数论因数倍数质数和合数及答案.pdf

第二讲 约数倍数 知识点拨 板块一 因数倍数 1 因数的概念与最大公因数 0被排除在因数与倍数之外 1 求最大公因数的方法 分解质因数法 先分解质因数 然后把相同的因数连乘起来 例如 所以 短除法 先找出所有共有的因数 然后相乘 例如 所以 辗转相除法 每一次都用除数和余数相除 能够整除的那个余 数 就是所求的最大公因数 用辗转相除法求两个数的最大公因数的步 骤如下 先用小的一个数除大的一个数 得第一个余数 再用第一个余 数除小的一个数 得第二个余数 又用第二个余数除第一个余数 得第 三个余数 这样逐次用后一个余数去除前一个余数 直到余数是0为 止 那么 最后一个除数就是所求的最大公因数 如果最后的除数 是1 那么原来的两个数是互质的 例如 求600和1515的最大公因数 所以1515和600的最 大公因数是15 2 最大公因数的性质 几个数都除以它们的最大公因数 所得的几个商是互质数 几个数的公因数 都是这几个数的最大公因数的因数 几个数都乘以一个自然数 所得的积的最大公因数等于这几个数 的最大公因数乘以 3 求一组分数的最大公因数 先把带分数化成假分数 其他分数不变 求出各个分数的分母的最 小公倍数a 求出各个分数的分子的最大公因数b 即为所求 二 倍数的概念与最小公倍数 1 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法 例如 所以 短除法求最小公倍数 例如 所以 2 最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系 则它们的最大公因数是其中较小的数 最 小公倍数是较大的数 3 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数 求出各个分数分子的最小公倍数 求出 各个分数分母的最大公因数 即为所求 例如 注意 两个最简分数的最大公因数不能是整数 最小公倍数可以是整 数 例如 三 最大公因数与最小公倍数的常用性质 1 两个自然数分别除以它们的最大公因数 所得的商互质 如果为 的最大公因数 且 那么互质 所以 的最小公倍数 为 所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系 即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积 最大公因数是 及最小公倍数的因数 2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积 即 此性质比较简单 学生比较容易掌握 3 对于任意3个连续的自然数 如果三个连续数的奇偶性为 a 奇偶奇 那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如 210就是567的最小公倍数 b 偶奇偶 那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如 而6 7 8的最小公倍数为 性质 3 不是一个常见考点 但是也比较有助于学生理解最小公 倍数与数字乘积之间的大小关系 即 几个数最小公倍数一定不会比他 们的乘积大 四 求因数个数与所有因数的和 1 求任一整数因数的个数 一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后 将每个质因数 的指数 次数 加1后所得的乘积 如 1400严格分解质因数之后为 所以它的因数有 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24个 包括1和1400本身 因数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点 授课时应重点讲 解 公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字 唯一分解定理 形式基 础之上 结合乘法原理推导出来的 不是很复杂 建议给学生推导并要 求其掌握 难点在于公式的逆推 有相当一部分常考的偏难题型考察的 就是对这个公式的逆用 即先告诉一个数有多少个因数 然后再结合其 他几个条件将原数 还原构造 出来 或者是 构造出可能的最值 2 求任一整数的所有因数的和 一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后 将它的每个 质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和 然后再将这些得到的 和相乘 乘积便是这个合数的所有因数的和 如 所以21000所有因数的和为 此公式没有第一个公式常用 推导过程相对复杂 需要许多步提取 公因式 建议帮助学生找规律性的记忆即可 例题精讲 例 1 把一张长1米3分米5厘米 宽1米5厘米的纸裁成同样大小的 正方形纸块 而没有剩余 问 能裁成最大的正方形纸块 的边长是多少 共可裁成几块 例 2 有336个苹果 252个桔子 210个梨 用这些水果最多可以 分成多少份同样的礼物 在每份礼物中 三样水果各多 少 例 3 现有三个自然数 它们的和是1111 这样的三个自然数的 公因数中 最大的可以是多少 例 4 一个两位数有6个因数 且这个数最小的3个因数之和 为10 那么此数为几 12 20 28 32 45 50 52 63 68 75 76 78 92 98共14个 例 5 用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位 数 求这些数的最大公因数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 45能被9整除 所以这326880个数都有因数9 例 6 西城区13中入学试题 一次考试 参加的学生中有得优 得良 得中 其余的得差 已知参加考试的学生不满50 人 那么得差的学生有多少人 1 1 42 例 7 有一些小朋友排成一行 从左面第一人开始每隔2人发一个 苹果 从右面第一人开始每隔4人发一个桔子 结果有10个 小朋友苹果和桔子都拿到 那么这些小朋友最多有多少人 苹果每隔2人发一个 如果每人编上号码 号码间隔为3 桔子每隔4人发一个 如果每人编上号码 号码间隔为5 从第一个两种水果都拿到的人算起 下一个能两种水果都拿到的人的号 码应比他多15个 有10个两种水果都拿到的人所以 第10个两种水果都拿到的人比第一 个两种水果都拿到的人的号码多15 9 135 他们一共是136人 这时在第1个人的一侧加上14人 第10个人的一侧也加上14个人 总数 就是所求了 136 14 14 164人 例 8 已知两个自然数的积为240 最小公倍数为60 求这两 个数 240 60 4 60 3 4 5 所以这两个数是3 5 根据A B A B