高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案.doc

高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案 第九章 解析几何学案47 直线及其方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系自主梳理 1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的范围为_(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k_.2直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为P1P2，其坐标为_，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)3直线的方程和方程的直线已知二元一次方程AxByC0 (A2B20)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程_的解，并且以方程AxByC0的任意一个解作为点的坐标都在_，就称直线l是方程AxByC0的直线，称方程AxByC0是直线l的方程4直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x ，y ，此公式为线段P1P2的中点坐标公式自我检测 1(2011 银川调研)若A(2,3)，B(3，2)，C12，m三点共线，则m的值为( )A.12 B12 C2 D22直线l与两条直线xy70，y1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，1)，则直线l的斜率为( )A32 B.32 C.23 D233下列四个命题中，假命题是( )A经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示C与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xayb1表示D经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb4(2011 商丘期末)如果A C 0，且B C 0，那么直线AxByC0不通过( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5已知直线l的方向向量与向量a(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为( )Ax2y10 B2xy30Cx2y10 Dx2y30探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A(1，5)、B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率变式迁移1 直线xsin y10的倾斜角的变化范围是( )A.0，2 B(0，)C.4，4 D.0，434，探究点二 直线的方程例2 (2011 武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程变式迁移2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍 探究点三 直线方程的应用例3 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)AOB面积最小时l的方程；(2)|PA| |PB|最小时l的方程 变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|100 m，|BC|80 m，|AE|30 m，|AF|20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 探究点四 数形结合思想例4 已知实数x，y满足yx22x2(1x1)试求y3x2的最大值与最小值变式迁移4 直线l过点M(1,2)且与以点P(2，3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是( )A25，5 B25，0)(0,5C(，255，) D25，2)(2，51要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0 180，熟记斜率公式ky2y1x2x1，该公式与两点顺序无关已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1x2，y1y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式yy1y2y1xx1x2x1求直线方程，但都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )A(0，) B.0，42，C.0，4 D.4，22，2若直线l：ykx3与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.6，3 B.6，2C.3，2 D.6，23点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x4y的最小值是( )A22 B42C16 D不存在4(2011 宜昌调研)点A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxayab0不经过的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5(2011 包头期末)经过点P(2，1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为( )A2xy2 B2xy4C2xy3 D2xy3或x2y0二、填空题(每小题4分，共12分)6过两点A(m22，m23)，B(3mm2,2m)的直线l的倾斜角为45，则m_.7直线x(a21)y10(aR)的倾斜角的取值范围是_8设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_三、解答题(共38分)9(12分)已知两点A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m331，31，求直线AB的倾斜角的范围 10(12分)(2011 秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求m的范围11(14分)已知直线l：kxy12k0 (kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程学案47 直线及其方程自主梳理1(1)正向 向上 0 0 180 (2)正切值 tan y2y1x2x1 2.(x2x1，y2y1) 3.AxByC0直线l上 4.yy0k(xx0) ykxb yy1y2y1xx1x2x1 xayb1(a0，b0) AxByC0(A、B不同时为0) 5.x1x22 y1y22自我检测1A 2.D 3.D 4.C 5.D课堂活动区例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型解 设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，由题意可知：tan 22 5 3 1 34，2tan 1tan234.整理得3tan28tan 30.解得tan 13或tan 3，tan 234 0，0 2 90，0 45，tan 0，故直线l的斜率为13.变式迁移1 D 直线xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.当0k1时，倾斜角的范围是0，4，当1k 0时，倾斜角的范围是34，.例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况(2)求直线方程常用方法待定系数法待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数解 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M(0,1)的条件故可设所求直线方程为ykx1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组ykx1，x3y100，ykx1，2xy80，由解得xA73k1，由解得xB7k2.点M平分线段AB，xAxB2xM，即73k17k20，解得k14.故所求直线方程为x4y40.变式迁移2 解 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为y23x，即2x3y0.若a0，则设l的方程为xaya1，l过点(3,2)，3a2a1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(2)由已知：设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 22tan 1tan234.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y334(x1)，即3x4y150.例3 解题导引 先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法解 设直线的方程为xayb1 (a 2，b 1)，由已知可得2a1b1.(1)2 2a 1b2a1b1，ab8.SAOB12ab4.当且仅当2a1b12，即a4，b2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为x4y21，即x2y40.(2)由2a1b1，得aba2b0，变形得(a2)(b1)2，|PA| |PB| 2a 2 10 2 20 2 1b 2 2a 21 1b 242 a2 4 b1 .当且仅当a21，b12，即a3，b3时，|PA| |PB|取最小值4.此时直线l的方程为xy30.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程为x30y201(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又m30n201(0m30)，n20(1m30)S(100m)(802023m)23(m5)218 0503(0m30)当m5时，S有最大值，这时|EP|PF|30555.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大例4 解题导引 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果解 由y3x2的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，43k8，故y3x2的最大值为8，最小值为43.变式迁移4 C 如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.kMP5，kMQ25.当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，正切函数在(2，)上仍为增函数，斜率从开始增加，增大到kMQ25，故直线l的斜率范围是(，255，)课后练习区1B 2.B 3.B 4.C 5.D62 7.34，) 8.xy509解 (1)当m1时，直线AB的斜率不存在；(1分)当m1时，k1m1.(3分)(2)当m1时，AB的方程为x1，(5分)当m1时，AB的方程为y21m1(x1)，即yxm12m3m1.(7分)直线AB的方程为x1或yxm12m3m1.(8分)(3)当m1时，2；当m1时，k1m1(，333，6，22，23.(10分)综合，知直线AB的倾斜角6，23.(12分)10.解 直线xmym0恒过A(0，1)点(2分)kAP11012，kAQ120232，(5分)则1m32或1m2，23m12且m0.(9分)又m0时直线xmym0与线段PQ有交点，所求m的范围是23m12.(12分)11(1)证明 直线l的方程是：k(x2)(1y)0，令x201y0，解之得x2y1，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(4分)(2)解 由方程知，当