金融学市场——第十章：远期和期货的定价

第十章远期和期货的定价 远期和期货的定价概述 不支付收益证券远期合约的定价 支付已知现金收益证券远期合约的定价 支付已知红利率证券远期合约的定价 期货价格与现货价格的关系 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 Contents 第一节远期和期货的定价概述 一 无套利定价法 一 无套利定价的基本思想无套利定价法与套利有直接的关系 套利 又称套期图利 是同时在两个或多个有联系的市场上构筑头寸 利用价格联系的差异套取利润的交易行为 套利力量将会推动市场重建均衡 提高金融市场的效率 市场一恢复均衡 套利机会就消失 在市场均衡时无套利机会 这就是无套利定价法分析的基本思想 无套利 No Arbitrage 定价法 也称无套利均衡定价法 实质上就是最简单 最基本的现金流的复制 包括正向复制和逆向复制 通过现金流的复制分析在没有套利机会存在时的金融资产价格 其定价的基本方法是将这项金融资产与市场中其他金融资产组合起来 形成一个在市场均衡时不能产生不承受风险的利润组合 由此测算出该项金融资产在市场均衡时的价值即均衡价格 在现代金融学中 这种现金流的复制技术既可用于金融资产和金融工具的定价 也可用于风险规避 进行套期保值 甚至还可以用于发现和寻找套利机会 二 无套利定价法的基本原理我们以远期外汇市场为例 假定外汇市场和货币市场的行情如下10 1所示 假设我们有1美元 我们可以有两种投资选择 一是直接持有这1美元 存入银行 一年后可得1 10美元 二是在即期市场上用这1美元兑换成7 70元人民币 转为人民币存款 一年后可得8 085元人民币 我们知道 在不存在无风险的套利活动的情况下 这两种投资的收益应该是一致的 也就是说 我们把8 085元人民币按照一年远期汇率转换为美元后应该是1 10美元 这样的话 我们就可以求出人民币一年远期汇率的理论价格为1美元 7 35元人民币 显然 市场对人民币远期汇率高估 这也就存在着无风险的套利机会 套利者可以在即期市场上先借入美元 并按即期汇率兑换成人民币 将人民币存放一年 用到期后的本息再兑换为美元 用于偿还美元借款本息 偿还后的剩余部分就是无风险套利的收益 这种套利活动的进行 势必会使美元利率上升 人民币利率下降 人民币即期汇率上升 人民币远期汇率下降 这种无套利活动所形成的均衡的人民币一年远期汇率价格必须使得套利者处于这样一种境地 他 她 通过套利形成的财富的现金价值 与他 她 没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等 即套利不能改变他的期初和期末的现金流状况 只有这样 才能消灭套利机会引起的无风险利润 套利活动才能终止 均衡的结果会使人民币一年远期汇率为1美元 7 35元人民币 无套利定价法的运用要满足特定的条件 第一 无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行 也就是说 不存在市场壁垒 不存在交易成本 第二 无套利定价法的关键技术是所谓的现金流 复制 技术 即用一组证券的现金流来复制另一组证券的现金流 二 远期价格和期货价格的关系 一 远期和期货的比较期货和远期约虽然都是在交易时约定在将来某一特定时间按照约定的价格买卖一定数量的某种标的资产的合约 但它们在以下几方面也存在着显著的区别 1 交易场所不同远期交易通常没有固定的交易场所 是一个无组织的效率较低的分散的市场 期货交易则主要在交易所内集中进行 交易所不仅为期货交易提供了相对固定的交易场所 而且还为期货交易制定了许多严格的交易规则 如涨跌停板制 最小价格波动幅度 最大持仓限额 保证金制度等 并为期货交易提供了信用担保 2 标准化程度不同远期交易遵循 契约自由 的原则 合约中的相关条款如标的物的种类 质量 数量 交割地点和交割月份等都可由交易双方根据需要协商确定 具有很大的灵活性 期货合约是由期货交易所统一制定的标准化合约 这种标准化是指进行期货交易的商品的品级 数量 质量等都是预先规定好的 只有价格是变动的 3 履约方式不同远期合约的非标准化给合约的转让及流通造成了很大的麻烦 直接导致了远期合约二级市场的不发达 因此 绝大多数远期合约只能通过到期实物交割来履行 期货合约的标准化却大大便利了期货合约的订立和转让 使期货合约具有极强的流动性和吸引力 当交易一方的目的 如投机 套期保值和套利 达到时 无须征得对方同意就可通过平仓来结清自己的头寸并把履约权利和义务转让给第三方 4 价格确定方式不同远期合约的交割价格是由交易双方直接谈判并私下确定的 由于信息的不对称 不同交易双方在同一时间所确定的类似远期合约的价格可能相差甚远 因此 远期交易市场的定价效率很低 期货交易的价格则是在交易所中由众多买者和卖者通过其经纪人在场内公开竞价确定的 有关价格的信息较为充分 对称 由此产生的期货价格较为合理 统一 因此期货市场的定价效率较高 5 违约风险不同远期合约的履行通常仅以签约双方的信誉为担保 有着极高的信用风险 期货合约的履行则由交易所或清算公司提供担保 可以说 期货交易的违约风险几乎为零 6 结算方式不同远期合约签订后 只有到期才进行交割清算 其间均不进行结算 期货交易则是采用逐日盯市 即每天无负债的结算制度 二 远期价格和期货价格之间的关系 期货交易就是特殊的远期交易 期货价格与远期价格之间存在着某种内在的联系 根据罗斯等美国著名经济学家证明 当无风险利率恒定 且对所有到期日都不变时 