考文献 8， 9 中的接近最短时间控制理论不同。 本文分为五个部分分别论述，第二部分描述了使 机械手输入扭矩的动态约束方程更易于处理和控制的方法；第三部分考虑公式化时间控制的细节问题；第四部分用状态平面的技术求解最优解；第五部分是本文亮点，推导产生最佳的运动轨迹的运算法则；最后部分是该方法则使用意义讨论。 2、机器人动力学与约束 在进行最短时间控制问题研究前，先考虑对系统的行为进行控制，即机器人的手臂动力学模型。有多种方法获得的机器人臂的动力学方程，即方程中有关位置处的综合力和扭矩，速度扭矩和加速度。最常使用的两种方法是拉格朗日和牛顿、欧拉公式。牛顿、欧拉公式虽然计算效率高，但却很难用于控制问题的递推计算。拉格朗日虽然计算效率不高，但 确实产生一组非常适用于机械手控制问题的微分方程式。在这里动力方程仅用于获得分析结果，我们使用 拉格朗日的方法得出以下机械手动力学方程 (参考文献 12， 13)。 qi=vi (1a)ui=Jij(q)vj+Rijvj+Cijk(q)vjvk+Gi(q) (1b)式中 广义坐标 qi=ith广义速度 vi=ith广义力 ui=ith惯性矩阵 Jij=在 加上重力的力 Gi = ith科氏阵列 Cijk=粘性摩擦矩阵 Rij=爱因斯坦求和约束的使用使所有指数从 1 到 n 包含在 n 自由度机器人中。 惯性矩阵 的比例常数是施加于 的总的扭矩 /扭力与 上的总加速度。 科Jij ith Jij里奥利数列描述了结合 j 和 k 的速度进入 的力。 粘性摩擦矩阵 R给出由于Cijk速度 j 产生的 i 而受到的摩擦力。注意这个矩阵为对角矩阵，所有输入数值无负值。 机器人的手臂运动当然不会完全不受约束。事实上，在关节处机器人手臂必须限制在一个固定的空间运动，且运动轨迹为给定的参数化曲线。 曲线被由参数 的 n 个函数集决定，所以我们有 qi=fi() ， 0max (2)其中 为理想轨迹的一个参数，当 从 0 到 变化 时坐标 也连续地变 max qi化且路径不重复，即 . （ 0） =0 ， （ tf） =max 应当指出，在实际空间的运动轨迹是建立在笛卡尔坐标上。一般很难把曲线从笛卡尔坐标完全转换到机械臂关节空间 坐标中，相对地执行单个点的转换却很容易。在笛卡尔的路径上拾足够多的点进行坐标变换，利用插值法技术 （例如 三次样条函数）获得 机械臂关节空间 的一个相似的轨迹。（见 10为一个例子） 回到之前的问题，我们用时间来区分参数化的 得到 qi其中 = 运动方程沿着曲线（ Le几何学的路径）变成 注意，如果 表示沿着路径的弧长，那么 和 分别表示 沿着路径的速度和加速度。 基于这种参数化有两个状态变量，即 和 ，但有（ n + 1）个方程。选择方程 =和 剩余方程序之一为状态方程，其他方程作为输入 的约束。将 乘以ith 就可以 从给出的 n个方程中得到一个状态方程 dfi()d这个公式有个明显的优点，在约束函数导出的向量中参数 是 二次的，当一阶导数存在时曲线可以进行参数化，且惯性矩正定，整个的方程能被正的、非零的参数 分开，由 和 得到 的一个解。现在得到二个状态方程，而最初的 n 个方程则由输入和 约束（关于这方面将在后面讨论）。 通过变换，状态方程变为 现在考虑由 和公式（ 4a）限制的约束，动态方程（ 4a）可以写成|ui|uimax这样的形式： . 对于一个给定的状态，也就是给定的 h ui=gi()u+hi(， )和， u，这是一个参数 p的一组线性参数方程，约束存在于输入变化区间及因输入变化形成的约束矩阵中。