【解析版】2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科).doc

2013年广东省东莞市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2008海南）已知集合M=x|（x+2）（x1）0，N=x|x+10，则MN=（）A（1，1）B（2，1）C（2，1）D（1，2）考点：交集及其运算分析：由题意M=x|（x+2）（x1）0，N=x|x+10，解出M和N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算解答：解：集合M=x|（x+2）（x1）0，M=x|2x1，N=x|x+10，N=x|x1，MN=x|2x1故选C点评：此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分2（5分）（2008海南）已知复数z=1i，则=（）A2B2C2iD2i考点：复数代数形式的混合运算分析：把复数z代入化简，复数的分子化简即可解答：解：将z=1i代入得，故选A点评：复数的加减、乘除及乘方运算是需要掌握的内容，基础题目3（5分）（2012重庆）设xR，向量=（x，1），=（1，2），且，则|+|=（）ABC2D10考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模解答：解：因为xR，向量=（x，1），=（1，2），且，所以x2=0，所以=（2，1），所以=（3，1），所以|+|=，故选B点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力4（5分）（2013东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）ABCD54考点：对数的运算性质；函数的值专题：计算题分析：先确定2+log32的范围，从而确定f（2+log32）的值解答：解：2+log312+log322+log33，即22+log323f（2+log32）=f（2+log32+1）=f（3+log32）又33+log324f（3+log32）=f（2+log32）=故选B点评：本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则属简单题5（5分）（2009湖北）“sin=”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：二倍角的余弦分析：利用二倍角的余弦函数公式化简cos2=，得到sin的值等于两个值，得到“sin=”是“”的充分不必要条件即可解答：解：由可得，故是成立的充分不必要条件，故选A点评：此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题6（5分）（2009宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y1）2=1，圆C2与圆C1关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）2=1B（x2）2+（y+2）2=1C（x+2）2+（y+2）2=1D（x2）2+（y2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程专题：计算题分析：求出圆C1：（x+1）2+（y1）2=1的圆心坐标，关于直线xy1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程解答：解：圆C1：（x+1）2+（y1）2=1的圆心坐标（1，1），关于直线xy1=0对称的圆心坐标为（2，2）所求的圆C2的方程为：（x2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键7（5分）（2013东莞一模）已知双曲线，抛物线y2=2px（p0），若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为3，则p=（）AB5CD10考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的方程，解出它的渐近线方程为3x4y=0抛物线的焦点坐标为F（，0）且F到3x4y=0的距离为3，由点到直线的距离公式建立关于p的方程，解之即可得到p的值解答：解：双曲线方程为，令，得双曲线的渐近线为y=x，即3x4y=0抛物线y2=2px（p0）的焦点坐标为F（，0）F到渐近线的距离为d=3，解之得p=10（舍负）故选：D点评：本题给出抛物线的焦点到已知双曲线的渐近线距离等于3，求抛物线的焦参数p的值着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题8（5分）（2013东莞一模）图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T是（）A1B2C3D4考点：程序框图专题：图表型分析：直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可解答：解：第一次循环有a=1，T=1，K=2，第二次循环有a=0，T=1，k=3，第三次循环有a=0，T=1，k=4，第四次循环有a=1，T=2，k=5，第五次循环有a=1，T=3，k=6，此时不满足条件，输出T=3，故选C点评：本题考查循环结构的作用，循环中两次判断框，题目比较新，考查学生分析问题解决问题的能力9（5分）（2013东莞一模）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是（）A；乙比甲成绩稳定B；甲比乙成绩稳定C；甲比乙成绩稳定D；乙比甲成绩稳定考点：茎叶图专题：概率与统计分析：根据所给的茎叶图，看出甲和乙的成绩，算出两个人的平均分，结果平均分甲小于乙，再算出两个人的成绩的方差，乙的方差小于甲的方差，得到结果解答：解：由茎叶图知，可知道甲的成绩为72，86，92，平均成绩为83.3；乙的成绩为78，82，88，92，95，平均成绩为87；再比较方差：甲的方差约为70，乙的方差约为39，3970，乙比甲成绩稳定故选D点评：本题考查茎叶图，考查平均数和方差，是一个统计问题，解题过程中只是单纯的数字的运算，是一个必得分题目10（5分）（2013东莞一模）在区间0，1上任意取两个实数a，b，则函数在区间1，1上有且仅有一个零点的概率为（）ABCD考点：几何概型专题：计算题分析：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+axb在区间1，1上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型，a0，1，f（x）=1.5x2+a0，f（x）是增函数若在1，1有且仅有一个零点，则f（1）f（1）0（0.5ab）（0.5+ab）0，即（0.5+a+b）（0.5+ab）0 a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为11=1，满足条件的面积为 概率为 =，故选C点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）（2013东莞一模）在等差数列an中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可知，a1+a5+a9=3a5，可求a5，然后代人tan（a4+a6）=tan2a5可求解答：解：由等差数列的性质可知，a1+a5+a9=3a5=，a5=则tan（a4+a6）=tan2a5=故答案为：点评：本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题12（5分）（2013东莞一模）某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可求得隔离墩的体积为cm3考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图知该几何体为圆柱上面叠一半球，半球的直径为20cm，圆柱的底面是一个直径是20的圆，圆柱的高是30，关键所给的数据，做出两个几何体的体积，再求和可得答案解答：解：由三视图知该几何体为圆柱上面叠一半球，半球的直径为20cm，圆柱的底面是一个直径是20的圆，圆柱的高是30，其体积故答案为：点评：本题考查由三视图求空间组合体的体积，解题的关键是从三视图中确定两个图形的形状，确定各个部分的数据，最后求体积就比较简单了13（5分）（2013东莞一模）在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对应的曲线在点（e，f（e）处的切线方程为xey=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：根据两函数的图象关于y=x对称可知，两函数互为反函数，所以求出已知函数的反函数即可得到f（x）的解析式；再求出f（x）的导函数，把x等于e代入导函数求出值即为切线方程的斜率，然后把x等于e代入f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可解答：解：根据题意，函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，由y=ex，解得x=lny，所以f（x）=lnx；f（x）=，所以切线的斜率k=f（e）=，把x=e代入f（x）中得：f（e）=lne=1，所以切点坐标为（e，1）则所求的切线方程为：y1=（xe），化简得：xey=0故答案为：xey=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两函数互为反函数的条件，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道综合题14（5分）（2013东莞一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线=（=R）与圆=4cos+4sin交于A、B两点，则AB=8考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质专题：计算题分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离等于0，说明弦长就是直径解答：解：直线=（=R）即 圆=4cos+4sin，即 2=4cos+4 sin，即 ，表示以（2，2）为圆心，以4为半径的圆圆心到直线的距离为 d=0，故弦长AB是直径8，故答案为：8点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出心到直线的距离是解题的关键15（2013东莞一模）（几何证明选讲选做题） 如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于3考点：平行投影；与圆有关的比例线段专题：计算题分析：连接OC，由圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，知CDBD，设圆半径为r，在RtODC中，则16+（8r）2=r2，解得r=5由此能求出线段DO的长解答：解：连接OC，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，CDBD，设圆半径为r，在RtODC中，CD=4，OD=8r，OC=r，16+（8r）2=r2，解得r=5线段DO=85=3故答案为：3点评：本题考查平行投影的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，注意与圆有关的比例线段的灵活运用三、解答题（共80分）16（12分）（2013东莞一模）向量，已知，且有函数y=f（x）（1）求函数y=f（x）的周期；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若有，边，求AC的长及ABC的面积考点：余弦定理；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数；正弦定理专题：解三角形分析：由两向量的坐标及平行向量满足的条件列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式整理后得出f（x）的解析式；（1）找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；（2）由f（A）=得sinA的值，根据三角形ABC为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，再由BC及sinB的值，利用正弦定理求出AC的长，再由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的长，由AB，AC及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积解答：解：=（，sinx+cosx），=（1，y），=y（sinx+cosx）=0，即y=f（x）=2sin（x+），（1）=1，函数f（x）的周期为T=2；（2）由f（A）=得2sin（A+）=，即sinA=，ABC是锐角三角形，A=，由正弦定理：=及条件BC=，sinB=，得AC=2，又BC2=AB2+AC22ABACcosA，即7=AB2+42AB2，解得：AB=3，SABC=ABACsinA=点评：此题考查了正弦、余弦定理，平行向量与共线向量，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键17（12分）（2013东莞一模）从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）第二组160，165）；第八组190，195，图是按上述分组方法得到的条形图（1）根据已知条件填写下面表格：组 别12345678样本数（2）估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？