交割日相同的远期价格和期货价格应相等 当利率变化无法预测时 远期价格和期货价格就不相等 当标的资产价格与利率呈正相关时 期货价格高于远期价格 当标的资产价格下跌时 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损 而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短 当有效期只有几个月时 两者的差距通常很小 此外 税收 交易费用 保证金的处理方式 违约风险 流动性等方面的因素或差异也都会导致远期价格和期货价格的差异 第二节不支付收益证券远期合约的定价 一 基本假设和符号 一 基本假设1 无交易费用 2 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 3 所有的交易利润使用统一税率 4 允许现货卖空行为 5 当套利机会出现时 市场参与者将参与套利活动 从而使套利机会消失 我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格 6 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率 这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位 7 远期合约没有违约风险 二 符号T 远期和期货合约的到期时间 单位为年 t 现在的时间 单位为年S 远期合约的标的资产在时间t时的价格 ST 远期合约的标的资产在时间T时的价格 在t时刻这个值是个未知变量 K 远期合约中的交割价格 f 远期合约多头在t时刻的价值 F t时刻的远期价格 r T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率 年利率 二 不支付收益证券远期合约的定价 不支付收益证券是指在到期日前不产生现金流的证券 比如不支付红利的股票或贴现债券就是此类证券 由于不存在套利机会 对于不支付收益证券而言 该证券远期价格F和现货价格S之间关系应该满足 F Ser T t 由于远期价格 F 就是使合约价值 f 为零的交割价格 K 即当f 0时 K F 如果市场中的远期价格高于或低于这个价格就会产生无风险套利机会 假设F Ser T t 即交割价格大于现货价格的终值 在这种情况下 套利者可以按无风险利率r借入S现金 期限为T t 然后用S购买一单位标的资产 同时卖出一份该资产的远期合约 交割价格为F 在T时刻 该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金 并归还借款本息Ser T t 这就实现了F Ser T t 的无风险利润 若F Ser T t 即交割价值小于现货价格的终值 套利者就可进行反向操作 即卖空标的资产 将所得收入以无风险利率进行投资 期限为T t 同时买进一份该标的资产的远期合约 交割价为F 在T时刻 套利者收到投资本息Ser T t 并以F现金购买一单位标的资产 用于归还卖空时借入的标的资产 从而实现Ser T t F的利润 例10 1假设一年期的贴现债券价格为95元 3个月期无风险年利率为5 则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为 F 95e0 05 0 25 96 2元为了从一般意义上给无收益证券远期合约进行定价 我们考虑构造如下两个证券组合 组合1 一个远期合约多头加上加上一笔数额为Ke r T t 的现金 组合2 一单位标的证券 在组合1中 Ke r T t 的现金以无风险利率投资 到T时刻 其金额将达到K 这是因为 Ke r T t er T t K 在远期合约到期时 这笔钱刚好可用来购买该标的证券 这样 我们可以看出 在T时刻 组合1和组合2都将得到一单位的标的证券 根据无套利定价原理 我们可以知道 这两个组合在t时刻时 两个组合的价值也应该相等 因此有 f Ke r T t S即f S Ke r T t 上式表明 无收益证券远期合约多头的价值等于标的证券现货价格与交割价格现值的差额 当一个新的远期合约生效时 远期价格等于合约规定的交割价格 这种选择使得该合约本身的价值为0 因此 远期价格F就是令f 0时的K值 即F Ser T t 例10 2考虑一个6个月期 标的证券为一年期贴现债券的远期合约的多头情形 远期合约交割价格为98元 假设6个月期的无风险利率 连续复利 为年利率6 该债券的现货价格为97元 根据公式我们知道远期合约多头的价值为 f 97 98e 0 5 0 06 1 90元相应地 该远期合约空头的价值为 1 90元 第三节支付已知现金收益证券远期合约的定价 在本节中我们考虑另一种远期合约 该远期合约标的资产为在到期前为远期合约持有者提供完全可预测的现金流的资产 如附息债券和支付已知现金红利的股票等 设已知现金收益在远期合约有效期间的现值为 贴现率为无风险利率 由于不存在套利机会 对于支付已知现金收益证券而言 该证券远期价格F和现货价格S之间关系应该满足 F S er T t 我们可以证明该式成立 假设F S I er T t 即交割价格高于远期理论价格 这样 套利者就可以借入现金S 买入标的资产 并卖出一份远期合约 交割价为F 这样在T时刻 他需要还本付息Ser T t 同时他将在T t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出 