2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》.docx

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用【题型一】：基本不等式的理解【题型二】：利用基本不等式求最值【题型三】：基本不等式应用【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【题型一】：基本不等式的理解【例1】. ，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）. （1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【解析】（1）；（2）（1），（当且仅当时取等号）.（2），（当且仅当时取等号）.（3），（当且仅当即时取等号），与矛盾，上式不能取等号，即【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.【变式训练】：【变式1】给出下面四个推导过程： ，； ，； ， ； ，.其中正确的推导为（ ）A. B. C. D.【解析】，符合基本不等式的条件，故推导正确.虽然，但当或时，是负数，的推导是错误的.由不符合基本不等式的条件，是错误的.由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2【答案】C【解析】A选项中，当时由基本不等式；当时.选项A错误.B选项中，的最小值为2（当且仅当时，成立）但是，这是不可能的. 选项B错误.C选项中，故选项C正确。【题型二】：利用基本不等式求最值【例2】设，则的最小值是A1B2C3D4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】D【变式训练】：【变式1】若,求的最大值.【解析】因为,所以, 由基本不等式得:,（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，求的最大值.【解析】， （当且仅当，即时，等号成立）（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4.【例3】.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是AB4CD5【解析】,，【答案】选C【变式训练】：【变式1】若,且,求的最小值 .【解析】,，（当且仅当即，时，等号成立）（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.【变式2】已知x0，y0，且，求x+y的最小值。【解析】，x0，y0，（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，x=4，y=12当x=4，y=12时，x+y取最小值16。【题型三】：基本不等式应用【例4】. 设,求证：【证明】 成立【变式训练】：【变式1】已知，求证:【解析】（当且仅当即,等号成立）.【例5】已知，且.(1)若则的值为 .(2)求证：【解析】(1)由题意可得带入计算可得(2)由题意和基本不等式可得，【变式训练】：【变式】已知函数的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,恒成立设函数则m不大于的最小值即的最小值为4，(2)由(1)知n=4当且仅当时，即时取等号.的最小值为【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【例6】. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，于是还需要建造新墙的长为设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，则（当且仅当即时，等号成立）故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.【变式训练】：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