《高阶导数与隐函数》PPT课件.ppt

3 3高阶导数 高阶偏导数 一 高阶导数二 高阶偏导数 一 高阶导数的定义 问题 变速直线运动的加速度 定义 瞬时速度为路程对时间的变化率 记作 三阶导数的导数称为四阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶导数的导数称为三阶导数 二 高阶导数求导法则 例 解 直接法 由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例 设 求 例 设 例 设 求 求 例 解 求n阶导数时 求出1 3或4阶后 不要急于合并 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法 注意 三 几个初等函数的n阶导数公式 例 解 同理可得 例 解 二 高阶偏导数的概念与计算 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 数 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 则 定理 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 证明略 例如 对三元函数u f x y z 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 例 求函数 解 的二阶偏导数及 说明 函数在其定义区域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 而初等 注意 但这一情形并不总成立 例 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 思考 设 二阶偏导数连续 证明下列表达式在极坐标系下的形式 3 4参数方程与隐函数方程微分法 一 参数方程确定的函数求导二 隐函数确定的函数求导 一 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 若上述参数方程中 二阶可导 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 利用新的参数方程 可得 例1 解 求 例 设 且 求 解 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 二 隐函数方程确定的函数求导 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 含导数的方程 例 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 例 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 例 对x求导 两边取对数 解 求导函数 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 例 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 求 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 例 设 解法1利用隐函数求导 再对x求导 解法2