矿大工程数学历年试题及答案.pdf

07 08 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷 一 填空题 每题 4 分 共 24 分 1 设 3 2 i z i 则其共轭复数的辐角主值 即arg z 2 函数 222 2 f zxyxixyy 在 可导 3 4 1 Res 1z 4 设 23 12 f tt u tf tt u t 则 12 f tf t 5 数量场 22 3ux yy 过点 2 3 M处沿 1 4 l 的方向导数为 6 矢量场 222 Axz iyx jzy k 在点 1 1 1 M处的散度为 二 选择题 每题 3 分 共 24 分 1 在复数域内 下列数中为纯虚数的是 A i i的主值 B lni C cosi D i e 2 积分 1 d z z z A 0 B i 2 C i 2 D i 3 级数 2 1 inn n ez 的收敛半径为 A 0 B C 2 D 1 4 2 3 1 Res z z i zi A 3i B 2 C 0 D 2i 5 矢量场 32322 23Axyz ix z jx yz k 则 2 3 1 0 0 0 dAl A 0 B 8 C 12 D 24 1 6 矢量场 125 457 6 Axy iyxz jyz k 则A A 是有势场 不是管形场 B 是管形场 不是有势场 C 是调和场 D 不是有势场 也不是管形场 7 下列 Fourier 变换正确的是 A 0 0 2 jt e F B 1 F C d d t f tf t FF D d d tftfFF 8 已知 1 u t s L 则 2 t u t L A s s ds s e 2 B 2 2 s e s C s e s s 2 2 12 D s e s s 2 2 12 三 计算题 共 52 分 1 8 分 求矢量场 22 Ax ixz y jz k 过点 2 1 1 M的矢量线方程 2 8 分 已知 32 3u x yyx y 为解析函数 zf的实部 求 f z的虚部 v x y 3 8 分 将函数 2 2 25 2 1 zz f z zz 在圆环域21 B e z 1 1 C 110 z 4 点iz 是函数 1 1 2z ez z zf 的 A 本性奇点 B 可去奇点 C 一级极点 D 二级极点 5 下列 Fourier 变换正确的是 A 0 0 tfetf tj FF B 0 0 tj etfttf FF C d d tfjtftFF D d d tftfFF 6 已知 3 2 2 s t L 则 1 2 tL A s e s 3 2 B s e s3 2 C 3 2 1 1 s s D 3 1 2 s 7 矢量场kyzxjyzxixyzA 2222 2 cos 2 则A A 具有势函数 22 sinyzxy B 具有势函数 22 sinyzxy C 具有势函数 22 sinyzxy D 没有势函数 3 8 矢量场kzyjzxyiyxA 6 24 2 则A A 是有势场 不是管形场 B 是管形场 不是有势场 C 不是有势场 也不是管形场 D 是调和场 二 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 1 1Im 33 ii 2 2 1 3 0 1 cos Res z e z 4 设 2cos 3 tuettf t 则 tfF 5 数量场 z yx u 22 过点 2 1 1 M的等值面方程为 6 数量场 zyxu253 22 在点 3 1 1 M处的梯度为 三 计算题 共 58 分 1 8 分 求矢量场kzyjyxixyA 222 在点 1 2 1 M的矢量线方程 2 8 分 设函数 1 2 yxivyxzf 是解析函数 且if 2 求 zf 3 8 分 将函数 2 1 1 zz zf 在圆环域21 z内 展开成洛朗级数 4 8 分 求积分 3 4 d 1 z z z z 5 8 分 利用 Laplace 变换计算积分 0 1 cos d t t et t 6 8 分 求方程 t eyyy 32满足初始条件1 0 0 0 yy的解 7 5 分 设函数 1 0 0 f t tt 其余 和 1 0 0 t f t et 其余 求 12 f tf t 8 5 分 利用留数计算实积分 0 2 d 1 cos x x x 4 08 09 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷 一 填空题 每空 4 分 共 10 分 1 00 sin f ttt 的傅氏变换为 2 函数yxiyxzf 22 在0z 处的导数为 3 sin lim 2 1 kejtit t t 4 矢量场 kzjyixA从下向上通过有向曲面 22 yxz 20 z的通 量为 5 函数 