因此把矩阵约束在 上，通过方程参数使输入扭矩 /u扭力变化的所有位置、速度在路径上彼此限制，给出初始的 及 的大(， ） u小，如果知道机械手关节处的输入扭矩、扭力这样就能用数的处理来代替 n个矢量的处理进而得到一系列的约束（路径状态方程）。 因为性能完全由 决定，我们用 于是有： u uimaxui+uimax简化： 于是得到： 注意：前面的方程都是 的函数，为了简化计算，功能的依赖性在下面的计算不再指出。 给出的控制不等式： 另一种格式： ，这些参数由 n决定， 满足： 或者 LBiuUBi u maxLBiuminUBi（ 7e） GLB(， )uLUB(， )路径计划要呈现的运算法则与之前依照惯例得到方程的不同，可知参数 是笛卡尔的空间的弧长， 是速度， 是几何加速度。传统路径规划把加速度划分为几个常数间隔，于是： GLB(， )uminuumaxLUB(， )式中 和 是常数。传统方法把加速度进行了过多的约束，使速度也有umin umax过多的约束。 3、 最佳控制问题的公式化 现在我们得到根据几何路径和输入系统规定参数的机械手动力方程，就可以分析实际控制问题了。机械手控制的目的是以最小的输入得到最大的动力输出， 这可以用最佳控制语言来描述，常用的方法使 庞特里亚金最大值原理11。最大值问题即点的连接问题，除了一些简单的点不能使用闭环控制，而且很难以数字的方式解决。我们使用最大值原理获得加工质量而不仅仅是获得方程的解，这个解将用于之后的最小时间求解。 考虑实际情况，最低成本即最短加工时间，就是求机械手运动最大速度，可以表示为： (8) C=tf0 l dt这里 由电子激光器决定，价值函数 C必须服从下面给出的 3个约束： 机械tf手的动力微分方程约束 （即式（ 6a） ， (6b)） ;输入量要求，关节驱动器输入扭矩允许范围要求（即 ） ；第三个参数是空间参数设置，机械手运动到达|ui|uimax指定工位不能与如何物体相碰。假定理想的几何方程已经把最小时间控制参数化，就像之前希望的（即等式（ 3） ） ，但最初的点为 =0，结束点为 = 且maxdfid存在，这样保证（ 6a） ， （ 6b）存在，同时当 从 0到 方程是单调的。把这些max代入动力方程，我们得到如下的最短时间方程（简称 MTPP） 。 MTPP：求出 通过将式（ 8）代入（ 6a） ， (6b)，x0=(0， 0)和 u0i |ui|，及边界条件 uimax, (9a) (0)=0 (tf)=f , (9b) (0)=0 (tf)=max 3.1、最大原则的应用 为了使 ，第三状态 v，并要求： 0max需要增加一个第三个状 态 方程v=2l()+(max)2l(max) (10)其中： l(x)=1 (x0) 0 (x0 ; Umax(0)(0)Umin(0)证明：已知 则当 t=tf 有 ，又 ，则当 tmax。但在 tf 处 ，又 M0 于是 U-S0； H（ tf） 0确定 p2(0)的符号及 的大小 ， 同理可得 ， 则 U-S0， 使（ 0） （ 0） 0用继电器控制于是有 否则 且 ，但如果 则U=Umax U=UminUminS0且 （ 2） d lim（ ） 0（ ）对于 0 我们有代入约束，由 g（ ） =min gi（ ）得 。这意味着 是 的约g1（ d+ ） di束解，和假设矛盾。这样至少存在一个点使 为零。这一个定理的图解意（ ）义在图 7 说明。从图中看出， g（ ）一定超出区域，且 是分段连续（ ）的，曲线向上跳跃。证明完毕。 为了要证明 ACOTNF 结束，我们对函数 进行一些假设 ，假设 可分fi() fi段求解且由有限个不含实际价值的数组成。