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数学 1 目录 2 第一章方程与不等式 3 第一章方程与不等式 数式的运算数的基本知识有理数 整数和分数统称有理数无理数 无限不循环小数实数 有理数和无理数统称实数数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线 4 第一章方程与不等式 倒数 乘积是1的两个数互为倒数相反数 只有符号不同的两个数互为相反数绝对值 1 一个正数的绝对值是它本身 2 一个负数的绝对值是它的相反数 3 零的绝对值是零 5 第一章方程与不等式 科学计数法 将一个数字表示成a 10n 1 a 10 n是正整数 的形式 6 第一章方程与不等式 近似计算四舍五入法 将保留的末位数字后面的数字舍去 舍去部分左起第一位数字如果小于五 则舍去 如果大于等于五 则进一 7 第一章方程与不等式 数的乘方和开方正整数指数幂a a a a a an零指数幂a0 1 a 0 负整数指数幂a n a 0 n是正整数 8 第一章方程与不等式 整数指数幂的运算法则 a b 0 m n是整数 an am an m am n am n a b n an bn am n 9 第一章方程与不等式 平方根 若x2 a a 0 则称x为的a平方根 也叫二次方根立方根 若x3 a 则称x为a的立方根 也叫三次方根 10 第一章方程与不等式 整式的运算常用乘法公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 11 第一章方程与不等式 分式的运算分式 A B表示两个整式 A B就可以表示成的形式 如果B中含有字母 式子就叫做分式 其中A是分子 B是分母 12 第一章方程与不等式 分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以或除以一个不等于零的整式 分式的值不变 13 第一章方程与不等式 分式的运算分式的加减运算是使用通分进行的 分式的乘除运算是使用约分进行的 14 第一章方程与不等式 方程与方程组方程 含有未指数的等式方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 15 第一章方程与不等式 等式的基本性质 1 等式两边加 或减 同一个数 或式子 等式结果不变如果a b 那么a c b c 2 等式两边同时乘以 或除以 一个不为零的数 等式结果不变如果a b 那么ac bc d 0 16 第一章方程与不等式 一元一次方程只含有一个未知数 元 并且未知数的次数为1的整式方程 它的一般形式为 ax b 0 a 0 一元一次方程的解法去括号 移项 合并同类项 将系数化为1 17 第一章方程与不等式 二元一次方程含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 18 第一章方程与不等式 二元一次方程组具有相同未知数的两个二元一次方程组成的方程组二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共的解二元一次方程组的解法代入消元法和加减消元法 19 第一章方程与不等式 一元二次方程只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程 它的一般形式为 ax2 bx c 0 a 0 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 20 第一章方程与不等式 求根公式x 判别式 b2 4ac 0时 方程有两个不相等的实数根 0时 方程有两个相等的实数根 0时 方程没有实数根 21 第一章方程与不等式 一元二次方程的解法 1 配方法 2 因式分解法 3 公式法根和系数的关系如果ax2 bx c 0 a 0 的两根是x1 x2 那么 x1 x2 且x1 x2 22 第一章方程与不等式 二元二次方程含有两个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程二元二次方程组由具有相同未知数的两个二元方程组成的方程组 其中至少有一个二元二次方程解法代入消元法 23 第一章方程与不等式 一元二次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程 他的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 24 第一章方程与不等式 求根公式x b2 4ac 0时 方程有两个不相等的实数根 0时 方程有两个相等的实数根 0时 方程没有实数根 25 第一章方程与不等式 一元二次方程的解法 1 配方法 2 因式分解法 3 公式法 26 第一章方程与不等式 一元一次不等式不等式的性质性质1不等式的两边同时加上或减去同一个实数 不等号的方向不变性质2不等式的两边同时乘以或除以同一个正数 不等号的方向不变性质3不等式的两边同时乘以或除以同一个负数 不等号的方向改变 27 第一章方程与不等式 一元一次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的次数是一的不等式不等式的解集 使不等式成立的未知数的取值范围一元一次不等式的解法去分母 去括号 移项 合并同类项 将系数化1 28 第一章方程与不等式 一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组不等式组的解集不等式组中各不等式的解集的公共部分 29 第一章方程与不等式 一元一次不等式组的解法 1 求出不等式组中各不等式的解集 2 分别作出各不等式的解集的数轴表示 并找出公共部分 若公共部分不存在 则不等式组无解 30 第二章集合 31 第二章集合 集合及其表示集合 某些指定的对象组成的全体元素 集合中的每个对象都称为这个集合的元素 32 第二章集合 集合的特性确定性互异性无序性 33 第二章集合 我们通常用大写字母A B C 表示集合 用小写字母a b c 表示集合中的元素 如果a是集合A中的元素 就说a属于集合A记作 a A如果a不是集合A中的元素 就说a不属于集合A记作 a A 34 第二章集合 有限集 含有有限个元素的集合无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 记作 35 第二章集合 常用集合 