解析几何小结.doc

解析几何小结篇一:解析几何归纳总结 解析几何归纳总结 1、直线与圆的方程 对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式 对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等 xy+=1通过点M（cosa,sina）,则 ab 11112222A a+b1 B a+b1 C2+21 D 2+21 abab例1：若直线 2、圆锥曲线的定义、标准方程 圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。 例2：（1）已知F1,F2为双曲线C：x-y=2的左、右焦点，点P在C上，22 PF1=2PF2,cosF1PF2=_ （2）已知F1,F2为双曲线C: x-y=1的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=60，则P到x轴的距离为_ 22 x2y2 -=1的左、（3）已知F1,F2为双曲线C: 右焦点，点A在C上，M（2，0），AM为F1AF2927 的平分线，则AF2=_ （4）已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A,B两点，则cos 2 AFB=_ 3、圆锥曲线的离心率 求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c的相应关系式，并把式中的a,b,c转化为只含有a,c的齐次式或不等式，再转化为含e的关系式，最后求解。小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。 例3（1）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交在C于点 uuuruuurD，且BF=2DF,则C的离心率为_ （2）已知抛物线C：y=2px（p0）的准线为l，过M（1，0 l交2 uuuuruuur于点A，与C的一个交点为B,若AM=MB，则p=_ 4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法 1设直线方程：1设直线时分斜率存在与不存在；2设为y=kx+b与x=my+n的区别）（提醒： 2设交点坐标：（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”） 3联立方程组：（提醒：验证二次项系数和D） 4消元韦达定理：（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5、根据条件转化有以下类型 1以弦AB为直线的圆过点P（提醒：需要讨论K是否存在） uuuruuuruuuruuurK1K2=-1PAPBPAPB=0x1x2+y1y2=0 2点在圆内、圆上、圆外问题直角、锐角、钝角问题向量的数量积大于、等于、小 于0问题设点坐标得x1x2+y1y20 3等角、角平分、角互补问题斜率关系（K+K=0或K=K） 1212 uuuruuur 4共线问题（如：如：A,Q,B三点共线）直线QA与QB斜率相等AQ=lQB数 的角度：坐标表示法：形的角度：距离转化法 5点、线对称问题坐标与斜率关系 6弦长、面积问题转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择） 6、细节问题不忽略：（1）判别式是否已经考虑（2）抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0 常见问题解题策略： 1、椭圆中的定值、定点问题 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。常见：直线恒过定点问题、点在定直线上、表达式定值问题、斜率定值问题 7x2y2 +=1相交于A,B两点，已知点M（-，0）例1：已知动直线y=k(x+1)与椭圆，求证535 3 uuuruuurMAMB为定值 x2y2 =1的焦点在x轴上 例2、设椭圆E：2+2a1-a (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上 例3、如图，点F1（c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（ab0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q （）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程； （）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点 x2 +y2=1，如图所示，斜率为k（k0）且例4、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: 3 不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m） 22（1）求m+k的最小值（2）若OG=ODOE,求证：直线l过定点 2 例5、如图，曲线G的方程为y=2x(y0)，以圆点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于 A与点B，直线AB与x轴相交于点C， （1）求点A的横坐标a与，点C的横坐标c的关系式； （2）设曲线G上点D的横坐标为a+2，求证：直线CD的斜率为定值。 2 2、椭圆中的取值范围问题 曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决 （2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数，通常利用二次函数判别式的符号，三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方式等求最值。 例1：已知抛物线y=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1），B（x2,y2）2 两点，则y12+y22的最小值是_ uuuruuuruuur uuur例2 、已知PA=(xy)，PB=(xy)，且PA+PB=6，求2x-3y-12的最大 值_ 例3、设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，离心率为，过点C（-1，0）的直3解析几何小结 uuuruuur线交椭圆E于A，B两点，且CA=2BC，求当DAOB的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程 例4、已知抛物线E：y2=x与圆M：(x-4)2+y2=r2（r0）相交于A,B,C,D四个点 （1）求r的取值范围（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角戏AC，BD的交点P坐标 3、椭圆中的存在性问题 方法：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解 例1、已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则AB等于 A 3 B 4 C D 例2、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的 uuuruuuruuuruuur中心O，且ACBC=0,BC=2AC （）求椭圆的标准方程； （）如果椭圆上两点P，Q使角PCQ的平分线垂直于OA，是否总存在实数使，使得uuuruuurPQ=lAB？请说明理由 例3、已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率为e= （1）求椭圆E的方程 （2）求F1AF2的角平分线所在直线l的方程 （3）若椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 （角平分线定理，双曲线焦点三角形内切圆特殊性） 1 2篇二:高中数学解析几何总结(非常全) 高中数学解析几何 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角 (1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：0a180 2.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. a k=tan （1）.倾斜角为90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k， 则当x1x2时，k=tana=y1-y2o；当x1=x2时，=90；斜率不存在； x1-x2 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角）求直线的方程用点斜式：注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0； 2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且（x1x2,y1y2则直线的方程：y-y1x-x1=； y2-y1x2-x1 注意：不能表示与x轴和y轴垂直的直线； 当两点式方程写成如下形式(x2-x1)(y-y1)-(y2-y1)(x-x1)=0时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a0,b0）则直线方程：xy+=1； ab 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直 线方程可设为x-y=a 5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数A,B,C是否为0才能确定。 B-A,指出此时直线的方向向量：(B,-A)，(-B,A)，22A2+B2A+B 位向量）；直线的法向量：(A,B)；（与直线垂直的向量） x=x0+at6(选修4-4)参数式（t参数）其中方向向量为(a,b)， y=y+bt0 ab,单位向量22a2+b2a+b|t|； k=b；|PP|=； o22aa+b |P点P1P2|=1,P2对应的参数为t1,t2，则|t1-t2| a2+b2； x=x0+tcosa（t为参数）其中方向向量为(cosa,sina)， t的几何意义为|PPo|；斜y=y0+tsina 率为tana；倾斜角为a(0ap)。 设两直线的方程分别为：111111或1l2:y=k2x+b2l2:A2x+B2y+C2=0；当k1k2或 y=kx+bAx+By+C1=0A1B2A2B1时它们相交，交点坐标为方程组y=k1x+b1或A1x+B1y+C2222=02 解； 注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：(A1,B1)=l(A2,B2) 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如(A1,B1)(A2,B2)=0 若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。 对于A1A2+B1B2=0来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便 斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角 （1）l1到l2的角：把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；它是有向角，其范围是0qp； 注意：l1l2l2l1是指两直线的交点。 （2）直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是0qp)； |Ax0+By0+C| A+B22； 2.两平行线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0的距离为：d= 六、直线系： （1）设直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2|C1-C2|A+B22； :A2x+B2y+C2=0，经过l1,l2的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0（除去l2）； 如：y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。 直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点 。 注意：推广到过曲线f1(x,y)=0与f2(