62sin ttf的拉氏变换的象函数为 6 矢量场kyzjyxixA 423 22 在点 1 2 1 M处旋度为 7 设 1 2 z f zz e 则Res 0 f z 8 函数ttettf t t d2sin 0 3 的拉氏变换为 9 C 是直线 OA O 为原点 A 为i 2 则 Re d C zz 10 复数 1 32i 的辐角主值为 二 10 分 求矢量场 22 Axziyzjxyk 通过点 2 1 1 M 的矢量线方程 5 三 10 分 用拉氏变换的方法求微分方程 t eyyy 34 满足条件 100 yy 的解 四 10 分 计算积分 410 3 d 2 z z zz 积分曲线为正向 五 10 分 证明矢量场 2222 2 cos 2Axyz ix zy jx yzk 为保守场 并求积分 d B A Al dd 其中 1 0 2 2 1 1 AB 六 10 分 将函数 2 1 1 f z zz 分别在圆环域0 1 1z 展开成洛朗级数 七 10 分 设函数 1 0 0 0 t t f t et 则付氏变换 f t F 二 单项选择题 每题 4 分 共 20 分 1 1z 是函数 1 cos 1 f z z 的 A 极点 B 本性奇点 C 可去奇点 D 一级零点 2 函 数 15 2243 1 2 z f z zz 在 复 平 面 上 的 所 有 有 限 奇 点 处 留 数 的 和 为 A 1 B 4 C 1 D 2 3 设 C 为正向圆周 2z 则积分 4 3 sin d 1 z C zz ezz z 等于 A 24 B 24 i C 0 D 12 i 4 设 2 11 sinf zz zz 则Res 0 f z为 A 1 B 2 C 0 D 2 i 5 设 3 sin2 t f zet 则拉氏变换 f zL为 7 A 2 2 3 4s B 22 2 3 3 4 s s C 2 2 4s D 22 4 3 3 4 s s 三 解答下列各题 1 2 每小题 6 分 3 8 每小题 8 分 共 60 分 1 设ba 是实数 函数ibyaxxyzf 22 在复平面解析 求ba 2 映射 z z w 1 把圆周1 zC变成什么曲线 写出曲线的方程 3 求积分 2 sin d 1 C z z z 其中2 zC 4 求积分 10 1 d 2 C z z iz 其中 3 2 C z 5 求函数 tetf t 的 Fourier 变换 6 求函数tttf2sin 的 Laplace 变换 7 将函数 1 1 zz zf 在圆环域 1 1z展开成 Laurent 级数 8 用 Laplace 变换解微分方程的初值问题 341 t xxxe 0 0 x 0 1 x 8 09 10 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷 一 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 若1 1 nn zwzz n是整数 则 A 0Re w B Im0w C 0arg w D warg 2 设函数 22 f zaxyi bxy 在复平面内处处解析 则 A 1 2 ba B 2 1 2ab C 2 1 2ab D 2 1 2ab 3 点0z 是函数 2 2 sin 1 z z ze 的 A 一级极点 B 二级极点 C 三级极点 D 四级极点 4 矢量场 324 22Axz ix yzjyz k 在点 1 2 1 处沿矢量623nijk 方向的环 量面密度为 A 18 5 B 18 3 C 18 11 D 18 7 5 函数 2 2 1 s F s s 的拉氏逆变换 1 F s L A ttcos B ttcos C ttsin D ttsin 二 填空题 每题 3 分 共 15 分 1 31i 的指数表达式为 2 设C为正向圆周4z 则d C z z z 9 3 设 2 11 sinf zz zz 则Res 0 f z 4 设 23 1 3 42A ttit jtk 则 2 0 dA tt 5 函数 0 2 tt 的傅里叶变换为 二 计算题 每题 10 分 共 70 分 1 求积分 32 4 cos d 1 z z Iz zz 的值 2 把函数 1 1 2 f z zz 在下列指定圆环域内展开成洛朗级数 i 12z ii 011z 3 设函数 f z与 g z在区域D内处处解析 L为D内的任何一条简单闭曲线 它的内 部全含于D 且 0 h zf zg zzL 为L内部任一点 求 h 的值 4 已知调和函数 22 u x yxyxy 求其共轭调和函数 v x y及解析函数 f zu x yiv x y 5 证明矢量场 32322 23Axyz ix z jx yz k 为保守场 并求积分d l Al 其中 l是 从 1 4 1 A到 2 3 1 