【教学论文】感 应 电 动 势的 数 学 平 均 与 物 理 平 均【教师职称评定】.doc

【教学论文】感 应 电 动 势的 数 学 平 均 与 物 理 平 均【教师职称评定】 感应电动势的数学平均与物理平均1感应电动势的数学平均与物理平均在一般的电磁感应现象中,感应电动势的大小与方向往往都要随时间发生变化,如果我们只关心感应电动势大小变化对问题的影响,那么这样求解的平均,我们习惯上称之为感应电动势的物理平均；如果我们还关心感应电动势方向变化对问题的影响,那么这样求解的平均,我们习惯上就称之为感应电动势的数学平均.由于考虑问题的角度不同,因此求解感应电动势平均值的方法和结论一般也不相同.1.1感应电动势的数学平均表达式认为这样的说法不够严谨,通过比较分析,笔者发现问题的焦点是源于对公式本身数理含义t?/?常被称为感应电动势的平均值表达式【1】【2】【3】,但也有文章【4】提出过异议,理解上的差异,那么在判断孰是孰非之前,我们不妨先看一下公式设?在区间【t1,t2】内随时间连续变化,则?的函数值在这段时间内的平均值可表示为t? (1)根据法拉第电磁感应定律,有dtd/? (2)联立 (1)式、 (2)式,简化可得?12 (3)t?/?的由来.1221ttdtt?ttt?12这便是公式从上述推导过程可以看出, (3)式求出的平均值实际上是一种包含了方向(即正负)在内的数学平均,而非单纯针对感应电动势大小的物理平均.由于这两种平均一般并不等价,所以笼而统之地将 (3)式称为感应电动势平均值表达式显得不够妥当.t?/?的由来.严格地讲,这内涵,我们不妨给它加上角标,以示区别.这样 (3)式就可写为t?/?只能是感应电动势的数学平均表达式,为更清楚地表述公式的 (4)利用它我们可以直接求解感应电动势的数学平均值.值得一提的是,感应电动势的数学平均值并非没有物理意义,譬如:我们常可利用它去求解通过闭合电路导体某截面的净电量.1.2感应电动势的物理平均表达式虽然 (4)式是严格意义上的感应电动势数学平均表达式,但这并不妨碍我们借助它来处理有关感应电动势物理平均值的问题.当?随t单调变化时,由 (2)式可知此时感应电动势正负不会易号,所以该区间内感应电动势的物理平均值必与其数学平均值的绝对值相等,写成公式就是t?/?数 (5)不过它仅适用于?随t单调变化时的区间.如果在某段时间内?并不随t单调变化,那么 (5)式对这段时间而言便不再成立,但由上述分析可知,它对这段时间内各单调小区间而言仍可适用.这样我们就可以先求解出各单调t?/?数物小区间的物理平均值,然后再将它们转化为整段时间的感应电动势物理平均值.这一方法用公式可表示为n?i?i?niiitt11物物 (6)式中it?为各单调小区间的时间间隔,为整段时间内单调区间的个数.将 (5)式代入,进一步简化 (6)式可得ni物?为相各小区间内感应电动势的物理平均值,n?i?i?niit11?物 (7)这就是感应电动势物理平均值的一般表达式,其中上面导出的 (5)式可看作是它n=1时的特例.对比 (4)式与 (7)式,我们可以看出,不同的平均对应不同的公式,彼此不可混淆.这就要求我们在教学中引起注意,并严格地加以区分.2应用举例及结论分析如图所示,某回路?值随t的变化服从以下关系i?为第i个单调区间内?的变化量.试分别求解?【0，22?】整段时间内感应电动势的数学平均值与物理平均值.1)1)求解感应电动势的数学平均值由已知可得2)求解感应电动势的物理平均值t?/?数=0/)00(?t由于?在【0,2】和(2,均值可套用 (5)式求解,即22?)两个区间内分别单调变化,所以这两个区间内的物理平VVt224111?物VVt?82/4222?物再将以上两式代入 (6)式,则整个区间内?的物理平均值为VVtttt416?222822212211?物物物这样讨论只是为了便于说明问题,当然我们也可以直接利用 (7)式求解222)2cos (4204)2(2?ttttt(s)（Wb)2443210VVtt416?22442121?物结论同上面完全一致,过程更为简洁.进一步分析上述解题过程,我们发现:尽管各区间内?与t的函数关系较为复杂,但最终的计算结果无论是变化量这一特点并非为上述题例所特有,它实际上是电磁感应现象的一般规律,直接由 (4)式和 (7)式我们也可以同样地看到这点.合理地利用这一特点,可以大大地简化运算.3总结与拓展其实不仅对感应电动势的计算存在着数学平均值与物理平均值的区别,对其他一些含有数?还是物?都与这些具体的函数形式无关,仅取决于各相应区间内?的方向的物理量的计算常常也存在着同样的区别.例如:在讨论)(sinAtIim?这一交变电流在一个周期时间内的平均值时,结论既可以为0,也可以为学平均,而后者为i的物理平均,笼统地判定谁是谁非是没有意义的,也是不科学的,可见,在讨论这类物理量的平均值时,及时地加以明确是很有必要的.参考文献【1】王有山,“电磁感应教学中几个问题的探讨”物理教学,1986,12t?/?与?sinBlv?”,物理教师,1993,12【3】李虎