考点：频率分布直方图专题：计算题分析：（1）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系，可得频数（2）从图得到身高在180cm以上的人数，由此估计高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数即可（3）第三问是属于古典概型的问题，可通过基本事件列表法算出，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=解答：解：（1）由条形图得第七组频率为1（0.042+0.082+0.22+0.3）=0.06，0.0650=3第七组的人数为3人（2）由条形图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82，后三组频率为10.82=0.18估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数8000.18=144（人）（3）第二组四人记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个，因此实验小组中，恰为一男一女的概率是点评：本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图18（14分）（2013东莞一模）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE面CBB1（1）证明：DE面ABC；（2）证明：面A1B1C面A1AC；（3）求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离分析：（1）连结EO、OA，由圆柱的性质得四边形AA1B1B是平行四边形，所以DABB1且DA=BB1B1BC中利用中位线定理，得到EOBB1且EO=BB1，从而证出四边形AOED是平行四边形，得DEOA，结合线面平行的判定定理即可证出DE面ABC；（2）根据圆的性质得到ABAC，结合AA1AB得到AB面A1AC，由ABA1B1得出A1B1面A1AC，再根据面面垂直的判定定理，可得面A1B1C面A1AC；（3）由DE面CBB1结合DEOA，得OA面CBB1，从而AOBC，结合结合垂直平分线的性质得到AC=AB由线面垂直判定定理证出AC平面AA1B1B，得AC为四棱锥CABB1A1的高因此设圆柱高为h，底半径为r，可得四棱锥CABB1A1体积与圆柱OO1的体积关于h、r的表达式，即可算出四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比解答：解：（1）连结EO、OA，E、O分别为B1C、BC的中点，EOBB1，EO=BB1又AA1、BB1为圆柱OO1的母线，AA1BB1、AA1=BB1，可得四边形AA1B1B是平行四边形，平行四边形AA1B1B中，DABB1，DA=BB1，DAEO，且DA=EO四边形AOED是平行四边形，可得DEOADE面ABC，OA面ABC，DE面ABC；（4分）（2）AA1、BB1为圆柱OO1的母线，四边形AA1B1B是平行四边形，可得ABA1B1AA1圆O所在的平面，AB圆O所在的平面，AA1AB，又BC是底面圆O的直径，ABAC，ACAA1=A，AC、AA1面A1AC，AB面A1AC，ABA1B1，A1B1面A1AC，A1B1面A1B1C，面A1B1C面A1AC；（9分）（3）由题意，DE面CBB1，由（1）知DEOA，OA面CBB1，结合BC面CBB1，可得AOBC，得AC=ABABAC且AA1AC，AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，AC平面AA1B1B，即AC为四棱锥CABB1A1的高设圆柱高为h，底半径为r，则V圆柱=r2h，V四棱锥=（）（）h=，四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比为=（14分）点评：本题在圆柱体中求证线面平行、面面垂直，并求四棱锥与圆柱的体积之比着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直与面面的判定与性质、锥体与柱体体积公式等知识，属于中档题19（14分）（2013东莞一模）已知数列an的前n项和为Sn，数列Sn+1是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的性质专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由数列an的前n项和为Sn，数列Sn+1是公比为2的等比数列，知Sn+1=2n1，（S1+1）=2n1（a1+1），Sn1+1=2n2（a1+1），故an=2n2（a1+1），n2，由此能求出an=2n1（2）由an=2n1，知nan=n2n1，故Tn=120+221+322+n2n1，由此利用错位相减法能求出数列nan的前n项和Tn解答：解：（1）数列an的前n项和为Sn，数列Sn+1是公比为2的等比数列，Sn+1=2n1（S1+1）=2n1（a1+1）Sn1+1=2n2（a1+1）得an=2n2（a1+1），n2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a12（a1+1），解得a1=1，（a1=1则a2=0不合题意舍去）故an=2n1（2）由an=2n1，知nan=n2n1，Tn=120+221+322+n2n1，2Tn=121+222+323+n2n，得Tn=n2n（20+21+22+23+2n1）=n2n=n2n2n+1点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用20（14分）（2013东莞一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，其中aR（）讨论f（x）的单调性；（）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（）设函数h（x）=x2mx+4，当a=2时，若x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，求实数m的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；压轴题分析：（）f（x）的定义域为（0，+），且，当a0时，f（x）0，f（x）在（x，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得xa；由f（x）0，得xa由此能够判断f（x）的单调性（）由g（x）=ax，定义域为（0，+），知=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x（0，+），g（x）0，由此能够求出正实数a的取值范围（）当a=2时，g（x）=2x，由g（x）=0，得x=或x=2当时，g（x）0当x时，g（x）0所以在（0，1）上，由此能求出实数m的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），且，当a0时，f（x）0，f（x）在（x，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得xa；由f（x）0，得xa；故f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增（）g（x）=ax，g（x）的定义域为（0，+），=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x（0，+），g（x）0，ax25x+a0，a（x2+1）5x，即，当且仅当x=1时取等号，所以a（）当a=2时，g（x）=2x，由g（x）=0，得x=或x=2当时，g（x）0；当x时，g（x）0所以在（0，1）上，而“x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在1，2上的最大值”而h（x）在1，2上的最大值为maxh（1），h（2），所以有，解得m85ln2，所以实数m的取值范围是85ln2，+）点评：本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性