B的任一路径 6 设 rxiyjzk rr 求 i 使div 0f r r 的 f r ii 使div grad 0f r 的 f r 7 i 求函数 3 sin2 t f ttet 的 Laplace 变换 F s ii 利用 Laplace 变换求下面微分方程的解 23 0 0 0 1 t yyyeyy 10 09 10 学年第一学期 工程数学 B 试题 A 卷 一 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 设 1 i 2i z 则 Imz 2 圆 22 9xy 在映射 z w 1 下的像是w平面上 3 设 3223 3 i 3 f zxxyx yy 则 1 i f 4 i 1 i 5 函数ttuetf t 2sin 则 f t F 6 设 1 1 F 则 1 F F 二 选择题 每题 3 分 共 18 分 1 积分 2 1 1tan d cos z z z z A 0 B i 2 C i 2 D i 2 级数 1 i 1 n nn z 的收敛半径为 A 1 i B 2 C 12 D 1 1 i 3 点0 z是下列哪个函数的二级极点 A 2 sin z B 2 1 1 z ze C 2 1 sin z D 3 1 z e z 4 下列级数绝对收敛的是 A 1 lni n n n B 1 65i 8 nn n C 1 i 1 1 n nn D 1 2 i 1 n n n n 5 设 f tF F 则 2 ft F 11 A 2 1 F B 2 F C 2 2 F D 2 2 1 F 6 设 23 12 f tt u tf tt u t 则 21 tftf A 6 t u t B 5 t u t C 6 60t u t D 5 50t u t 三 综合题 每题 8 分 共 64 分 1 设 22 i 32 f zxyaxbycxyxy 解析 求其中的常数 a b c的 值 2 求积分 4 tand z zz 3 将函数 2 1 1 f z z z 在圆环域10 内 并利用此结论计算积分 0 coscos d atmt ebtent t t 2 已知数量场uxy 求场中与直线240 xy 相切的等值线方程 3 证明矢量场kzyxjyzixzA 12 22 222 为保守场 并计算曲线积分 d L A l d d 其中起点为 3 0 1 A 终点为 1 1 2 B 4 利用拉氏变换求下面微分方程的解 25sin 0 0 0 1 t yyyetyy 5 将 2 1 1 zz zf 在圆环域12z 内 并利用此结论求 3 0 sin2 d t te t t t LL 2 求函数 22 1 s s 的拉氏逆变换 3 若 1 0 0 0 t t f t et 内展开成洛朗级数 只要写出前四项 6 计算积分 8 cot d z zz 16 11 12 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷 一 填空题 每空 4 分 共 40 分 1 f tu t 的傅氏变换为 2 函数 3232 3 f zmynx yi xxy 为解析函数 则m 3 2 01 lim sin d t t t t it t je k 4 矢量场kzj yi xA 从下向上通过有向曲面 22 zxy 02 z 的通量 为 5 函数 sin t f tet 的拉氏变换为 6 矢量场 2 22Axix yjyzk 在点 1 2 1 M处散度为 7 设 tanf zz 则Res 2 f z 8 函数 2 0 sin2 d t t f ttett 的拉氏变换为 9 C是直线OA O为原点 A为i 2 则d C zz 10 复数lnii 17 二 10 分 求矢量场 22 Ax iy jxy zk 通过点 1 1 2 M的矢量线方程 三 10 分 求常系数二阶线性微分方程 t etytyty 2 2 满足条件 0 0 0 0 yy的解 四 10 分 求函数 22 2 413 s F s ss 的拉氏逆变换 五 10 分 证明矢量场kyzxjyzxixyzA 2222 2 cos 2 为保守场 并求积分 B A lA d 其中 1 0 1 2 1 3 AB 六 10 分 将函数 2 1 1 f z zz 在圆环域1 1 z 展开成洛朗级数 七 10 分 用留数计算积分 2 0 1 d 5cos t t 18 11 12 学年第一学期 工程数学 B 试题 A 卷 一 填空题 每空 4 分 共 40 分 1 3 i 2 函数 322 3 yxiyxzf 在0z 处的导数为 3 2 2 d 1 z z e z z z 积分曲线方向为正向 4 拉氏卷积 34 tt 5 函数 2 4 1 z e f z z 在0处的留数为 6 判别级数 2 1 11 1 n n i nn 的敛散性 