36 第二章集合 集合的表示方法描述法通过描述集合中元素的公共属性 所有小于5的正整数 x x N x 5 列举法在大括号内一一列举集合中的所有元素 1 2 3 4 37 第二章集合 集合间的基本关系一般地 对于集合A和集合B 如果集合A中的任何一个元素都属于集合B 我们就说这两个集合有包含关系 称集合A为集合B的子集 记作A B 或B A 读作 A包含于B 或 B包含A 空集是任何集合的子集 38 第二章集合 一般地 对于集合A和集合B 如果集合A B 但存在元素x B 且x A 我们称集合A是集合B的真子集 记作A B 或B A 读作 A真包含于B 或 B真包含A 空集是任何集合的真子集 39 第二章集合 对于集合A和集合B 如果集合A B 且B A 我们称集合A与集合B相等 记作A B读作 集合A等于集合B 40 第二章集合 集合的基本关系集合的交集一般地 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 称为A与B的交集记作A B 读作 A交B 即A B x x A且x B 41 第二章集合 集合的并集一般地 由属于A集合或属于B集合的所有元素组成的集合 称为A与B的并集记作A B 读作 A并B 即A B x x A或x B 42 第二章集合 全集与补集如果作为研究对象的集合都是某个给定集合的子集 那么这个给定的集合就称为全集 常用符号U来表示 43 第二章集合 一般地 设U为全集 若集合A为U的一个子集 A U 则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集 简称集合A的补集 记作 UA 读作 A补 即 UA x x U 且x A 44 第二章集合 区间设a b是两个实数 且a b 我们规定 1 数集 x a x b 称为闭区间 用符号 a b 表示2 数集 x a x b 称为开区间 用符号 a b 表示3 数集 x a x b 称为左闭右开区间 用符号 a b 表示4 数集 x a x b 称为左开右闭区间 用符号 a b 表示实数集R用区间 表示 45 第三章函数 46 第三章函数 知识回顾变量 在一个变化过程中 数值发生变化的量称为变量常亮 在一个变化过程中 数值保持不变的量称为常亮正比例函数形如y kx k是不等于零的常数 的函数称为正比例函数 其中常数k称为比例系数 反比例函数形如y k是不等于零的常数 的函数称为反比例函数 其中常数k称为比例系数 47 第三章函数 一次函数形如y kx b k b是常数 k 0 的函数称为一次函数 正比例函数是一种特殊的一次函数 二次函数形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数称为二次函数 其中a b c分别是二次项系数 一次项系数和常数项 48 第三章函数 函数的概念及其表示函数 在某一个变化过程中有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一确定的值与其对应那么y是x的函数记作y f x x D 49 第三章函数 其中 x称为 自变量x的取值范围 D 称为函数的 定义域与x相对应的y的值称为 函数值函数值y的集合称为 值域f称为 对应法则 50 第三章函数 函数的表示方法解析法用解析式来表示函数的方法列表法用表格来表示两个变量之间的函数关系图像法在平面上用图像来表示两个变量之间的函数关系 51 第三章函数 建立数学模型用数学方法解决问题时 常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来 简称建模 其中函数模型是最常用的一种建模方式 52 第三章函数 函数关系的建立分段函数在自变量的不同取值范围内 函数的对应法则不同 我们把这样的函数称为分段函数 53 第三章函数 函数的基本性质函数的奇偶性一般地 设函数y f x 的定义域为D 如果对于任意的x D 都有f x f x 我们把函数y f x 称为偶函数 54 第三章函数 一般地 设函数y f x 的定义域为D 如果对于任意的x D 都有f x f x 我们就把函数y f x 称为奇函数 55 第三章函数 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所必须具备的条件非奇非偶函数如果一个函数既不是奇函数 又不是偶函数 我们称它是非奇非偶函数 56 第三章函数 函数的单调性一般地 设函数y f x 的定义域上某个区间为I 如果对于任意的x1 x2 I 当x1 x2时 都有f x1 f x2 我们就说函数y f x 在区间I上是单调增函数 简称增函数 其图像沿x轴正方向上升 57 第三章函数 如果对于任意的x1 x2 I 当x1 x2时 都有f x1 f x2 我们就说函数y f x 在区间I上是单调减函数 简称减函数 其图像沿x轴正方向上升 58 第三章函数 如果函数y f x 在区间I上是增函数或减函数 我们就说函数y f x 在这一区间具有单调性 区间I称为函数y f x 的单调区间 59 第三章函数 函数的最大值与最小值一般地 设函数y f x 的定义域为D 如果对于任意的x D 都有f x f x0 我们就把f x0 称为函数y f x 的最大值 记作ymax f x0 我最大 我最小 60 第三章函数 一般地 设函数y f x 的定义域为D 如果对于任意的x D 都有f x f x0 我们就把f x0 称为函数y f x 的最小值 记作ymin f x0 61 第三章函数 幂函数实数指数幂一般地 规定a 为既约分数 m n N 其中 当n为偶数时 a 0 当n为奇数时 a R 62 第三章函数 有理数幂运算法则法则1ap aq ap q法则2 aq p aq p法则3 a b p ap bp 63 第三章函数 一般地 我们把形如y xa a R 的函数称为幂函数 其中a为常数 64 第三章函数 指数函数一般地 我们把形如y ax a 0 且a 1 的函数称为指数函数 65 第三章函数 对数函数一般的 如果ab N a 0 且a 1 那么数称为以为底的对数 logarithm 记作b logaN其中 a称为对数的底数 简称底 N称为真数 66 第四章三角函数 67 第四章三角函数 角 在平面内 一条射线绕着端点O从一个位置OA 旋转到另一个位置OB所形成的图形顶点 端点O称为顶点始边 射线在旋转的初始位置OA称为角的始边终边 射线在旋转的终止位置OB称为角的终边 68 第四章三角函