非正式地，因为惯性矩阵，科里奥利数列，重力加速度等是全局解析函数，而且自从路径被限制之后是分段求解的，我们已经处理的所有函数也是分段求解的，函数 也是分段求解的，（ ）于是将会因此在每个区域中产生一个零点或有限个零点。如果 间隔地为（ ）0， 轨迹将沿着边界停止在间隔结束的地方，相同的零间隔不会引起问题。只有间隔的最右面点可能是一个交换点，因此只有如此有限的间隔会引起 ACOTNF 有限的反复。如此收敛被保证，因此有限数目的解域我们有下列的定理： 定理 3b： 如果函数 有有限个实际价值解，那么函数 存在一定数量fi （ ）的间隔结束于区域外的零。 证明：惯性矩阵， 科里奥利阵列，重力加速度在 qi 中分段解， 在 处fi()的解等等作为 函数（就像公式（ 4a）和 (4b)）的分段解或有限的单解。公式（ 7b）中的 M， Q， R， S也是单个的解。一个在有限区间内没有奇点的实际价值的解析函数，一定存在有限个零点或同一零点，工程量 M必须在区间内为零。如果假设 我们可以得到所有的 Mi零点。如果其中一个 Mi不为零，就不存在边界曲线，就没有零点。只要有两个或更多不为零的点，就可得到边界曲线。坐标 i， j代入式 (17b)(用 =代替 )得到曲线，式（ 17b）中系数 A， B， C， D排除在 Mi中的零之外，由于 Mi存在零点，考虑用 Mi中的零点进行区间分割。在每个小区间内，只有一个（ 17b）方程有效。在区间内 是 的一个解，边界曲线 g（ ）是特解， 也是特解且在每个区间内存在一个或数个零点。由于 在区（ ） （ ）间内存在一个或数个零点，因此区间个数是有限的，且结束于区域外的零。证明完毕。 定理 4： 由 ACOTNF产生的任何轨迹在最短时间控制上是最优的。 证明：该定理的证明是直接证明。假设一个轨迹比由 ACOTNF算法产生的轨迹有更小的运动时间。由等式（ 8）可知，必然存在 使新轨迹上的点（ ，）高于 ACOTNF轨迹上的点（ ， ），即 。否则，就不存在一个运动时间更短的轨迹。我们根据最大原则分析可知解不唯一，即存在数条最大加减速曲线，所以我们只能应用那些不确定的轨迹。现在有四种可能，（ ， ）可能位于 ACOTNF轨迹初始的加速段，也可能位于最后的减速段，也有可能位于其他的加速或减速轨迹上。在第一种情况下，新轨迹的初始值必须大于 ACOTNF的初始值。否则，新的轨迹必须在某些点上具有比 ACOTNF更大的加速度，而这是不可能的，因为 ACOTNF轨迹拥有可允许的最大加速度。新轨迹因此就可能达到合适的临界条件。第二种情况与之类似。因为（ ， ）点在 ACOTNF轨迹上，新轨迹必须比拥有最大的减速度的 ACOTNF轨迹减速更快才能达到相同的临界条件。这也是不可能的，因为 ACOTNF使用最大的减速度。在第三种情况下，（ ， ）在其他的加速轨迹上，在这种情况下，通向（ ， ）点的轨迹必须移出可行域的边界。否则，这些轨迹必须通过 ACOTNF轨迹的加速阶段，因为它们通过边界上的一个点。新轨迹在该相交点的加速度将大于ACOTNF的轨迹，同样，这也是不可能的。最后一种情况与前者类似。从（ ，）出发的加速或者减速轨迹必须要么与可行域的边界相交，要么比 ACOTNF减速轨迹减速快，因此，无解。证明完毕。 这种产生最优轨迹的方法可以在相位平面内任何有可行域的情况下工作，而不只是无摩擦的情况。基本思想是无限接近可行域的边缘而不超出它。因此轨迹仅仅是没有接触到非可行域。在实际中这当然会很危险，因为控制系统输入和测试系统参数的小错误都将很可能使机器人偏离预定的轨迹。