7 级数 1 in n n e z n 的收敛半径为 8 0 sin d t tett 9 函数 0 sint 的傅氏变换为 10 复数 1 32i 的辐角主值为 19 二 10 分 求函数 2 0 sin2 d t t f ttett 的拉氏变换 三 10 分 用拉氏变换的方法求微分方程 2 43 t yyyte 满足条件 00 00y y 的解 四 10 分 把函数 2 1 1 f z zz 在圆环域1z 内展开成洛朗级数 五 10 分 计算积分 1 3 2 d 1 z z z e z z 积分曲线为正向 六 10 分 已知函数 f zu x yiv x y 解析 且 32 3u x yxxy 求 v x y 及 fz 七 10 分 若 0 0 0 1 te t tf t 2 sin 0 2 0 tt f t 其它 求 12 f tf t 20 07 08 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷参考答案 一 填空题 每题 4 分 共 24 分 1 3 4 2 1 2 y 3 0 4 6 1 60 t 5 60 17 6 3 二 选择题 每题 3 分 共 24 分 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 D 三 计算题 共 52 分 1 解 矢量线所满足的微分方程为 22 dddxyz xxzz 由 22 ddxz xz 得 1 11 c xz 由 22 dddxzy xzxz 得 2 ln xzyc 于是所求矢量线方程为 1 2 11 ln c xz xzyc 代入点 2 1 1 M 得 111 2 ln 1 xz xzy 2 解 6 u xy x 22 33 u yx y 因为 6 vu xy yx 所以 2 6d3 vxyyxyx 上式对x求导 得 2 3 v yx x 又 22 33 vu yx xy 21 故 2 3xx 3 xxC 所以 f z的虚部为 23 3v x yxyxC 3 解 2 12 21 f z zz 2 2 1121 1 2 11 2 z z z 22 00 1121 1 22 nn nn nn z zz 1 1 2 0 1 2 1 2 n nnn nn zz 4 解 22 1 1 1 f z zz 在积分线内有两个奇点 1z 是二级极点 zi 是一 二级极点 所以 2 1 11 Res 1 12 z f z z 2 11 Res 1 4 z i f z i zzi 那么 22 d111 2 1 1 242 C z ii zz 5 解 2 2 sin2 4 t s L 3 2 2 sin2 3 4 t et s L 3 2 0 12 sin2 3 4 t t etdt s s L 22 所以 3 0 sin2 t t f ttetdt LL 2 d2 d 3 4 ss s 2 222 2 31213 3 4 ss ss 6 解 令 y tY s L 方程两边取拉氏变换得 1 1 2 2 2 s sYssYsYs 得 1 1 2 2 ss sY 所以 1 y tY s L ttt eete 2 1 2 1 7 解 原式 22 1d 2 1 4 x xx 2222 11 Res Res 2 1 4 1 4 iii zzzz 612 ii i 12 23 07 08 学年第一学期 工程数学 B 试题 A 卷参考答案 一 选择题 每题 3 分 共 24 分 1 B 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 B 二 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 0 2 kik22sin22cos 3 1 4 4 3 3 2 j j 5 zyx 22 6 kj yi x 2106 三 计算题 共 58 分 1 解 矢量线所满足的微分方程为 222 dddxyz xyx yzy 由 22 ddxy xyx y 得 1 22 cyx 由 22 ddxz xyzy 得 zcx 2 于是所求矢量线方程为 zcx cyx 2 1 22 代入点 1 2 1 M 得 zx yx3 22 2 解 因为 yxyxu 1 2 所以 iizxiy y u i x u zf22 1 22 24 Cizizdziizdzzfzf 2 22 2 又if 2 故iC 所以 iizizzf 2 2 3 解 1 1 2 1 2 1 1 zzzz zf z z z1 1 11 2 1 1 2 1 00 1 1 2 2 1 n n n n zz z 0 1 2 1 n nn n n zz 4 解 被积函数 1 4 z z zf有四个一级极点i 1都在圆周3 z内 所以 1 Res 1 Res 2d 