备考2017年百日捷进专题06 导数解答题（综合提升篇）.doc

【背一背重点知识】1利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如可转化为可转化为【讲一讲提高技能】1. 必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数2. 典型例题：例1【江西抚州2017届高三上学期七校联考，21】已知函数，其中（I）若曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；（II）讨论函数单调性【答案】（I），；（II）当时，的增区间为，减区间为，当时，在上递增【解析】当时，的方程为：（II）令得，当，即时，在上递增当即时，令得，递增；令得递减，综上所述，当时，的增区间为，减区间为；当时，在上递增例2【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，21】已知函数，其中为自然对数的底数（）当时，求函数的单调区间和极值；（）若，是函数的两个零点，设，证明：随着的增大而增大【答案】(I) 函数的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值，无极大值；(II)证明见解析【解析】 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力本题的第一问是求函数的极值与单调区间，求解时运用求导法则分类讨论的范围及导数与函数的单调性的关系，分别求出求出其单调区间和极值；第二问则通过转化与化归将问题进行转化，然后构造函数，运用求导法则及转化化归思想分析推证，使得问题获解【练一练提升能力】1【河北沧州一中2017届高三11月考，22】已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）是否存在实数，使函数在上有最小值2？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】(1)减区间为，增区间为；(2)存在，最小值是【解析】【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以含参数函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力本题的第一问是直接借助导数与函数的单调性之间的关系解不等式而获解；第二问则依据导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合思想进行分析探求，从而使得问题简捷巧妙获解2【湖北荆州2017届高三上学期第1次质检，20】已知函数，为自然对数的底数（I）当时，试求的单调区间；（II）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围【答案】(1)增区间为 ，减区间为 ；(2)【解析】【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力本题的第一问是求函数的单调区间，求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系，分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数，运用求导法则及转化化归思想，分析推证建立不等式，从而求出，使得问题获解 导数与函数的极值、最值的综合题【背一背重点知识】1运用导数求可导函数的极值的步骤：（I）先求函数的定义域，再求函数的导数；（II）求方程的根；（III）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值2求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：（I）首先确定函数在区间内连续，在内可导；（II）求函数在内的极值；（III）求函数在区间端点的值；（4）将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3已知函数最值求参数，需正确等价转化如函数最大值为2，则等价转化为：恒成立且有解【讲一讲提高技能】1必备技能：求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值2典型例题：例1【江西抚州2017届高三上学期七校联考，22】记表示中的最大值，如已知函数（I）求函数在上的值域；（II）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（I）；（II）存在，【解析】（II）当时， 若，对恒成立，则对恒成立，设，则，令，得递增；令，得递减， 当时，由（I）知，对恒成立，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，这显然不可能即当时，不满足对恒成立， 故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题本题考查函数导数与单调性确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解注意利用数形结合的数学思想方法例2【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，21】已知函数（）若函数在处取得极值，求实数的值；（）在（I）的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数的最大值【答案】（）；（）【解析】令有或令有或函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的最大值为【练一练提升能力】1【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，21】某工厂每日生产某种产品吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当时，每日的销售额（单位：万元）与当日的产量满足，当日产量超过吨时，销售额只能保持日产量吨时的状况已知日产量为吨时销售额为万元，日产量为吨时销售额为万元（I）把每日销售额表示为日产量的函数；（II）若每日的生产成本（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值（注：计算时取）【答案】（I）；（II）日产量为吨时，最大利润为万元【解析】所以在 