从而在T时刻得到Ier T t 的本利收入 此外 他还可将标的资产用于交割 得到现金收入F 这样 他在T时刻可实现无风险利润F S I er T t 若假设F S I er T t 即交割价格低于远期理论价格 这时 套利者可以借入标的资产卖掉 得到现金收入以无风险利率贷出 同时买入一份交割价为F的远期合约 在T时刻 套利者可得到贷款本息收入Ser T t 同时付出现金F换得一单位标的证券 用于归还标的证券的原所有者 并把该标的证券在T t期间的现金收益的终值Ier T t 同时归还原所有者 这样 该套利者在T时刻可实现无风险利润 S T er T t F 现在我们再从一般意义上给支付已知收益证券远期合约进行定价 我们考虑构造如下两个证券组合 组合1 一份远期合约多头加上一笔数额为Ke r T t 的现金 组合2 一个单位的标的证券加上以无风险利率借 数额的资金 从上节可知 组合1在T时刻的价值为一单位的标的证券 在组合2中 由于证券的收益正好可以用来偿还借款 因此在T时刻 这个组合也与一单位的标的证券具有相同的价值 因此 在无套利情况下 在t时刻 这个两个组合的价值应该相等 因此有 f Ke r T t S 即f S I Ke r T t 上式表明 支付已知现金收益证券的远期合约价值等于标的证券现货价格减去现金收益现值后的余额与交割价格现值之差 当一个新的远期合约生效时 远期价格等于合约规定的交割价格 这种选择使得该合约本身的价值为0 因此 远期价格F就是令f 0时的K值 即F S I er T t 例10 3假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9 和10 而一种十五年期债券现货价格为980元 该证券一年期远期合约的交割价格为1001元 该债券在6个月和12个月后都将收到60元的利息 且第二次付息日在远期合约交割日之前 求该合约的价值 根据已知条件 我们可以先算出该债券已知现金收益的现值 I 60e 0 09 0 5 60e 0 10 1 111 65元根据支付已知收益证券远期合约的定价公式 我们可算出该远期合约多头的价值为 f 980 111 65 1001e 0 1 1 37 39元相应地 该合约空头的价值为37 39元 第四节支付已知红利率证券远期合约的定价 一个支付已知收益率的证券是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的证券 意味着证券价格百分比的收益是已知的 可以认为货币和股票价格指数是提供已知红利收益率的证券 我们设红利收益按照年q连续支付 它的含义具体是指 假设q 3 即红利收益率为标的证券每年价格的3 当证券价格为15元时 下一个小的时间段的红利按照每年0 45元的比率支付 当证券价格为150元时 下一个小的时间段红利按照每年4 5元的比率支付 依此类推 为了给出支付已知红利率证券远期合约的定价 我们可以构建如下两个资产组合 组合1 一份远期合约多头加上一笔数额为Ke r T t 的现金 组合2 e q T t 单位标的证券并且所有的收入都再投资于该证券 其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率 从第二节分析我们可知 组合1在T时刻的价值等于一单位的标的证券 组合2中拥有标的证券的数量会随着获得红利的增加而不断增长 因此 当到时刻T时 正好也拥有一个单位的标的证券 因此 在无套利情况下 在t时刻时 组合1和组合2的价值也应该相等 因此有 即需要指出的是 如果远期合约有效期间红利收益率是变化的 上式仍然是证券的 此刻q等于平均红利收益率 上式表明 支付已知红利率证券远期合约的价值等于e q T t 单位证券的现值与交割价现值之差 或者说 一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e q T t 单位标的资产和Ke r T t 单位无风险负债构成 当一个新的远期合约生效时 远期价格等于合约规定的交割价格 这种选择使得该合约本身的价值为0 因此 远期价格F就是令f 0时的K值 即 例10 4假设存在一个6个月期某种股票远期合约 该股票提供年平均红利收益率为4 连续复利的无风险利率为10 该股票现价为15元 远期合约中交割价格为20元 求该远期合约价值和远期合约的理论远期价格 15 e 0 04 0 50 20 e 0 10 0 50 4 32元所以该远期合约多头的价值为 4 32元 相应地 该远期合约空头的价值为4 32元 该远期合约的理论远期价格应为 15 e 0 10 0 04 0 50 14 56元 通过以上的分析我们可以看出 公平的远期价格应该使远期合约价值为零 或者说在签署远期合约时刻远期合约的价值为零 之后随着标的证券价格以及无风险利率的变化 远期合约的价值随之发生变化 其价值可能为正也可能为负 对所有远期合约 远期合约多头的价值f我们可以得出一个一般性结论 设合约签署初始的交割价格为K 当前远期价格为F 则有 f F K e r T t 第五节期货价格与现货价格的关系 一 期货价格和现在的即期价格的关系 期货价格和现在的即期价格的关系主要表现在两个方面 一是期货交易过程中期货价格与现货价格尽管变动幅度不会完全一致 但变动的趋势基本一致 二是现货价格与期货价格不仅变动的趋势相同 而且 到合约期满时 两者将大致相等或趋向一致 期货价格和现在的即期价格之间的关系可以用基差来表示 基差是指某一特定商品在某一特定时间和地点的