一轮复习：函数的奇偶性与周期性.ppt

泰安二中数学2020年3月24日星期二 1 函数的奇偶性 课前自主导学 奇偶函数的定义域有什么特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就叫做它的最小正周期 1 已知函数f x 对 x R 都有f x 2 f x 当x 0 1 时 f x 4x 1 则f 5 5 的值为 2 若f x 是R上周期为5的奇函数 且f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 1个重要规律奇 偶函数的定义域关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2种必会方法1 定义法 先求出定义域 关于原点对称 判断f x 与f x 的关系得结论 不关于原点对称 则不具有奇偶性 2 图象法 首先作出f x 的图象 关于原点对称 f x 为奇函数 关于y轴对称 f x 为偶函数 既不关于原点 也不关于y轴对称 不具有奇偶性 3个必记结论1 若f x a f x 则f x 2a f x a a f x a f x 所以f x 的周期T 2a 核心要点研究 审题视点 先求出函数的定义域 若定义域关于原点对称 再根据定义研究f x 与f x 的关系 必要时需对解析式进行化简 分段函数则要分段判断 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 分段函数奇偶性判定时 要以整体的观点进行判断 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇 偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性 3 在分析f x 与f x 的关系时 经常需要对f x 的解析式进行等价变形 变式探究 2012 上海高考 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 解 设h x f x x2为奇函数 则h x f x x2 h x h x f x x2 f x x2 f 1 1 f 1 1 f 1 3 g 1 f 1 2 1 审题视点 分析四个函数在 1 2 上不具有单调性 或为奇函数 非奇非偶函数的情况 利用排除法求解 解析 由函数是偶函数可以排除C和D 又函数在区间 1 2 内为增函数 而此时y log2 x log2x为增函数 所以选择B 答案 B 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性 偶函数在对称区间上具有相反的单调性 因此 若函数具有奇偶性 研究单调性或最值或作图象等问题 只需在非负值范围内研究即可 在负值范围内由对称性可得 变式探究 已知函数f x 1 是定义在R上的奇函数 若对于任意给定的不相等的实数x1 x2 不等式 x1 x2 f x1 f x2 0恒成立 则不等式f 1 x 0的解集为 A 0 3 B 3 C 0 D 0 答案 C 解析 f x 1 是定义在R上的奇函数 关于 0 0 对称 向右平移1个单位得到f x 的图象 关于 1 0 对称 即f 1 0 又 任取x1 x2 R x1 x2 都有 x1 x2 f x1 f x2 1 x 0 不等式f 1 x 0的解集为 0 例3 2012 山东高考 定义在R上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 A 335B 338C 1678D 2012 审题视点 用赋值法求出多个函数值 发现其规律 再利用周期性进行化简求值 解析 由f x 6 f x 得f x 的周期为6 所以f 1 f 2 f 2012 335 f 1 f 2 f 6 f 1 f 2 而f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 6 1 所以f 1 f 2 f 2012 338 故选B 答案 B 在 0 2013 上共有336个x使f x 1 当f x 1时 每个周期有2个解 2013 335 6 3 x解的个数为335 2 1 671个 f x 1在最后半个周期有一个解 变式探究 2013 九江模考 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 在区间 0 6 上的图象与x轴的交点个数为 A 6B 7C 8D 9答案 B 解析 函数y f x 的图象与x轴的交点即为y f x 的零点 先在区间 0 2 上讨论 令f x 0 即x x 1 x 1 0 解得x 0或x 1 x 1舍去 又函数f x 在R上以2为周期 则当x 2 x 4 x 6或x 3 x 5时也有f x 0 即在区间 0 6 上f x 的图象与x轴的交点个数为7 函数图象如下 例4 2013 大同模拟 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 审题视点 根据已知条件分析函数f x 在 8 8 的单调性 对称性 画出图象进行求解 解析 f x 为奇函数并且f x 4 f x f x 4 f 4 x f x 即f 4 x f x 且f x 8 f x 4 f x y f x 的图象关于x 2对称 并且是周期为8的周期函数 f x 在 0 2 上是增函数 f x 在 2 2 上是增函数 在 2 6 上为减函数 据此可画出y f x 的示意图象 其图象也关于x 6对称 x1 x2 12 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 8 答案 8 有关抽象函数涉及单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质时 可考虑结合函数的图象特征 运用数形结合的思想方法求解 答案 B 课课精彩无限 答案 2 备考 角度说 No 1角度关键词 审题视角本题通过构造奇函数解题 思路自然方法简洁 通过对f x 的变形发现奇函数 利用奇函数在对称区间上的函数值相反来确定M m的值 No 2角度关键词 技巧点拨整体思考 联想奇函数 利用其对称性简化求解 这是整体观念与构造思维的一种应用 注意到分式类函数的结构特征 借助分式类函数最值的处理方法 部分分式法 变形发现辅助函数为奇函数 整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化 这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解 答案 D 经典演练提能 答案 C解析 显然 A D是对的 若x是无理数 则 x也是无理数 若x是有理数 则 x也是有理数 所以D x D x