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第六章正弦交流电路的稳态分析 重点 正弦量的三要素 相位差 正弦量的相量表示 电路定律的相量表示形式 复阻抗和复导纳 相量图 正弦稳态电路的分析 第一章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电 其大小和方向均不随时间变化 称为稳恒直流电 简称直流电 直流电的波形图如下图所示 6 1正弦交流电路的基本概念 电压或电流的大小和方向均随时间变化时 称为交流电 最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电压和正弦电流 表达式为 正弦交流电解析式与波型图 波形图为 6 1 1正弦量的三要素 1 正弦交流电的周期 频率和角频率 角频率 正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系 频率f正弦量在单位时间内变化的周数 单位 rad s 弧度 秒 6 1 1正弦量的三要素 2 正弦量的瞬时值 最大值和有效值 瞬时值正弦量对应第一时刻的数值 通常用解析式表示 如 最大值正弦量在一个周期内振荡的正向最高点 6 1 1正弦量的三要素 指与交流电热效应相同的直流电数值 it时间内在R上产生的热量为Q 我们就把与交流电热效应相同的直流电流I的数值称为i的有效值 有效值可以确切地反映交流电的做功能力 理论和实际都可以证明 I通过Rt时间内也产生Q热量 有效值 正弦量解析式中随时间变化的电角度 t 称为相位 相位是时间的函数 反应了正弦量随时间变化的整个进程 相位 t 0时的相角 初相确定了正弦量计时始的位置 6 1 1正弦量的三要素 3 正弦交流电的相位和初相 初相 相位 初相 u i的相位差为 显然 相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初相之差 6 1 2相位差 两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差 6 1 2相位差 u1与u2反相 即相位差为180 u3超前u190 或说u1滞后u390 二者为正交的相位关系 u1与u4同相 即相位差为零 介绍几个有关相位差的概念 归纳 正弦量的最大值 或有效值 反映了正弦量的大小及做功能力 角频率 或频率 周期 反映了正弦量随时间变化的快慢程度 初相则确定了正弦量计时始的位置 只要这三个要素确定之后 则正弦量无论是解析式还是波形图 都是唯一和确切的 因此 我们把最大值 或有效值 角频率 或频率 周期 及初相称为正弦量的三要素 6 2正弦响应 电路如图6 4所示 其中us为一正弦电压 假设电路中初始电流为0A 求t 0时电流i t 第一个分量成为电流的暂态分量 第二个分量成为稳态分量 响应的性质暂态响应随时间的推移逐渐消失 正弦电源激励的线性电路 正弦稳态响应为同一频率的正弦函数 正弦稳态响应的频率与电源频率相同 这一性质适用于电路R L C均为常数的线性电路 正弦稳态响应的最大值通常与信号源的振幅不同 正弦稳态响应的初相位通常与信号源不同 正弦稳态响应实际上是求响应的其余两个要素 振幅和初相位 正弦稳态电路 正弦波的表示方法 6 3正弦量的相量表示方法 两个正弦量 i1 i2 i3 无论是波形图逐点相加 或用三角函数做都很繁 角频率 有效值 初相位 i1 i2 i3 相量 其中 是一个与时间无关的复数值常数 其模为该正弦电压的振幅 辐角为该正弦电压的初相 欧拉公式 2 与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量 为区别于一般复数 相量的头顶上一般加符号 例如正弦量i 14 1cos t 36 9 A 其最大值相量为 有效值相量为 由于同一电路中各正弦量频率相同 所以相量只需对应正弦量的两要素即可 即模值对应正弦量的有效值 或最大值 幅角对应正弦量的初相 相量图 相量和复数一样可以在平面上用向量表示 例2 试写出电流的瞬时值表达式 解 2 相量运算 1 同频率正弦量相加减 故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算 i1 i2 i3 可得其相量关系为 例 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 首尾相接 1 复数F表示形式 F a jb 6 4复数的表示方法及其运算 复数运算定理 定理1式中K为实常数 定理2 定理3若 则 2复数运算法则 显然 复数相加 减时用代数形式比较方便 复数相乘 除时用极坐标形式比较方便 设有两个复数分别为 A B加 减 乘 除时的运算公式 复数运算中 应根据复数所在象限正确写出幅角的值 如 注意 数学中的复数因子用i表示 电学中为了区别于电流而改为j 代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子 一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90 除以j相当于在复平面上顺时针旋转90 检验学习结果 1 已知复数A 4 j5 B 6 j2 试求A B A B A B A B 2 已知复数A 17 24 B 6 65 试求A B A B A B A B 解1 第2题自己练习 思考练习 答案 1 把下列正弦量表示为有效值相量 2 指出下列各式的错误并改正 正弦量和相量之间只有对应没有相等 电压单位是V 相量上面要加符号 小结 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 6 5R L C元件伏安特性的相量形式 一 电阻 时域形式 相量形式 相量模型 有效值关系 UR RI 相位关系 u i u i同相 相量关系 二 电感 时域形式 相量形式 相量模型 相量关系 1 相量关系 感抗的物理意义 1 表示限制电流的能力 U XLI LI 2 fLI 2 感抗和频率成正比 相量表达式 XL L 2 fL 称为感抗 单位为 欧姆 2 感抗和感纳 三 电容 时域形式 相量形式 相量模型 有效值关系 IC wCU 相位关系 i u 90 i超前u90 相量关系 令XC 1 wC 称为容抗 单位为W 欧姆 频率和容抗成反比 w 0 XC 直流开路 隔直 w XC 0高频短路 旁路作用 容抗与容纳 相量表达式 对于电路中任一结点 根据KCL有 对于电路中任一回路 根据KVL有 6 6基尔霍夫定律的相量形式 例6 6 1 复阻抗与复导纳 正弦激励下 单位 阻抗模 阻抗角 电阻 电抗 6 7复阻抗 复导纳及其等效变换 Y 复导纳 G 电导 导纳的实部 B 电纳 导纳的虚部 Y 复导纳的模 导纳角 关系 或 2 R L C元件的阻抗和导纳 1 R 2 L 3 C 3 RLC串联电路 用相量法分析R L C串联电路的阻抗 由KVL 4 RLC并联电路 由KCL 在第一章中讨论的电阻电路的 Y变换仍然适用于阻抗电路 区别仅在于用阻抗代替了电阻 二者的互换公式 5 阻抗的 Y形变换 6 8用相量法分析正弦稳态电路 一 电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较 可见 二者依据的电路定律是相似的 只要作出正弦电流电路的相量模型 便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中 线性电路 单一频率正弦激励下的稳态电路 条件 工具 正弦稳态电路分析的一般步骤 列写电路的回路电流方程 例1 解 回路法 例2 求图示电路的戴维宁等效电路 1 求开路电压 例2 求图示电路的戴维宁等效电路 1 求开路电压 例2 求图示电路的戴维宁等效电路 2 求等效阻抗 1 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中 2 选定一个参考相量 设初相位为零 二电路的相量图 用途 定性分析 利用比例尺定量计算 例选为参考相量 串联电路选电流 并联电路选电压 画出该电路的相量图 本章小结 1 正弦量及三各要素 i t Imcos wt 振幅 Im角频率 w初相 2 有效值 3 同频率正弦量的相位差 jui wt u wt i u i jui u i 0 电压超前于电流 jui u i 0 电压滞后于电流 规定 4 有效值相量 5 相量的性质 a 同频正弦量的代数和 i1