1 3 4 zfzfiz z z z Res Resizfizf 1111 2 0 4444 i 5 解 0 1 1 cos1 cos d t s tt et tt L 1 1 cos dts L 2 1 11 dln2 12 s s ss 25 6 解 设 sYty L 方程两边取 Laplace 变换 得 1 1 3 0 2 0 0 2 s sYyssYysysYs 即 3 1 1 2 sss s sY 取 Laplace 逆变换 得 1 sYtf L 3 Res 1 Res 1 Res ststst esYesYesY ttt eee 3 8 1 8 3 4 1 7 解 当0t 时 12 0f tf t 当0t 时 12 0 d t t f tf te t tt 00 dd tt tt eeee tt ttt 00 tt t eee tt t 1 ttt e tee 1 t te 8 解 1 Re2d 1 22 i z e six x e izix 1 2 2 e z e i iz iz 原式 1 2 2 1 d 1 Re 2 1 ex x eix 26 08 09 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷参考答案 一 填空题 1 0 00 jt j e 2 0 3 keji 1sin 4 0 5 4 6sin6cos2 2 s s 6 ki 82 7 6 1 8 222 2 3 3 4 ss s 9 i 2 10 3 2 arctan 二 解 矢量线所满足的微分方程为 22 ddd xyz xzyzxy 由 ddxy xzyz 得 1 xc y 又由合比定理有 2222 ddd xxyyz xyzxy 即 dddxxyyzz 解之得 222 2 xyzc 于是矢量线方程为 1 222 2 xc y xyzc 代入点 2 1 1 M 得 222 2 6 xy xyz 27 三 解 设 y tY s L 方程两边取拉氏变换 得 2 1 0 0 4 0 3 1 s Y ssyyY syY s s 代入 001y y 整理得 2 2 66 1 3 ss Y s ss 所以 1 y tY s L LRes 3 Res 1 stst Y s eY s e 22 2 22 31 66166 lim 3 lim 1 3 1 2 1 3 1 stst ss ssdss sese ssdsss 3 317 424 ttt etee 四 解 410 3 d 2 z z zz 2Res if z 2 11 2Res 0 if z z 10 1 2Res 0 1 2 i zz 2 i 五 解 由雅克比矩阵 22 22 22 224 D2sin2 422 yzxzxyz Axzyx z xyzx zx y 可得 2222 rot 22 44 22 0Ax zx z ixyzxyz jxzxz k 也就是说矢量场A 为保守场 28 场内积分与路径无关 211 222 102 d0d 22cos d2 21d B A Alxyyzz 16sin1 124sin1 六 解 0 11 1 1 1 n n z zz 1 2 01 11 1 1 nn nn zn z zz 所以 12 2 11 11 1 1 1 1 nn nn f zn zn z zzz 七 解 当0t 时 3 12 d t t t f tf te e tt t 2 1 2 tt ee 所以 3 12 2 0 0 1 0 2 1 2 tt tt t f tf teet eet 29 08 09 学年第一学期 工程数学 B 试题 A 卷参考答案 一 填空题 每题 4 分 共 20 分 1 1 8 162 2 k i e 2 0 3 2 4 1 120 5 2sin 二 单项选择题 每题 4 分 共 20 分 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 三 解答下列各题 1 2 每小题 6 分 3 8 每小题 8 分 共 60 分 1 解 2 uv yby xy 2 uv xax yx 11 22 ab 2 答 变成圆 因为 1z w z 所以 1 1 z w 又 1z 所以 w 1 1 即映射之后的象是以 1 为中心 1 为的半径的圆 3 解 22 sinsin 2 Res Res 11 zz iii zz 原式 sinsin 2 2 ii i ii 2 sini 4 解 10 1 2 d c z z z i 原式 9 21 9 2 zi i z 10 2 2 i i 5 解 0 0 dd d ti tti ti t f te ete ett et d F 30 11 1 11ii 2 2 3 1 6 解 sin2 sin2 f tttt LLL 2 2 4s 22 4 4 s