计算水力学--第三章(4).ppt

第三章有限差分的基本理论 水文09级计算水力学教学课件 回顾 Lax等价定理稳定性证明 误差传播方程级数展开放大因子保证误差不放大的条件 课程内容 基本概念偏导数的差商近似差分方程截断误差和相容性收敛性Lax等价定理稳定性 不同格式的稳定性分析差分方程数值效应 7 稳定性 不同格式的稳定性分析 FTCS格式 误差传递方程 i j j 1 i 1 i 1 放大因子G FTFS格式 误差传递方程 放大因子G 蛙跳格式 误差传递方程 i 1 j 1 j 1 i 1 i j 放大因子 G 所以此格式稳定性条件为 马斯京根法 误差传递方程 放大因子 G 2 格式稳定性条件为 稳定性 FTBS格式 FTCS格式 无法收敛 不稳定格式 FTFS格式 1 0 蛙跳格式 1 1 马斯京根法格式 0时 0 5 FTBS格式 0 1 0时 0 5 8 差分方程数值效应 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 洪水波传播 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 洪水波传播 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 洪水波传播 在一固定位置 时间相差一个周期T 其波高相等 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 弥散是指波的相速度C随波数发生变化的现象 物理耗散是指波幅A因阻尼作用而衰减的现象 1 无耗散和色散的模型 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 解析解 波幅不衰减 相速度不变 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 2 有耗散的模型 分别为二阶 四阶耗散系数 解析解 波幅衰减 相速度不变 8 差分方程数值效应 物理耗散与弥散 3 有弥散的模型 分别为三阶 五阶弥散系数 解析解 波幅不衰减 相速度变化 用差分方程逼近微分方程时引入了误差 有时这些误差项使计算结果的幅值衰减和相速度发生变化 其作用相当于流动中的物理耗散和弥散 这种虚假的物理效应称作数值耗散和数值弥散 8 差分方程数值效应 数值耗散与弥散 考察方程右端项 1阶偏导数偶次方奇次方 有耗散有弥散 8 差分方程数值效应 数值耗散与弥散 8 差分方程数值效应 数值耗散与弥散 例对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动 B 数值效应 伪物理效应 物理耗散物理弥散 数值耗散数值弥散 8 差分方程数值效应 数值耗散与弥散 FTBS格式的等价方程 FTFS格式的等价方程 FTCS格式的等价方程 8 差分方程数值效应 数值耗散与弥散 蛙跳格式的等价方程 马斯京根法的等价方程 8 差分方程数值效应 混淆误差 考虑可辨认的短波 如 4 x 则k x 2 x 2 衰减比为r 2 这时差商带来了很大的误差 对于和空间步长 x接近的短波 差商无法近似导数 8 差分方程数值效应 混淆误差 物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象 称为 逆风 效应 是一伪物理现象的数值效应 8 差分方程数值效应 逆风 效应 逆风 效应 假定在某瞬时j在某一断面k处引入某一物理量u 1 1 8 差分方程数值效应 逆风 效应 FTCS格式 物理量向上 向下游两个方向传播 出现了与波速相反方向传播的不合理现象 称之为 逆风 效应 8 差分方程数值效应 逆风 效应 采用何种格式还与波速的方向有关 例如潮水河道 则可以采用 逆风 格式 逆风 格式 差分 差商 差分