坊主沈惠娟示范课.docx

2016年12月29日沈惠娟特级教师工作坊坊主为坊员及兄弟学校老师示范课一、活动剪影坊主沈惠娟老师精彩的讲课中课堂中学生展示 指导学生如何分析问题老师们认真听课、学习中二、展示课课件三、展示课教学设计与圆有关的阴影部分面积求解探索教学过程：一、复习公式：圆面积、扇形面积、弓形面积等公式、以下简单阴影面积表达式题目1、如图，以AB为直径画半圆，点C是弧AB的中点，求图中阴影部分的面积。2、已知正方形ABCD的边长为a，以它的一组对边为直径向正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。3、正方形AOBP的边长为a，分别以点O、P为圆心，a为半径向正方形内画弧，求图中阴影部分的面积。阴影部分的面积表达式S阴影= S阴影= S阴影= 第3题叶片形的图形构造较复杂，引导学生用覆盖法。本环节三个题目由浅入深、渗透方法、开启思路，从不同角度观察、发现阴影部分与规则图形之间的关系，为解决复杂题做铺垫。 二、直接和差法的运用1、有了铺垫练习的引导，我让学生来解决课本这道题。如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。 在学生充分独立思考后，我根据学生的情况引导他们从不同角度观察阴影部分的构成。受铺垫练习第2题启发，有学生会想到先求出两处空白部分的面积，进而得到四处空白部分的面积，从而得阴影部分的面积。于是得到第一种解法。铺垫练习第2题解法一中学生把注意力放在了空白部分上，也有一部分学生关注点在阴影部分上，结合铺垫练习第1题的思路，想到将阴影部分分割成8个弓形，于是又有了第二种解法。 铺垫练习第1题前两种解法中，学生都是从局部来求阴影部分的面积，是不是也可以整体求出阴影部分的面积呢？类比铺垫练习3的做法，我让学生通过画图发现阴影部分实际上是四个半圆的重叠部分。于是得到了如下解法：铺垫练习第3题上述都是用几何方法来解决的，有时我们也可以用代数方法来解决几何问题。为此，我引导学生引进未知数、建立方程来解决，让学生感受数形结合的魅力。其余方法与上述大同小异，在此不做一一列举。解决此题时，学生的思维角度较多，为了让他们形成解题经验，我让他们分小组讨论，归纳、总结出解决这类题的方法。求余法、构造弓形法、覆盖法、方程法。（1）解法一通过先求出余下面积的方法来得到阴影部分的面积，体现了转化和整体的思想； （2）解法二将叶形面积转化为弓形面积来求，渗透了化归的思想方法；（3）解法三利用整体思想使解法更加简洁明快；（4）解法四采用了数形结合的研究方法，体现了代数与几何的内在联系与统一.此题各种解法的共同点是：先弄清阴影部分的构成，再将其转化为基本图形面积的和差。充分体现了新问题要转化为熟悉的问题，渗透了转化的数学思想。为了让学生巩固上述思想方法，我把原题的四个半圆往正方形外部画，同时在内部加了一个圆，得到了这个题目：2、延伸与升华延伸：如图，已知边长a的正方形ABCD内接于O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与O的四条弧围成的四个新月形的面积。有了原题的启发，学生会从整体或局部、几何角度或代数方向看待阴影部分的形成。类比原题解法三，学生容易从整体看出，阴影部分是由正方形与四个半圆组合后再挖去一个圆得到，因此有：思路一（整体求）：四个半圆与正方形无缝隙、无重叠组成了该图，所以阴影部分的面积等于它们的和减去里面的圆。而类比原题解法一和解法二， 从局部看，每个新月形都是由一个半圆减去一个弓形得到，而每个弓形又是由一个扇形减去一个三角形得到： 思路二（局部求）：先通过求出一个弓形面积进而求出一个新月形面积，从而得到阴影部分的面积。延伸题的设计意图：（1）进一步体会利用转化思想将复杂图形分解出基本图形是解决阴影部分面积求解问题的常规思路；（2）培养学生学会从不同角度看问题。三、等积转化法例1、如图1所示，半圆O中,直径AB长为4,C、D为半圆O的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD，由C、D为半圆O的三等分点知：COD=60，且ADC=DAB=30，CDAB，所以（同底等高的三角形面积相等）例2、 在RTABC中,B=90,AB=BC=4,AB为直径的O交AC于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD，由AB为O的直径得ADB90，RTABC中B90ABBC4，得A45且AC，ADBDCD 例3、如图5所示，扇形AOB的圆心角为90，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AFED，交ED的延长线于点F，求图形中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点D，顺时针旋转阴影DEB，将不规则图形面积转化成规则图形面积-矩形ACDF。 解：如图6，将阴影DEB绕点D，顺时针旋转，得到矩形ACDF。因此阴影部分的面积就是矩形ACDF的面积。连接OD，在RtOCD中，根据勾股定理得：，所以，所以，AC=OA-OC=，所以阴影部分的面积=矩形ACDF的面积=ACCD=。等效图形是扇环例3，如图7所示，将圆心角为90的扇形AOB和扇形COD叠放在一起，连接AC、BD。已知OA=3cm，OC=1cm，求图形中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过绕点O，逆时针旋转扇形COD，将不规则图形面积转化成规则图形面积-扇环ACDB。解：如图8，将扇形COD绕点O，逆时针旋转，得到扇环ACDB。因此阴影部分的面积就是扇环ACDB的面积。所以，阴影部分的面积=扇环ACDB的面积=（cm2）。练习：1、求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.2、解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积,3、解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，思考题：如图，已知正方形的边长为1，分别以A、B、C、D四点为圆心，以1为半径画弧，则所得四个扇形的公共部分的面积是（ ）。 ABDC图17 解：由对称性，用x、y、z分别表示曲边形的面积，则 解之，得 . （说明：上面方程组中，是圆心角为900的扇形面积，是正方形面积圆心角为900的扇形面积，是线段BC、弧CE、弧EB围成的面积=2圆心角为600的扇形面积正三角形BCE的面积