然而从理论上说，这个轨迹是最节约时间的。 我们现在考虑一般的情况，即摩擦力足以使相位平面产生孤岛。在这种情况下，该算法必须用一种超微不同的形式来展现。因为存在数条边界曲线而不是一个，不可能像 ACOTNF中做的那样只研究零点的一个函数。因此我们不再在算法过程中寻找零点，而是一次性的全找出来。然后建立没有边界的轨迹，不管这些边界是可行域的边缘还是孤岛的边缘。合适的轨迹可以通过搜索结果曲线图找到 一直选择尽可能高的轨迹，有必要的话回溯。更正式的，最优轨迹建立算法是： 第一步：建立初始的加速轨迹。（与 ACOTNF相同） 第二步：建立最终的减速轨迹。（与 ACOTNF相同） 第三步：计算可行域边线和所有的孤岛边线的函数 （ ）。在每一个零点，建立一个以零点为转换点的轨迹，就像 ACOTNF的第五步和第六步。转换方向（加速到减速或者反过来）应该以不使轨迹离开可行域为准来选择。延长每条轨迹，使它或者离开可行域或者通过 max. 第四步 :找到轨迹的所有交点。这是潜在的转换点。 第五步：从 =0， =C穿过网格，这些网格是由从起始点到终点的最高的轨迹形成的。这在下面的网格穿越算法中有介绍。 穿越有上面的第三步和第四步产生的轨迹形成的网格是对曲线图的一个搜索，目的是要找到最终的减速轨迹。如果设想一个人沿着这些轨迹搜索这些网格，那么如果这可能的话他就会一直左转。如果一个转向引向了死角，那么就有必要回溯，然后就向右转了。整个过程是递归的，就像浏览树状图的过程一样。 算法包含两个过程，一个是搜索加速曲线，另一个搜索减速曲线。算法是： 加速搜索：在当前的（加速）轨迹上，找到最后一个转换点。在这一点，当前的轨迹到达一个减速轨迹。如果那条曲线是最终的减速轨迹，那么现在考虑的转换点就是最终的最优轨迹的一个转换点。否则，从当前的转换点开始进行减速搜索。如果减速搜索成功，那么当前的点就是最优轨迹的一个转换点。否则，沿当前的加速曲线回到前一个转换点，重复这个过程。 减速搜索：在当前的（减速）轨迹，找到第一个转换点。从该点开始应用加速搜索。如果成功，那么当前的点就是一个最优轨迹的转换点，则前移至下一个转换点并重复这个过程。 这两个算法一直是首先寻找速度最高的曲线，因为加速搜索总是从加速曲线的末端开始，而减速搜索总是从减速曲线的开端开始。因此算法找到（如果有可能）速度最快的轨迹，因此搜索时间最短。 这个算法的最优性和一致性的证明实质上与 ACOTNF是一样的，这里不再重复。注意在 ACOTNF的一致性证明中，在零摩擦情况下只存在一条边界曲线的事实没有用到；因此同样的证明也适用于高摩擦条件下。 6.讨论和总结 在这篇文章里，我们展示了一种获得在提供理想的几何轨迹和输入扭转约束力的条件下机械手运动最小时间控制轨迹的方法。 就像前面提出的，最优轨迹可能接触到可行域的边界，产生相当危险的情况。但是，如果在计算中使用略微保守的扭转约束值，那么实际的可行域就会略微大于计算可行域，留出失误的空间。 在高摩擦和低摩擦情况下的算法都已经展示了。在这两种情况下，算法产生 “仅仅丢失 ”非可行域的轨迹，不管丢失的非可行域部分是一个孤岛还是有较高的速度限制形成的域。 假设机器人的输入转矩被约束，我们得到一个测试机器人沿给定的空间路径运动的最小时间开环控制的算法。但是，对不同的输入参数也应该可能获得解。因为该算法产生真正的最小时间解，而不是一个近似值，所以该算法的结果能够为其他的路径设计算法提供一个绝对的测量参考。 参考文献 1 D. 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