s 7 解 1 1 f z z z 11 1 11zz 2 11 1 1 1 1 z z 2 0 1 n n z 8 解 方程两边同时施加 Laplace 变换得 2 11 0 0 3 0 4 1 s X ssxxsX sxX s ss 整理得 111 1 4 1 X s ssss 2 54251 91 91364ssss 4 上式取逆变换即得 4 54251 99364 ttt x tteee 31 09 10 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷参考答案 一 选择题 每题 3 分 共 15 分 1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 二 计算题 每题 3 分 共 15 分 1 2 3 2 i e 2 8 i 3 0 4 10164ijk 5 0 2 j t e 三 计算题 每题 10 分 共 70 分 1 解 在4z 内有奇点0 1zz 作圆周 12 11 1 23 CzCz 于是 12 3232 coscos dd 1 1 CC zz Izz zzzz 12 II 1 1 23 cos1 1 C z Idz zz 2 0 2 21 z iz z cos 6i 2 2 32 cos1 1 C z Idz zz 3 1 2 z z i z cos 6 i 所以 12 12 IIIi 2 解 i 1 1 2 1 zz zf z z z1 1 11 2 1 1 2 1 00 11 2 1 2 1 n n n n n zz z 1 1 02 n n n nn z z ii 1 1 2 1 zz zf 1 1 1 1 1 zz 1 1 1 0 z z n n 1 1 n n z 32 3 解 由 Cauchy 积分公式 1 d 2 L h z hz iz 1 d 2 L f zg z z iz 又 0 h zf zg zzL 故 0 hL 在 内部 4 解 2 2 vu yxyx xy 2 vu xy yx v x y 0 0 dd x y vv xyC xy 0 0 dd x y uu xyC yx 00 0 d 2 d xy xxxyyC 22 2 22 xy xyC C 是任意实数 故得解析函数 f zu x yiv x y 2 2 2 zi iC 5 解 32322 rot 23 ijk z A xyz xyzx zx yz 2222 33 x zx zi 22 66 xyzxyzj 33 22 xzxzk 0 A 为保守场 因为A 为保守场 所以线积分与路径无关 33 2222 000 0d0d3d xyz uxyx yzzx yz 22 sinyzxy 于是 l A dl 22 2 3 1 1 4 1 1248 B A x yz 6 解 i div div grad f r rf rrf r r 3 f rrfr 令其为 0 得微分方程 3 0frf r r 解之得 3 C f r r ii div grad div r f rfr r 2 fr fr r 令其为 0 得微分方程 2 0frfr r 解之得 1 2 C f rC r 7 解 i 3 2222 d24 3 sin2 d 3 2 3 4 t s f tet sss LL ii 设 y tY s L 方程两边取拉氏变换 得 2 1 12 3 1 s Y ssY sY s s 即 2 1 1 3 s Y s sss 所以 1 y tY s LL st k k Y s es 3 113 488 ttt eee 34 09 10 学年第一学期 工程数学 B 试题 A 卷参考答案 一 填空题 每题 3 分 共 18 分 1 1 2 以原点为中心 以 1 3 为半径的圆 或 1 3 w 再或者 22 1 9 uv 3 6i 4 1 exp 2 iln2 42 k p p 5 2 2 1 i 4 6 cost 二 选择题 每题 3 分 共 18 分 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 C 三 综合题 每题 8 分 共 64 分 1 解 因为 f z解析 所以其实部和虚部满足 C R 方程 22xacx 23ybcy 于是得 2 3 2abc 2 解 sin tan cos z z z p p p 的奇点为 1 0 1 2 2 k zkk 都为一级极点 故 sin Res cos k z z z p p sin1 1 cos 2 z zzk p pp 而在4z 内含有被积函数的 8 个奇点 即当4 3 2 1 0 1 2 3k 对应的 k z 所以由留数定理得 4 1 tand2 i 8 16i z zzpp p 3 解 因为 0 1 01 1 n n zz z 1 2 1 11 