高中数学第二章函数3函数的单调性（一）课件北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 一 第二章函数 学习目标1 理解函数单调区间 单调性等概念 2 会划分函数的单调区间 判断单调性 3 会用定义证明函数的单调性 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一函数的单调性 画出函数f x x f x x2的图像 并指出f x x f x x2的图像的升降情况如何 答案 答案两函数的图像如右 函数f x x的图像由左到右是上升的 函数f x x2的图像在y轴左侧是下降的 在y轴右侧是上升的 单调性是相对于区间来说的 函数图像在某区间上上升 则函数在该区间上为增函数 反之则为减函数 很多时候我们不知道函数图像是什么样的 而且用上升下降来刻画单调性很粗糙 所以有以下定义 一般地 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两数x1 x2 A 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么 就称函数y f x 在区间A上是 有时也称函数y f x 在区间A上是 梳理 增加的 递增的 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两数x1 x2 A 当x1f x2 那么 就称函数y f x 在区间A上是 有时也称函数y f x 在区间A上是 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 就称函数y f x 在该子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减少的 我们分别称这个函数是增函数或减函数 统称为单调函数 减少的 递减的 思考 知识点二函数的单调区间 我们已经知道f x x2在 0 上是减少的 f x 在区间 0 上是减少的 这两个区间能不能交换 答案 答案f x x2的减区间可以写成 0 而f x 的减区间 0 不能写成 0 因为0不属于f x 的定义域 梳理 一般地 有下列常识 1 函数单调性关注的是整个区间上的性质 单独一点不存在单调性问题 所以单调区间的端点若属于定义域 则该点处区间可开可闭 若区间端点不属于定义域则只能开 2 单调区间D 定义域I 3 遵循最简原则 单调区间应尽可能大 题型探究 例1如图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 它是增加的还是减少的 解答 类型一求单调区间并判断单调性 解y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减少的 在区间 2 1 3 5 上是增加的 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 单调区间是定义域的子集 当函数出现两个以上单调区间时 单调区间之间可用 分开 不能用 可以用 和 来表示 在单调区间D上函数要么是增加的 要么是减少的 不能二者兼有 反思与感悟 跟踪训练1写出函数y x2 2x 3 的单调区间 并指出单调性 解答 所以y x2 2x 3 的单调区间有 1 1 1 1 3 3 其中递减区间是 1 1 3 递增区间是 1 1 3 命题角度1证明具体函数的单调性例2证明f x 在其定义域上是增函数 类型二证明单调性 证明 设x1 x2是定义域 0 上的任意两个实数 且x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 运用定义判断或证明函数的单调性时 应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1 x2且x1 x2的条件下 转化为确定f x1 与f x2 的大小 要牢记五大步骤 取值 作差 变形 定号 小结 反思与感悟 跟踪训练2求证 函数f x x 在 1 上是增函数 证明 证明设x1 x2是实数集R上的任意实数 且1 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 0 1 x1x2 即f x1 f x2 0 即f x1 f x2 命题角度2证明抽象函数的单调性例3已知函数f x 对任意的实数x y都有f x y f x f y 1 且当x 0时 f x 1 求证 函数f x 在R上是增函数 证明 证明方法一设x1 x2是实数集上的任意两个实数 且x1 x2 令x y x1 y x2 则x x1 x2 0 f x1 f x2 f x y f y f x f y 1 f y f x 1 x 0 f x 1 f x 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在R上是增函数 方法二设x1 x2 则x1 x2 0 从而f x1 x2 1 即f x1 x2 1 0 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 1 f x2 故f x 在R上是增函数 因为抽象函数不知道解析式 所以不能代入求f x1 f x2 但可以借助题目提供的函数性质来确定f x1 f x2 的大小 这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值 反思与感悟 跟踪训练3已知函数f x 的定义域是R 对于任意实数m n 恒有f m n f m f n 且当x 0时 0 f x 1 求证 f x 在R上是减函数 证明 证明 对于任意实数m n 恒有f m n f m f n 令m 1 n 0 可得f 1 f 1 f 0 当x 0时 0 f x 1 f 1 0 f 0 1 令m x 0 n x 0 则f m n f 0 f x f x 1 f x f x 1 又 x 0时 0 f x 1 f x 1 对任意实数x f x 恒大于0 设任意x10 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 f x 在R上是减少的 命题角度1利用单调性求参数范围 类型三单调性的应用 答案 解析 解析要使f x 在R上是减函数 需满足 分段函数在定义域上单调 除了要保证各段上单调外 还要接口处不能反超 另外 函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的 反思与感悟 跟踪训练4已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上具有单调性 则实数a的取值范围为 解析由于二次函数开口向上 故其增区间为 a 减区间为 a 而f x 在区间 1 2 上单调 所以 1 2 a 或 1 2 a 即a 1或a 2 答案 解析 a 1或a 2 命题角度2用单调性解不等式例5已知y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且f 1 a f 2a 1 求a的取值范围 解答 若已知函数f x 的单调性 则由x1 x2的大小 可得f x1 f x2 的大小 由f x1 f x2 的大小 可得x1 x2的大小 反思与感悟 跟踪训练5在例5中若函数y f x 的定义域为R 且为增函数 f 1 a f 2a 1 则a的取值范围又是什么 解答 解 y f x 的定义域为R 且为增函数 当堂训练 A 2 0 B 0 1 C 2 1 D 1 1 1 函数y f x 在区间 2 2 上的图像如图所示 则此函数的增区间是 答案 2 3 4 5 1 2 函数y 的减区间是A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 答案 2 3 4 5 1 3 在下列函数f x 中 满足对任意x1 x2 0 当x1f x2 的是A f x x2B f x C f x x D f x 2x 1 答案 2 3 4 5 1 4 已知函数y f x 满足 f 2 f 1 f 1 f 0 则下列结论正确的是A 函数y f x 在区间 2 1 上递减 在区间 1 0 上递增B 函数y f x 在区间 2 1 上递增 在区间 1 0 上递减C 函数y f x 在区间 2 0 上的最小值是f 1 D 以上的三个结论都不正确 答案 2 3 4 5 1 5 若函数f x 在R上是减函数 且f x f 1 则x的取值范围是A x 1C 11 答案 2 3 4 5 1 规律与方法 1 若f x 的定义域为D A D B D f x 在A和B上都递减 未必有f x 在A B上递减 2 对增函数的判断 对任意x1 x2 都有f x1 f x