2【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，22】已知函数（I）求在上的最小值；（II）若存在两个不同的实数，使得，求证：【答案】（I）；（II）证明见解析【解析】试题分析：（I）对进行求导，得到其单调性，在上单调递减，在上单调递增，对导函数的零点与所给区间的关系进行讨论，即分为，和三种情形，根据单调性求得最值；（II）令，易得当时，设，故，根据单调性得证试题解析：（I）根据题意，得，当时，；当时故在上单调递减，在上单调递增当，即时，在上单调递减，；当，即时，；当时，在上单调递增，所以利用导数解决不等式等综合问题【背一背重点知识】1利用导数证明不等式的基本步骤：（I）作差或变形；（II）构造新的函数；（III）对新函数求导；（4）根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；（5）结论2对恒成立等价于3对恒成立等价于【讲一讲提高技能】1必备技能：构造函数证明不等式的技巧：（I）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；（II）对形如，构造函数；（III）对于（或可化为）的不等式，可选(或)为主元，构造函数（或）2典型例题：例1【湖北荆州2017届高三上学期第1次质检，21】已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）若对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具本题就是以函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力本题的第一问是切线方程，求解时运用求导法则及导数的几何意义，运用直线的点斜式方程求得方程为；第二问的求解则通过构造函数，运用求导法则及转化化归思想分类整合，分析推证不等式问题的成立的条件，从而求出实数的取值范围，从而使得问题获解例2【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，21】设函数（I）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（II）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；（III）是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（I）；（II）；（III）【解析】（II）当时，函数，在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令，则，当，；当，在上单减，在上单增，又，如图所示，所以实数的取值范围为【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路【练一练提升能力】1【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，22】（本小题满分10分）已知函数（I）设函数，讨论的单调性；（II）当时，恒成立，求整数的最大值【答案】(1) 综上，当时在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；（II）【解析】试题解析： （I），定义域为，当，即时，令，令，；当，即时，恒成立，综上，当时在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增（II）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，再取，则，故在上单调递增，而，故在上存在唯一实数根，故时，；时，故，故2【河南百校联盟2017届高三11月质检22】已知（）若在上单调，求实数的取值范围；（）证明：当时，在上恒成立【答案】（）的取值范围是（）见解析【解析】（）时，当时，在上单调递增，在上单调递减， 存在，使得在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减故在上，所以在上恒成立解答题（共10题）1【四川自贡2017届高三第一次诊断考试，21】已知函数（为自然对数的底数），（）求的极值；（）若，求的最大值【答案】（），无极大值；（）【解析】 2【河南百校联盟2017届高三11月质检，20】已知函数，（）记的极小值为，求的最大值；（）若对任意实数恒有，求的取值范围【答案】（）（）的取值范围是【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值的表达式，根据函数的单调性求出的最大值即可；（II）通过讨论的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可试题解析：（）函数的定义域是，得，所以的单调区间是，函数在处取极小值， ，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减所以是函数在上唯一的极大值点，也是最大值点，所以 3【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，22】已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2) 若函数在内至少有个零点，求实数的取值范围；【答案】（I）当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（II）【解析】（II）当时，函数在内有个零点； 当时，由（I）知函数在上单调递增，在上单调递减：若，即时，在上单调递增，由于当时，且，知函数在内无零点； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，要使函数在内至少有个零点，只需满足，即； 当时，由（I）知函数在上单调递增，在上单调递减；若，即时，在上单调递增，由于当时，且，知函数在内有个零点； 若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减：由于当时，且当时，知函数在内无零点： 综上可得：的取值范围是4【辽宁葫芦岛普通高中作协体2017届高三上学期第二次考试，22】已知函数求在上的最大值；若函数在上的最小值为，当时，试比较与的大小【答案】(1)；【解析】当时，递减，当时，递增，在上的最小值为，设，令5【河北石家庄2017届高三第一次质检，21】已知函数，且在点处的切线方程为（I）求实数的值；（II）求证：【答案】（I）；（II）见解析【解析】试题分析：（I）首先求得，然后利用导数的几何意义建立关于的方程组求解即可；（II）首先令，然后通过求导，根据导函数的结构构造新函数，从而通过研究新函数的单调性，求得的最大值，从而使问题得证试题解析：（I），且 2分以点为切点的切线方程为即： 4分； 5分（II）由（I）可知，且的定义域为，令则7分令，显然在为减函数，且，使得，即当时，为增函数；当时，为减函数；10分 又，即 12分6【甘肃天水一中2017届上学期第3次考试，21】已知函数（I）当时，求曲线在处的切线方程；（II）若当时，求的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】试题解析： （I）的定义域为，当时，所以，故，又，所以曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于令，则，（i）当，时，故，在上单调递增，因此；（ii）当时，令，得，由和，得，故当时，在单调递减，因此，综上，的取值范围是7【云南曲靖一中2017届上学期第4次月考，21】已知函数（I）若是的极值点，求的极大值；（II）求的范围，使得恒成立【答案】（I）；（II）【解析】试题解析：（I）（），是的极值点，解得，当时，当变化时：极大值极小值的极大值为（II）要使得恒成立，即时，恒成立，设，则当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，得；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，此时，不合题意；当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，此时，不合题意综上所述，时，恒成立8【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，21】已知函数（I）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （II）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范