01 1 1 n n nzz zz 35 所以 2 1 1 f z z z 12 11 1 nn nn nznz z 4 解 函数 15 2243 1 2 z f z zz 的奇点 iz 是二级极点 4 2z 的四个根是 三级极点 都在3z Re sC lim0 st s e 所以上式给出 0 1 d d st s F ssef tt t f t t L L 这就是要证明的结论 0 0 coscoscoscos d atmtatmt s ebtentebtent t tt L 0 coscosd atmt ebtents LL 2222 0 d sasm s sabsmn 22 22 0 1 ln 2 sab smn 22 22 1 ln 2 mn ab 2 解 设等值线为xyc 切点为 00 xy 则 38 00 00 12 240 yx xy 解之得 2 1 所以2c 所求等值线为2xy 3 解 由A 的雅可比矩阵 2 2 202 D024 242 zx Azyz xyzy 可知 rot 44 22 00 0Ayzyz ixx jk 也就是说矢量场A 为保守场 场内积分与路径无关 211 301 d2 d2 d 921 d B A Alxxyyzz 5 1 711 4 解 令 y tY s LL 方程两边取拉氏变换得 2 2 1 12 5 1 1 s Y ssY sY s s 得 222 111 1 1 1 4 1 4 Y s sss 所以 1 y tY s LL 2 1 22 1 2 1 1 1 2 s ss L 1 22 1121 3 1 13 1 4ss L 39 1 sinsin2 3 t ett 5 解 111 1 2 21 f z zzzz 1111 1 2 11 2 z z z 00 111 22 n nn nn z zz 1 102 n n n nn z z 6 解 sin tan cos z z z 的奇点为 1 0 1 2 2 k zkk 都为一级极点 故 sin Res tan Res cos kk z z zz z sin1 1 cos 2 z zzk 而在4z Re sC lim0 st s e 所以上式给出 0 1 d d st s F ssef tt t f t t L L 这就是要证明的结论 33 0 sin21sin2 d tt te tet t tst LLLL 3 1 sin2 d t s ets s LL 22 12 d 3 2 s s ss 13 arctan 2 s s s 13 arccot 2 s s 41 2 解 11 2222 1 1 11 ss sss LL 11 22 1 11 s ss LL cossintt 0 cos sin d t tttt 1 sin 2 tt 3 解 当0t 时 2 12 d t t t f tf te e tt t 3 1 1 3 t ee 所以 2 12 3 0 0 1 0 3 1 1 3 tt t t f tf teet eet 4 解 令 y tY s LL 方程两边取拉氏变换得 2 1 1 3 2 1 s Y ssY sY s s 得 2 1 2 1 s Y s sss 所以 1 y tY s LL 2 134 623 ttt eee 42 5 解 令 1 z w 则 1 11 w wz ee 23 1 23 11 1 12 1 3 1 w w www e www 222 1 1 1 123 2 wwwwww 3 1 26 2 6 ww 23 11 1 26 www 23 11 11 1 1 26zzz 6 解 cos tan sin z z z 的奇点为 0 1 2 k zkk 都为一级极点 故 cos Res cot Res sin kk z z zz z cos 1 sin z zkz 而在8z 内含有被积函数的 8 个奇点 即当2 1 0 1 2 k 对应的 k z 所以 由留数定理得 8 cot d2 i 5 110 i z zz 43 11 12 学年第一学期 工程数学 A 试题 A 卷参考答案 一 填空题 每空 4 分 共 40 分 1 1 j 2 1 3 1 cos1 ijek 4 2 5 2 1 1 1s 6 1 7 1 8 22 48 2 4 s s s 9 5 2 10 2 二 解 矢量线所满足的微分方程为 22 ddd xyz xyxy z 由 22 ddxy xy 得 1 11 c xy 又由合比定理可得 22 d d xyz xyxy z 即 d dxyz xyz 解得 2 xyc z 于是所求矢量线方程为 1 2 11 c xy xyc z 代入点 2 1 1 M 得 113 2 3 xy xyz 三 解 设 sYty L 方程两边取 Laplace 变换 得 44 2 2 0 0 2 0 1 s Y ssyysY sy