高中物理竞赛-万有引力与天体运动ppt课件.ppt

万有引力定律与天体运动 1 对m2 由牛顿第二定律有 将 1 代入 2 则有 3 式表明 若取m1为参照系 一般不是惯性系 在此系中牛顿第二定律不成立 则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力的作用下按牛顿第二定律所形成的运动 而无须考虑惯性力的作用 取二者的质心C为参照系 惯性系 设C到m1的矢径为 有 2 卫星怪象 问题 卫星 质量为m 与地球 质量为M 系统的总能量为 即 于是可知 对两端的变化量有 即 3 一 对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 1 天体通常相距很远 故可将天体处理为质点 2 很多时候 某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的 b 施力天体由于某些原因 如质量相对很大 在某惯性系中可认为几乎不动 这时问题很简单 我们通常讨论的就是这种情况 二 引力问题的基本动力学方程 如图 行星m在太阳M的有心引力作用下运动 行星的横向加速度等于零 解题知识与方法研究 4 此式变化后即得开普勒第二定律 5 三 天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律 角动量守恒 机械能守恒等 可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程 轨道方程为一圆锥曲线方程 1 即开普勒第一定律 2 6 3 7 例1 天体轨道的判定 如图 太阳系中星体A做半径为R1的圆运动 星体B作抛物线运动 B在近日点处与太阳的相距为R2 2R1 且两轨道在同一平面上 两星体运动方向也相同 设B运动到近日点时 A恰好运动到B与太阳连线上 A B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体 其间的质量损失可忽略 试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆 解 计算新星体C的机械能 所以C到太阳的距离为 研究 式中的vA vB 因A作圆运动 例题解答 8 所以 利用 C星体的机械能为 因此 新星体C的轨道为椭圆 B作抛物线运动 机械能为零 因而有 思考本题能不能直接判断 9 例2 利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径 行星绕太阳作椭圆运动 已知轨道半长轴为A 半短轴为B 太阳质量记为MS 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径 解 行星运动情况如图 由图可知 代入 式得 由 解得 10 求顶点1处的曲率半径 1 将前面得到的v1代入 求顶点3处的曲率半径 3 将前面得到的v3代入 即得 即得 11 例3 卫星怪象问题 质量为m的人造卫星在绕地球 质量为Me 的飞行过程中 由于受到微弱的摩擦阻力f 常量 不能严格按圆周轨道运动 而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球 因f很小 轨道半径变化十分缓慢 每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道 但r将逐周缩短 试求在r轨道上旋转一周 r的改变量及卫星动能EK的改变量 解 卫星的动能 势能 总机械能为 在运行中万有引力作为向心力 将此代入EK E的表达式 可得到 卫星旋转一周摩擦力做功为 12 所以卫星每旋转一周 r的改变量为 动能的改变量为 由功能关系 当卫星旋转一周时 有 即 13 例4 星体运动的阻力 一个质量为M 半径为R的星球以速度V通过质量密度为的非常稀薄的气体 由于它的引力场 此星球将吸引迎面接近它的粒子 并俘获撞在它表面上的所有的气体分子 设相对于速度V 分子的热运动速度可忽略 分子间的相互作用不计 求作用在星体上的阻力 解 为方便研究问题取星球为参照系 气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示 在横截面为的圆柱体内的分子才能与星球相碰 研究圆截面边缘上的一个分子 设被俘获前的瞬间 A点处 的速度为v 由角动量守恒得 由机械能守恒得 14 设气体受到的阻力为f 等于星球所受阻力 得到 15 例5 飞船着陆问题 一质量为m 12 103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动 其高度h 100km 为使飞船落到月球表面 喷气发动机在图中P点作一短时间发动 从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u 10km s 月球半径为R 170km 月球表面的落体加速度g 1 7m s2 飞船可用两种不同方式到达月球 如图所示 1 向前喷射气流 使飞船到达月球背面的A点 与P点相对 并相切 2 向外喷射气流 使飞船得到一指向月球中心的动量 飞船轨道与月球表面B点相切 试计算上述两种情况下所需要的燃料量 解 设飞船喷气前的速度v0 月球质量为M 月球表面的重力加速度为 代入上式 便得 则有 16 1 联立此两式消去vA解得 对喷气前后的短暂过程 由动量守恒有 解得 2 从而飞船的速度变为 则由角动量守恒和能量守恒得 设喷出的气体质量为 m1 17 联立此两式消去vB解得 对喷气前后的短暂过程 在沿原半径方向上由动量守恒有 解得 设喷出的气体质量为 m2 18 例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着 其轨道半径是地球半径的n 1 25倍 某瞬间 飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动 其最远点到地心的距离为8nR 问飞船与宇航站的质量比m M为何值时 飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇 解 发射前后飞船 宇航站的运动情况如图 记地球质量为ME 发射前共同速度为u 由 得 记分离后的瞬间飞船速度为v 宇航站速度为V 由动量守恒有 19 研究分离后的飞船 由开普勒第二定律及能量守恒定律有 研究分离后的宇航站 由开普勒第二定律及能量守恒定律有 设远地心点的速度为v 设近地心点的速度为V 距地心r 20 设飞船的周期为t 宇航站的周期为T 由开普勒第三定律有 即 确定t T 因飞船运行一周恰好与宇航站相遇 所以 将 代入 得 21 即 所以 由上述 式求m M 得 可见k只能取两个值 k 10 11 相应有 22 例7一双星系统 两颗星的质量分别为M和m 设M m 距离为d 在引力作用下绕不动的质心作圆周运动 设这两颗星近似为质点 在超新星爆炸中 质量为M的星体损失质量 M 假设爆炸是瞬时的 球对称的 并且对残余体不施加任何作用力 或作用力抵消 对另一颗星也无直接作用 试求 在什么条件下 余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离 解 需计算爆炸后的总机械能 如图 爆炸前两星绕质心旋转 旋转的角速度满足 爆炸后的瞬间 因球对称爆炸所以 M M 位置 速度均不变 旋转半径满足 23 新系统的势能为 新系统在新质心参照系中的动能为 由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为 注意