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概率论与数理统计复习课 武汉理工大学统计学系毛树华 例1 填空题 二 常见例题精解 4 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为0 5和0 4 现已知目标被击中 则它是乙射中的概率是 5 设三次独立试验中 事件A出现的概率相等 若已知A至少出现一次的概率为 则在一次试验中事件A出现的概率为 例2 单项选择题 1 以A表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 则其对立事件为 A 甲种产品滞销 乙种产品畅销 B 甲 乙两种产品均畅销 C 甲种产品滞销 D 甲种产品滞销或乙种产品畅销 2 如果事件 有 则下述结论正确的是 A 与必同时发生B 发生 必发生 C 不发生 必不发生D 不发生 必不发生 4 设 为任意两个事件 且 则下列选项必然成立的是 5 已知 如果它们满足条件 时 则能使等式成立 A 是一个完备事件组 B 两两互斥 答案 解 由于三事件两两独立 所以 例4 用三个机床加工同一种零件 零件由各机床加工的概率分别为0 5 0 3 0 2 各机床加工的零件为合格品的概率分别为0 94 0 90 0 95 求全部产品的合格率 解 设分别表示零件由第一 第二 第三个车床加工 表示产品为合格品 则由题意得 从而 例5 假定某工厂甲 乙 丙 个车间生产同一螺钉 产量依次占全厂的45 35 20 如果每个车间的次品率依次为4 5 现在从待出厂的产品中检查出 个次品 问它是由甲车间生产的概率是多少 解 设分别表示螺钉由甲 乙 丙三个厂生产 表示螺钉为次品 则由题意得 从而 例6 甲 乙两人各自向同一目标射击 已知甲命中目标的概率为0 7 乙命中目标的概率为0 8求 1 甲 乙两人同时命中目标的概率 2 恰有一人命中目标的概率 3 目标被命中的概率 解 设分别表示甲乙命中目标 则 例7 设 证明 证 例8 将二信息分别编码为0和1传送出去 接收站接收时 0被误收作1的概率为0 02 而1被误收作0的概率为0 01 信息0和1传送的频繁程度为2 1 若接收站收到的信息是0 问原发信息是0的概率是多少 解 设表示发送编码为0 表示接受编码为0 由题意知 从而 第二章习题课 一 内容概要 1 随机变量的定义 设是随机试验 它的样本空间 如果对于每一个 有一个实数与之对应 这样就得到一个定义在上的单实值函数 称之为随机变量 2 离散型随机变量及其分布列 则称为离散型随机变量 上式称为的概率分布 又称分布密度或分布列 离散型随机变量的分布列具有以下性质 2 1 3 分布函数及其性质 设是一个随机变量 是任意实数 函数 称为的分布函数 4 连续型随机变量及其概率密度 即是右连续的 分布函数具有以下性质 则称为连续型随机变量 为的概率密度函数 简称概率密度 设是随机变量的分布函数 如果存在一非负函数 使对任意实数有 概率密度函数具有以下性质 3 对任意实数有 4 若在点处连续 则 5 常用概率分布 1 0 1分布 2 二项分布 3 泊松分布 4 几何分布 5 均匀分布 6 正态分布 当时 称为标准正态分布 记为 其密度函数和分布函数常用和表示 7 指数分布 6 二维随机变量及联合分布 设是两个随机变量 如果对任意一组实数 使得 是一个随机事件 则称为二维随机变量 为二维随机变量的联合分布函数 相应地 称 为分别关于和的边缘分布函数 称 7 二维离散随机变量的概率分布 为的联合分布列或分布列 称 分别为关于和的边缘分布列 8 二维连续随机变量的概率密度 设二维随机变量的分布函数 如果存在一非负可积二元函数 使对任意实数有 则称是二维连续型随机变量 相应的二元函数称为的联合密度 它具有以下性质 3 在的连续点 有 4 对平面上的任意区域 5 和的边缘密度函数分别为 9 二维均匀分布和正态分布 设是平面上的有界区域 其面积为 若二维随机变量具有概率密度 则称在上服从二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度 10 随机变量的独立性 设是两个随机变量 若对任意实数有 则称与是相互独立的 随机变量和相互独立的充分必要条件是 连续型随机变量与相互独立的充分必要条件是 离散型随机变量与相互独立的充分必要条件是 11 随机变量函数的分布 则也是一离散型随机变量 且其分布列为 若是一维离散型随机变量 其分布列为 若已知 是严格单调函数 其反函数有连续的导数 则也是连续型随机变量 其概率密度为 注 使反函数无意义的 定义概率密度为0 特别地 当与相互独立时 上式称为和的卷积公式 二 常见例题精解 例1 填空题 1 设随机变量X与Y相互独立 且它们的分布列均为 则 2 设X N 其中 2 未知 若已知P 2 X 4 0 3 则P X 0 3 若随机变量X服从区间 1 6 上的均匀分布 则方程有实根的概率是 4 设随机变量X服从参数为的泊松分布 且P X 0 则P X 1 2 求 3 的分布函数 答案 1 2 0 2 3 4 1 3e 2 5 解 1 所以 当时 3 当时 当时 所以 解 例4 设随机变量X服从区间 2 5 上的 均匀分布 现在对X进行三次独立观测 试求至少有两次观察值大于3的概率 解 设表示观察值大于3的次数 则 解 由于 根据联合分布与边缘分布列的关系 有 所以 X Y 的联合分布列如下表 满足的点为它们对应的概率全为0 所以 例6 已知的联合概率密度为 3 求 解 1 对于 所以 3 对于 所以 例2 1 求F x y 2 求 X Y 落在区域D内的概率 区域D如图 所示 解 1 2 备用题 备用题 