《复变函数留数》PPT课件.ppt

第五章留数 1留数的概念与计算 2用留数定理计算实积分 3辐角原理与儒歇定理 1留数的概念与计算 1 留数的定义与留数定理 定义5 1设以为孤立奇点 即在的去心邻域内解析 则称积分为在点的留数 Residue 记为 定理6 1 柯西留数定理 在围线或复围线所范围的区域内 除外解析 在闭域上除外连续 则 证 作圆周使全含于内且两两不相交 则由柯西积分定理 注 留数定理 求积分转化为求留数 将积分问题转化为代数问题 即求洛朗展式的负一次幂的系数问题 2 留数的求法求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c 1 z a 1项的系数即可 如果a是f z 的可去奇点 则Res f z a 0 如果a是本性奇点 则没有太好的办法 只好将其按洛朗级数展开 如果a是极点 则有一些对求c 1有用的规则 留数的计算规则规则1如果a为f z 的一级极点 则 规则2如果a为f z 的m级极点 则 事实上 由于f z c m z a m c 2 z a 2 c 1 z a 1 c0 c1 z a z a mf z c m c m 1 z a c 1 z a m 1 c0 z a m 令两端z a 右端的极限是 m 1 c 1 两端除以 m 1 就是Res f z a 因此即得 5 2 当m 1时就是 5 1 由规则1 得 我们也可以用规则III来求留数 这比用规则1要简单些 例4计算 解 在圆周的内部只有一级极点及二级极点 而由残数定理 得 例5计算 解 只以为一级极点 而 由留数定理得 3 无穷远点的留数 略 定义5 2设为的一个孤立奇点 则称为在的留数 记为 定理5 2若在扩充平面上只有有限个孤立奇点 设为则留数总和为0 计算的残数的方法 例6 5计算 解 共有七个奇点 前6个根均在内部 故 而故 从而 2用留数定理计算实积分 利用留数计算定积分是复变函数一个重要应用 1 被积函数 与某解析函数相关2 积分区域 化为某闭合路径考虑如下几种形式的定积分一 计算其中R为cos sin 有理函数 并且在 0 2 上连续 若R cosq sinq 为cosq与sinq的有理函数 可令z eiq 则dz ieiqdq f z 是z的有理函数 且在单位圆周 z 1上分母不为零 没有奇点 根据留数定理有 其中zk k 1 2 n 为单位圆 z 1内的f z 的孤立奇点 例1计算 解 由于0 p 1 被积函数的分母在0 q 2p内不为零 因而积分是有意义的 由于cos2q e2iq e 2iq 2 z2 z 2 2 因此 在被积函数的三个极点z 0 p 1 p中只有前两个在圆周 z 1内 其中z 0为二级极点 z p为一级极点 若R cos sin 为 的偶函数 还可以求如下形式的积分 例3 计算积分解 因为积分号下的函数是x的偶函数则 命 设 则 取积分路线如图所示 其中CR是以原点为中心 R为半径的在上半平面的半圆周 取R适当大 使R z 所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内 CR 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变 3 形如的积分 当R x 是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次 且R x 在实数轴上没有奇点时 积分是存在的 像2中处理的一样 由于m n 1 故对充分大的 z 有 z1 z2 z3 y R R O x CR 因此 在半径R充分大的CR上 有 课堂练习 4 杂例 R R r r Cr CR C CR 作业 P1641 2 15 1 5 3辐角原理与儒歇定理 许多的数学物理问题都可以归结为其特征方程的根的分布 或者特征多项式的零点分布问题 线性系统 如二次方程的分类 微分方程 代数方程 工程控制中的微分方程的稳定性问题 对数留数给我们提供了一个好方法 一 对数留数称积分为f z 的对数留数 这种称呼 并不严格 其中C为一围线 计算 1 自然用到留数定理 首先 分析被积函数的奇点 显然 f z 的零点和奇点都可能是的奇点 引理6 4 1 设为的级零点 则必为函数的一级极点 且 2 设为的级极点 则必为函数的一级极点 且 证 1 若为的级零点 则有其中解析 且于是 因右端第二式解析 故为的一级极点 且 1 式成立 定理6 9设是一条围线 满足 1 在的内部除可能有极点外是解析的 2 在上解析且不为零 则有 辐角原理在定理6 9的条件下 有 定理6 10 儒歇定理 设是一条围线 函数及满足 1 它们在内部均解析 且连续到 2 在上 则 例6 13设次多项式合条件则在单位圆内有个零点 证 取易验证在单位圆周上 有 依儒歇定理知在单位圆内的零点 与在单位圆一样多 即个 例6