A B 例 9 已知正整数a b之差为120 它们的最小公倍数是其最大 公因数的105倍 那么a b中较大的数是多少 设两个数分别为km和kn 其中 m n 1 m n 显然k为两个数的最大公约数 最小公倍数为kmn kmn k mn 105 1 105 3 35 5 21 7 15 a 105 b 1或a 35 b 3或a 21 b 5或a 15 b 7 ka kb 120 k为整数 逐一验证得 a 15 b 7 k 15 两个数分别为 225和105 那么a b中较大的数等于 225 例 10 在1到100中 恰好有6个因数的数有多少个 例 11 2008年仁华考题 1001的倍数中 共有 个数恰 有1001个因数 1001 7 11 13 1001的倍数中必有a个7 b个11 c个13 a b c正 整数 的乘积 若恰有1001个约数 则必有 a 1 b 1 c 1 1001 所以a b c可取6 10 13这三个值 故共有3 2 1 6个这样的数 板块二 质数合数 1 质数与合数 一个数除了1和它本身 不再有别的因数 这个数叫做质数 也叫做 素数 一个数除了1和它本身 还有别的因数 这个数叫做合数 要特别记住 0和1不是质数 也不是合数 常用的100以内的质 数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 共计25个 除了2其余的质数都是奇数 除了2和5 其余的质数个位数 字只能是1 3 7或9 考点 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点 除了2和5 其余质数个位数字只能是1 3 7或9 这也是很多题解题 思路 需要大家注意 2 质因数与分解质因数 质因数 如果一个质数是某个数的因数 那么就说这个质数是这个 数的质因数 互质数 公因数只有1的两个自然数 叫做互质数 分解质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解 质因数 例如 其中2 3 5叫做30的质因数 又如 2 3都叫做12的质因 数 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式 在求一个数因数的个数 和因数的和的时候都要用到这个标准式 分解质因数往往是解数论题目 的突破口 因为这样可以帮助我们分析数字的特征 3 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积 即 其中为 质数 为自然数 并且这种表示是唯一的 该式称为n的质因子分解式 例如 三个连续自然数的乘积是210 求这三个数 分析 210 2 3 5 7 可知这三个数是5 6和7 4 部分特殊数的分解 5 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q 均为整数 使得q能够 整除p 那么p就不是质数 所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可 以了 但是这样的计算量很大 对于不太大的p 我们可以先找一个大 于且接近p的平方数 再列出所有不大于K的质数 用这些质数去除p 如没有能够除尽的那么p就为质数 例如 149很接近 根据整除的性质149不能被2 3 5 7 11整 除 所以149是质数 例 12 下面是主试委员会为第六届 华杯赛 写的一首诗 美少年华朋会友 幼长相亲同切磋 杯赛联谊欢声响 念一笑慰来者多 九天九霄志凌云 九七共庆手相握 聚起华夏中兴力 同唱移山壮丽歌 请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1 56 号 再将号码中的质数由小到大找出来 将它们对应的字依 次排成一行 组成一句话 请写出这句话 例 13 2004年全国小学奥林匹克 自然数是一个两位数 它是一 个质数 而且的个位数字与十位数字都是质数 这样的自 然数有多少个 只能是由2 3 5 7这四个数字组成的两位数 例 14 两个质数之和为39 求这两个质数的乘积是多少 39 2 37 2 37 74 巩固 如果a b均为质数 且 则 例 15 7个连续质数从大到小排列是a b c d e f g已知它 们的和是偶数 那么d是多少 已知 有7个连续素数且和为偶数 假设这些素数全是奇数 那么和也是奇数 不符合题意 素数只有2是偶数 所以一个偶数 六个奇数 和为偶数 符合题意 这些素数是 17 13 11 7 5 3 2 所以c 为11 例 16 用1 2 3 4 5 6 7 8 9这9个数字组成质数 如果 每个数字都要用到并且只能用一次 那么这9个数字最多能 组成多少个质数 1 2 9 9 1 9 2 45能被9整除 所以不论数字怎么排列都能被9整除 就不是质数 所以9个数字排列一个质数也没有 例 17 将60拆成10个质数之和 要求最大的质数尽可能小 那 么其中最大的质数是多少 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 60 很简单 60 10 6 也就是每个数平均是6 但至少有个数大于6 既然 最大质数尽可能小 6不是质数 6 1相信就是最小 例 18 两个连续奇数的乘积是 这两个奇数之和是多少 设这两个连续奇数是2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 4 1 111555 4n 111556 2n 334或 334 2n 1 2n 1 4n 668或 668 巩固 三个连续自然数的乘积是 求这三个数是多少 210 2 2 2 2 3 7 6 7 8 例 1 甲数比乙数大 乙数比丙数大 三个数的乘积是 求这 三个数 甲 乙 5 乙 丙 5 6384 2 2 2 2 3 7 19 所以 14 19 24 巩 固 如果两数的和是64 两数的积可以整除4875 那么这两 个数的差等于多少 两数的积可以整除4875 所以两个数都是4875的约数 4875的约数有 3 5 13 15 25 39 65 因为两个数的和等64 所以只需要小 于64的约数 其中符合两数之和等于64的只有25和39 25 39 975 可以整除4875 所以两数之差为14 例 2 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍 求这三个质 数 根据题干 可以得到等式 abc 11 a b c 因为a b c都是质数 而右边的乘积中有11 也是质数 所以a b c中必有一个数是11 不妨设a 11 化简上式 得到 bc 11 b c b 11 c c 1 1 12 c 1 c从最小的质数2开始验证 当c 2 b 13 已经得到结论 所以这三个数是2 11 13 课后作业 练 习 1 一个房间长450厘米 宽330厘米 现计划用方砖铺地 问需