第三章习题课 一 内容概要 1 数学期望 1 设离散型随机变量的分布列为 如果收敛 则称级数的和为随机变量X的数学期望 记为 即 2 设X为连续型随机变量 概率密度为 如果积分绝对收敛 则称积分的值为连续型随机变量X的数学期望 记为 即 3 设是随机变量的函数 若是离散型随机变量 其分布列为 如果级数收敛 则 若是连续型随机变量 概率密度为 如果收敛 则有 4 二维随机变量函数的数学期望 如果是二维随机变量 是关于X和Y的二元函数 当是二维离散型随机变量 其联合分布列为 则 当是二维连续型随机变量 其联合概率密度为 则 5 数学期望的性质 如果X Y是两个随机变量 C为任意常数 且都存在 则数学期望有以下四条常见的性质 如果X与Y相互独立 则 2 方差 1 对随机变量X 如果存在 则称的值为随机变量X的方差 即 2 方差的性质 3 协方差和相关系数 设 X Y 是二维随机变量 如果存在 则称之为X与Y的协方差 记为 即 而 称之为X与Y的相关系数 协方差和相关系数具有以下几条性质 当X Y相互独立时 4 常见分布的数学期望和方差 例1 填空题 二 常见例题精解 4 若 则 5 某人进行投篮训练 命中率为p 一旦投中就可结束训练 则需要投篮次数的方差是 答案 1 37 2 11 3 0 4 2 5 5 例2 设随机变量服从参数为1的指数分布 求数学期望 例3 飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0 4 在以后的两次飞行中 每一次飞行后其被检修的概率各增加0 1 求三次飞行后修理次数的数学期望 解 表示第次飞行后须进行检修次数 所以 例4 设随机变量与独立 且均服从正态分布 求 及 解 因为 所以 又 所以 例5 若二维随机变量 X Y 的概率密度为 解 1 2 由 1 同理可知 3 因为 所以不相互独立 第四章习题课 一 内容概要 1 切比雪夫不等式 设随机变量X有数学期望和方差则对于任意给定的正数总成立不等式 2 依概率收敛 设为一个随机变量序列 a是一个常数 若对于任意正数都有 则称随机变量序列依概率收敛于a 3 大数定律 定理1 契比晓夫定理的特殊情况 设随机变量相互独立 且具有相同的有限数学期望和方差 则对于任意正数恒有 定理3 贝努里定理 设在n次独立试验中事件A发生的次数为 在每次试验中事件A发生的概率为p 则对于任意给定的正数恒有 4 中心极限定理 定理1 同分布的中心极限定理 设随机变量独立同分布 则随机变量 若存在正数 使得当时 定理2 李雅普诺夫定理 设随机变量相互独立 且 记 则随机变量 的分布函数对任意的x 满足 定理3 德莫佛 拉普拉斯定理 设随机变量服从参数为的二项分布 则对于任意区间恒有 二 常见例题精解 例1利用车贝晓夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于均方差的倍的概率 解 设随机变量的期望为 方差为 则由车贝晓夫不等式有 对任意 取得 例2设的概率密度为 试证 证 由车贝晓夫不等式 取 得证 例3有一批建筑房屋用的柱子 其中80 的长度不小于3米 现从这批柱子中随机地取出100根 问其中至少有30根短于3米的概率为多少 解 设100根柱子中短于3米的根数为 则 所以有 故 例4射击不断进行 设每次射中的概率为0 1 1 试求500次射击中 射中的次数在区间 49 55 之间的概率 2 问至少要射击多少次 才能使射中的次数超过50次的概率大于已给正数q 解 2 所需最少的射击次数是满足不等式 的最小正整数 而 故可从不等式 中解出最小的正整数n 即为所求 第五章习题课 一 内容概要 1 总体与个体 我们把所研究的全部元素组成的集合称为母体或总体 而把组成母体的每个元素称为个体 2 样本 若n个随机变量相互独立 且具有相同的概率分布 则称 是来自总体的一个容量为n的简单随机样本 简称为样本 3 统计量 设为总体X的一个样本 若 样本函数中不包含任何未知参数 则称此函数是一个统计量 常见统计量有 称为样本均值 的正平方根称为样本标准差 称为样本方差 称为样本k阶原点矩 称为样本k阶中心矩 4 分布及其性质 设是来自正态总体的样本 则称统计量 服从的分布为自由度为n的分布 记作 分布的概率密度函数为 分布具有以下性质 1 设 且它们相互独立 则 2 设则有 5 分布 所服从的分布是自由度为n的t分布 记作 6 分布及其性质 所服从的分布为自由度是 m n 的F分布 7 正态总体样本均值与样本方差的分布 1 2 与相互独立 3 4 其中 二 常见例题精解 例1 填空题 1 设统计量 则 例2 设总体 是简单随机样本 为样本均值 1 若 计算 2 若要求 至少取多大 解 1 因为所以 2 为使 所以至少取1537 解 因为 所以 故 例4 抽取样本容量的简单随机样本 计算 解 因为 所以 当时 有 解 因为所以 解 因为 所以 第六章习题课 一 内容概要 1 估计量与估计值 设总体的分布函数形式为已知 是待估参数 是的一个样本 是相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量用其观察值来估计未知参数 称为的估计量 称为的估计值 2 矩估计法 用样本的各阶原点矩作为总体的各阶原点矩的估计而求得的求知参数的估计量称为矩估计量 3 极大似然估计 设总体具有概率密度函数或分布列函数 是维参数向量 样本的联合密度函数 称为似然函数 或者 假定在给定的条件下 存在维统计量 如果似然函数关于可微 则使似然函数达到最大的一定满足下列正则方程组 4 估计量的衡量标准 1 无偏性 2 有效性 3 一致性 5 置信区间 则称随机区间是参数的的置信区间或区间估计 分别称为 二 常