微分方程辅导.doc

考研数学课堂 12/ 12微分方程辅导 3.1 一阶微分方程A知识概述 1）基本概念一阶微分方程 含有未知函数的一阶导数的方程 或 解 满足微分方程的可微函数。通解 满足方程的，含有一个任意常数的可微函数。定解条件 未知函数满足的关系 .定解 使用定解条件从通解中确定任意常数得出的2）一阶方程（可分离，线性，齐次，贝努利*，全微分方程*）分类求解 可分离方程 -基本题型求通解 分离变量后不定积分： 注意一边积分写上任意常数。求定解 初始条件，作变限积分： 线性方程 -重点题型求通解 先化作以上标准形式，再套用以下公式 非齐次通解公式（其中 ） （常用） （变通使用）齐次通解公式 求定解 在通解中代入初始条件求C。注意 当方程同时还属于其它类型时，一般优先选择依线性方程求解。 齐次方程 求解要点 代换 后分离变量为： Bernoulli方程 （）求解要点 代换 后化作线性方程（注意对比系数）： B常见题型与考点【题型1】【基本问题考察典型解法，细节处理】【题型2】【综合问题增加对解函数的继续讨论】【题型3】【变形问题变量对换，变量代换运用】C. 范例分析与解答【题型1】【基本方程求解典型解法，细节处理】细节-合理识别类型，利用初始条件排除分支；绝对值符号的处理； （1） 设 , 求.解1（看作分离变量方程，常规解法:先通解-再特解）分离变量: 两边积分: ， 求得通解： ()确定常数： 由定出. 所求定解为 .解2（看作分离变量方程，快速解法:直接求定解）分离变量: ）两边作变限积分: 所求定解为: 解3（推荐解法，看作线性齐次方程，用通解公式）线性齐次: 因为 故可以取 求得通解： 再由 定出 .（2） 解1 （看作齐次方程） 变量代换：令，方程化为： ，分离变量： ，两边积分有 ， 得 ， 即 代入初始条件：，得 ，所求定解为 解2（看作Bernoulli方程）化作 ， 记，得：标准化： 由线性方程通解公式， 所求通解为代入条件得 ，从而 （3）解 （使用线性方程通解公式，涉及到分段函数的定积分计算）由题知 通解为 定解为 【题型2】【讨论解函数（极限、积分计算，大小控制）-看作两道小题】（4） 解 初始条件变形，要讨论解函数的极限 .通解：由,推得，故有.（5） 解（研究解函数的界，使用变限积分形式的通解公式） 定解为 由于 ，故有 【2002】求方程的解函数，使得解函数与直线以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。 答案：【2001】若满足，。求的和函数。答案：【题型3】【方程形式变化变量对换，代换的运用】（6） （交换变量的地位）解 写成: 得到函数的线性方程. , 通解为 练习 （7） （代换） 答案：（8） （代换） 答案：练习 练习 练习 （9） （代换 答案 一阶线性方程的单项选择题思路：求同，排异；手段：几何作图；直接计算；选取特例。 设有一阶齐次微分方程，处处连续。则不是其通解的函数为A. B. C. D. 设微分方程有一个特解，则对于初始条件，方程的特解是：A. B. C. D. 3.2 二阶线性微分方程A知识概述1） 线性二阶微分方程：齐次 ， 非齐次 ,2）线性二阶微分方程通解构造： 齐次通解 = 两个不成比例的齐次特解之组合： 非齐次通解 = 齐次通解非齐特解： 3）解的叠加原理： 非齐次项:设函数是方程的解，则 是方程的解。 齐次解的线性组合还是齐次解 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解 非齐次解 - 非齐次解 = 齐次解 4）常系数线性二阶微分方程求解法 齐次方程的求解步骤-解特征方程 -由特征根写出基本解组 根基本解组1，03，35i23i-写通解 非齐次方程的求解步骤-写对应的齐次方程的通解-写出非齐次解的待定形式（六字法）-代入原方程求中的待定系数-叠加得解 同类型：指保持中指数函数正余弦函数特征，保持多项式阶数不变而系数待定。再调整：乘或。写待定式举例非齐次项特征根 基本解组要写成的 1，5 0，1， 0，01， 2，8，2，2，统一规则 (1) 若则(2) 若,则特解叠加原理 对方程 可以就写，就写，相加得特解：注意 以代入方程确定待定系数时，可用以下等式简化计算。B常见题型【题型1】【基本问题：求通解，特解；写或选】【题型2】【综合问题：对解函数继续讨论：极限，积分，大小估计】【题型3】【代换问题：通过给定的变量代换，使得在新变量下方程变简单，然后求解】【题型4】【方程建立：知道方程的解，利用解的结构求出方程】C.范例分析【题型1】【基本问题依据标准方法求解】（1）填空题真题 的通解_的通解_通解_解 代入求系数.填代入求系数.填求系数. 填【2010】练习 （2）写的特解待定式. 解 于是 时 时 练习 的特解形式可设为。【题型2】【综合问题解函数的继续讨论】 求 分析 相当于齐次线性方程求定解+广义积分解 特征方程 通解 代入初始条件 故 , 【题型3】【变量对换或者代换方程变形后求解】对换【2003】 将换作以为因变量的微分方程.并求在初始条件下方程的解.解 将用表示 (考察微分运算).，回代后得 求得通解 再求定解 因变量代换令，对 化简并求解。解 用表示.直接求得： 移项 = 方程化为 解得 自变量代换【2005】数学二 使用代换 化简 ，并求其满足的解。解 令，得化简的 （考察微分计算）的方程 ， (初始条件不动)再依据常系数线性齐次微分方程求解便可成功：定解 【题型4】【给解函数构造方程求解】 （1） 使用叠加原理造线性微分方程 已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解， 求此二阶非齐次线性微分方程及其通解.解（应用叠加原理求出齐次方程的基本解组，再设法推出特征值，得到特征方程后便可写出齐次微分方程，再代入一解函数，便可以定出非齐次项）由 ，得齐次方程的解函数及特征值: ；由 ，得齐次方程的解函数及特征值: ；于是,特征方程为 或 微分方程为 最后代入，得 而通解为 （2）由通解中消除任意常数得方程（齐次，给两个解）已知是某二阶齐次线性微分方程的解函数，建立此微分方程。解 为通解，故本题相当于由